고윳값과 고유 벡터 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Mona Lisa eigenvector grid.png|섬네일|270px|위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 [[선형 변환]]을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수평 축은 그대로 수평 축으로 남기 때문에 푸른색 화살표는 방향이 변하지 않지만 붉은색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 푸른색 화살표는 이 변환의 '''고유 벡터'''가 되고 붉은색 화살표는 고유 벡터가 아니다. 또한 푸른색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 '''고윳값'''은 1이다.]]

[[선형대수학]]에서, [[선형 변환]]의 '''고유벡터'''(固有vector, {{llang|en|eigenvector|아이건벡터}})는 그 선형 변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는, 0이 아닌 벡터이다. 고유 벡터의 길이가 변하는 배수를 선형 변환의 그 고유 벡터에 대응하는 '''고윳값'''(固有값, {{llang|en|eigenvalue|아이건밸류}})이라고 한다. 선형 변환은 대개 고유 벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다.

고유 벡터와 고유값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 [[선형대수학]], [[함수해석학]], 그리고 여러 가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.

== 역사와 어원 ==
오늘날 [[선형대수학]]에 속하는 고윳값과 고유 벡터의 개념은 원래 19세기에 [[이차 형식]] 및 [[미분 방정식]] 이론으로부터 발달하였다. 19세기에 [[오귀스탱 루이 코시]]는 [[고전역학]]에서 [[관성 모멘트]]의 [[주축]]의 개념을 추상화하여 [[이차 곡면]]을 분류하였고, 고윳값의 개념을 도입하였다. 코시는 오늘날 고윳값에 해당하는 개념을 "특성근"({{llang|fr|racine caractéristique|라신 카락테리스티크}})이라고 불렀다. 또한, 코시는 [[대칭행렬]]이 실수 고윳값들을 가진다는 사실을 발견하였다. 1885년 [[샤를 에르미트]]는 이를 확장하여, 일반적으로 [[에르미트 행렬]]이 실수 고윳값들을 가진다는 것을 보였다.

20세기 초에 [[다비트 힐베르트]]가 오늘날 쓰이는 용어인 "고유 벡터"({{llang|de|Eigenvektor|아이겐벡토어}})와 "고윳값"({{llang|de|Eigenwert|아이겐베르트}})을 도입하였다. (그러나 수학 외의 분야에서 [[헤르만 폰 헬름홀츠]]가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) "아이겐"({{llang|de|eigen}})은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>가 주어졌다고 하자. 만약 어떤 <math>v\in V</math>와 <math>\lambda \in K</math>가
* <math>v\ne0</math>
* <math>Tv=\lambda v</math>
를 만족시키면, <math>v</math>를 <math>T</math>의 '''고유 벡터'''라고 하고, <math>\lambda</math>를 <math>T</math>의 (<math>v</math>에 대응하는) '''고윳값'''이라고 한다. <math>V</math>가 일종의 함수 공간인 경우, 고유 벡터 대신 '''고유 함수'''(固有函數, {{llang|en|eigenfunction}})라는 용어를 사용하기도 한다.

=== 고유 공간 ===
고윳값 <math>\lambda</math>의 '''고유 공간'''(固有空間, {{llang|en|eigenspace}})은 그 고유 벡터들과 0으로 구성되는 [[부분 벡터 공간]]이다. 즉 선형 변환 <math>T-\lambda I</math>의 [[핵 (수학)|핵]]이다.
:<math>V_\lambda=\{v\in V\colon Tv=\lambda v\}</math>

유한 [[차원 (선형대수학)|차원]] 벡터 공간 위의 선형 변환 <math>T</math>의 '''고유 다항식'''(固有多項式, {{llang|en|characteristic polynomial}})은 <math>K</math> 위의 <math>n=\dim V</math>차 다항식 <math>\det(xI-T)</math>이다.

고윳값 <math>\lambda</math>의 '''기하적 중복도'''(幾何的重複度, {{llang|en|geometric multiplicity}})는 그 고유 공간의 [[차원 (벡터 공간)|차원]]이다. <math>\lambda</math>의 '''대수적 중복도'''(代數的重複度, {{llang|en|algebraic multiplicity}})는 [[고유 다항식]]의 근 <math>x=\lambda</math>의 중복도이다.

선형 변환 <math>T</math>의 '''스펙트럼'''({{llang|en|spectrum}}) <math>\operatorname{Spec}(T)</math>는 그 고윳값들의 대수적 중복도를 감안한 [[중복 집합]]이다.

=== 고유 기저 ===
선형 변환 <math>T</math>의 '''고유 기저'''(固有基底, {{llang|en|eigenbasis}})는 <math>T</math>의 고유 벡터들로 구성된 <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]이다. 고유 기저는 항상 존재하지는 않으나, (예를 들어) <math>V</math>가 유한 차원 복소수 [[벡터 공간]]이고 <math>T</math>가 [[에르미트 연산자]]인 경우 존재한다. 고유 기저가 존재하는 선형 변환을 '''대각화 가능 선형 변환'''(對角化可能線型變換, {{llang|en|diagonalizable linear transformation}})이라고 한다. 이는 선형 변환의 어떤 (모든) 행렬이 [[대각화행렬|대각화 가능 행렬]]인 것과 동치이다.

=== 행렬 ===
[[정사각 행렬]]을 선형 변환으로 볼 수 있으므로, 위의 개념들은 정사각 행렬에게도 적용되며, [[닮음 불변]]이다.

== 성질 ==
선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>에 대하여 다음 조건들이 동치이다.
* <math>\lambda</math>가 <math>T</math>의 고윳값이다.
* <math>\lambda I - T</math>가 [[특이 행렬]]이다.
* <math>\det(\lambda I - T)=0</math>, 즉 <math>\lambda</math>가 고유 다항식의 [[근 (수학)|근]]이다.

만약 <math>T</math>가 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math> 위의 선형 변환이라면, 그 고유 공간들은 선형 독립이다. 즉,
:<math>\dim\sum_{\lambda\in\operatorname{Spec}(T)}V_\lambda=\sum_{\lambda\in\operatorname{Spec}(T)}\dim V_\lambda</math>

=== 대각화 가능 선형 변환 ===
유한 차원 벡터 공간 <math>V</math> 위의 선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>에 대하여, 다음 조건들은 동치이다.
* <math>T</math>는 대각화 가능하다. (즉, <math>T</math>의 고유 기저가 존재한다.)
* <math>T</math>의 고유 다항식이 일차 다항식의 곱이며, 고윳값의 대수적 중복도와 기하적 중복도가 같다.
* <math>\dim V=\sum_{\lambda\in\operatorname{Spec}(T)}\dim V_\lambda</math>
* <math>V=\bigoplus_{\lambda\in\operatorname{Spec}(T)}V_\lambda</math>

=== 행렬 ===
실수 또는 복소수 (유한) <math>n\times n</math> 정사각 행렬 <math>M</math>이 <math>\operatorname{Spec}(M)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}</math>이라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.
* <math>n\times n</math> 정사각 행렬의 고윳값들의 (대수적 중복도를 고려한) 수는 <math>n</math>이다.
::<math>|\operatorname{Spec}(M)|=n</math>
* 정사각 행렬의 [[대각합]] <math>({tr})</math>은 그 고윳값들의 합이며, 정사각 행렬의 [[행렬식]]<math>(\det)</math>은 고윳값들의 곱이다. <!-- 판별식 연동-->
::<math>\operatorname{tr}M=\sum\operatorname{Spec}(M)</math>
::<math>\det M=\prod\operatorname{Spec}(M)</math>
* 모든 양의 정수 <math>k</math>에 대하여, <math>M^k</math>의 고윳값은 <math>M</math>의 고윳값들의 <math>k</math>제곱이다.
::<math>\operatorname{Spec}(M^k)=\operatorname{Spec}(M)^k=\{\lambda_1^k,\lambda_2^k,\dotsc,\lambda_n^k\}</math>
* 만약 <math>M</math>이 [[가역 행렬]]이라면, 이는 모든 정수 <math>k</math>에 대해서도 성립한다.
* [[유니터리 행렬]]의 고윳값의 절댓값은 모두 1이다.
::<math>MM^*=M^*M=I\implies|\lambda_1|=|\lambda_2|=\cdots=1</math>
* [[에르미트 행렬]]의 고윳값은 모두 실수이다.
::<math>M=M^*\implies\lambda_1,\lambda_2,\dots\in\mathbb R</math>
* [[삼각 행렬]]의 고윳값들은 그 대각선의 원소들이다.
::<math>(i<j\implies M_{ij}=0)\implies\operatorname{Spec}(M)=\{M_{11},M_{22},\dotsc,M_{nn}\}</math>
* 고윳값들이 모두 서로 다를 때, 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 [[선형 독립]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Linear Algebra|저자1=Meckes, Elizabath|출판사=Cambridge University Press|쪽=146-147|isbn=978-1-107-17790-1|lccn=2017053812|저자2=Meckes, Mark|연도=2018}}</ref>

== 예 ==
=== {{수학|1 × 1}} 행렬 ===
실수 <math>1\times1</math> 행렬
:<math>A=\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}</math>
의 유일한 고윳값은 <math>a</math>이며, 이에 대응하는 고유 벡터는 모든 0이 아닌 벡터이다.

=== {{수학|2 × 2}} 행렬 ===
실수 <math>2\times2</math> 행렬
:<math>A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>
의 고유 다항식은 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\det(xI-A)&=\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}\\
           &=x^2-(a+d)x+(ad-bc)\\
           &=x^2-\operatorname{tr}Ax+\det A
\end{align}</math>
따라서 판별식은 다음과 같다.
:<math>\Delta=\operatorname{tr}^2A-4\det A</math>
이에 따라, <math>A</math>를 실수 행렬로 보는 경우,
* <math>\Delta>0</math>이면, 서로 다른 두 실수 고윳값을 갖는다.
* <math>\Delta=0</math>이면, 유일한 실수 고윳값을 가지며, 그 대수적 중복도는 2이다.
* <math>\Delta<0</math>이면, 실수 고윳값을 갖지 않는다. 다만, 복소수 행렬로 보는 경우 서로 다른 두 [[허수]] 고윳값을 가지며, 이들은 [[켤레 복소수]]이다. 이 경우, 두 허수 고윳값에 대응하는 벡터 역시 실수 벡터가 아니다. (그렇지 않다면, 그 상 역시 실수 벡터이므로, 고윳값이 실수가 된다. 이는 모순이다.)

=== 유클리드 공간 ===
3차원 [[회전 변환]]의 고유 벡터는 그 회전축에 놓인 벡터들이다. 회전한 후에도 이들의 길이와 방향은 변하지 않으므로 그들의 고윳값은 <math>\lambda=1</math>이다. 이에 대한 고유 공간은 회전축에 평행한 모든 벡터의 집합이므로, 1차원이다. 그밖의 고윳값 및 고유 벡터는 존재하지 않는다.

지구가 주어진 시간 동안의 자전을 선형 변환으로 볼 때에도 이와 같이 분석된다. 지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 화살표 중, 자전축 위에 놓이지 않은 화살표는 회전하며 방향이 변하고, 자전축을 향하거나 길이가 없는 화살표는 그 길이와 방향이 변하지 않는다.

얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 2배 확대시키자. 이때 중심을 시작점으로 하는 벡터들은 모두 방향의 변화 없이 길이가 2배가 된다. 따라서 이 변환의 유일한 고윳값은 2이고, 대응하는 고유 벡터는 모든 0이 아닌 벡터이다.

=== 계산 실례 ===
정사각 행렬의 고윳값과 고유 벡터는, 보통 (특히 행렬의 크기가 작은 경우) 고유 다항식을 통해 계산된다. 구체적으로, 고유 다항식을 구하고, 근을 구하고, 각 근에 대응하는 선형 방정식을 풀이한다. 큰 행렬에 대해서는 고유 다항식이 복잡해지므로 수치적 방법을 통해 근사적으로 구하기도 한다.

예를 들어, 실수 행렬
:<math>A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}</math>
의 고윳값과 고유 벡터를 구하는 과정은 다음과 같다. 우선 <math>A</math>의 고유 다항식을 구한다.
:<math>\begin{align}
\det(xI-A)&=\det\begin{pmatrix}x-1&-2&-2\\-2&x-1&-2\\-2&-2&x-1\end{pmatrix}\\
          &=(x+1)^2(x-5)
\end{align}</math>
근 <math>x=-1,5</math>가 곧 <math>A</math>의 고윳값이다. 고윳값 <math>x=-1</math>에 대한 선형 방정식의 [[계수 행렬]]을 구한다.
:<math>-I-A=\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\-2&-2&-2\\-2&-2&-2\end{pmatrix}</math>
이에 대한 해공간은 다음과 같은 [[기저 (선형대수학)|기저]]로 선형 생성됨을 알 수 있다.
:<math>b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

</math>
:<math>b_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}</math>

비슷하게, 고윳값 <math>x=5</math>에 대한 선형 방정식의 계수 행렬은
:<math>5I-A=\begin{pmatrix}4&-2&-2\\-2&4&-2\\-2&-2&4\end{pmatrix}</math>

이고, 해공간의 기저는

:<math>b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math>
이다. <math>A</math>의 고윳값과 고유 벡터는 이로써 명백해진다.

=== 고윳값 없음 ===
고윳값을 갖지 않는 실수 행렬의 예로는 (시계 방향) 90도 회전 변환의 행렬
:<math>A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}</math>
이 있다. <math>A</math>의 고유 다항식은
:<math>\det(xI-A)=x^2+1</math>
이므로, 실수 행렬로서는 고윳값을 갖지 않는다. 다만, 복소수 행렬로서는 한 쌍의 [[켤레 복소수]] <math>\pm i</math>를 고윳값으로 갖는다. 이들에 대응하는 고유 벡터는 물론 허수 벡터(즉 <math>\in\mathbb C^2\setminus\mathbb R^2</math>)이다.

=== 고유 함수 ===
실수 무한번 미분 가능 함수들의 벡터 공간 <math>C^\infty(\R)</math> 위의 [[미분 연산자]]
:<math>\frac{d}{dx}\colon C^\infty(\R)\to C^\infty(\R)</math>
은 선형 변환이다. <math>\frac{d}{dx}</math>의 고유 함수 및 고윳값의 튜플 <math>(f,\lambda)\in C^\infty(\R)\times\R</math>는 다음을 만족시켜야 한다.
:<math>\frac{df}{dx}=\lambda f</math>
이 경우 모든 <math>\lambda\in\R</math>이 고윳값이며, <math>\lambda</math>에 대응하는 (유일한 유형의) 고유 함수는 [[지수 함수]]
:<math>f(x)=ce^{\lambda x}\quad(c\ne0)</math>
이다. (<math>\lambda=0</math>인 경우, 이는 0이 아닌 [[상수 함수]]이다.)

== 같이 보기 ==
* [[조르당 표준형]]
* [[수치 분석 소프트웨어 목록]]
* [[특잇값]]

== 참고 문헌 ==
<references />
* {{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id=[[인터넷 아카이브|Internet Archive]] [https://archive.org/details/LinearAlgebraHoffmanAndKunze LinearAlge(…)]}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Eigen value}}
* {{eom|title=Eigen vector}}
* {{매스월드|id=Eigenvector|title=Eigenvector}}
* {{매스월드|id=Eigenvalue|title=Eigenvalue}}
* {{매스월드|id=LeftEigenvector|title=Left eigenvector}}
* {{매스월드|id=RightEigenvector|title=Right eigenvector}}

{{선형대수학}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:행렬론]]