고유 길이 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''고유 길이'''({{llang|en|Proper length}})<ref name="fayngold">{{서적 인용|제목=Special Relativity and How it Works|성=Moses Fayngold|연도=2009|위치=John Wiley & Sons|isbn=978-3527406074}}</ref> 또는 '''정지 길이'''({{llang|en|rest length}})<ref name="franklin">{{저널 인용|제목=Lorentz contraction, Bell's spaceships, and rigid body motion in special relativity|저널=European Journal of Physics|성=Franklin, Jerrold|연도=2010|권=31|호=2|쪽=291–298|arxiv=0906.1919|bibcode=2010EJPh...31..291F|doi=10.1088/0143-0807/31/2/006}}</ref>는 어떤 물체가 정지되어 있는 것으로 보이는 계(frame)에서 측정한 길이이다.

길이 측정은 [[고전역학]]보다 [[상대성이론]]에서 더 복잡하다. 고전역학에서 길이는 관련된 모든 점의 위치가 동시에 측정된다는 가정에 따라 측정된다. 그러나 상대성이론에서 [[동시성의 상대성|동시성]]의 개념은 관찰자에 따라 서로 다르다.

이와 다른 용어인 '''고유 거리'''는 모든 관찰자에 대해 동일한 값을 갖는 불변 거리를 제공한다.

고유 거리는 '''[[고유 시간]]'''과 유사한데 그 차이점은 두 개의 공간적으로 분리된 사건 사이에서(또는 공간과 같은 경로를 따라) 고유 거리가 정의되는 반면에, 시간과 같이 분리된 두 개의 사건 사이에서(또는 시간과 같은 경로를 따라) 고유 시간이 정의된다는 것이다.

== 고유 길이 또는 정지 길이 ==
물체의 고유 길이<ref name="fayngold"/> 또는 정지 길이<ref name="franklin"/>는 표준 측정 막대기를 어떤 물체에 적용하여 정지해 있는 관찰자가 측정하는 어떤 물체의 길이이다. 물체의 양 끝점 측정은 동시일 필요가 없다. 끝점은 물체의 정지 프레임에서 동일한 위치에 지속적으로 정지해 있기 때문에 Δ ''t'' 와 무관하다. 따라서 이때의 길이는 다음과 같이 주어진다.

: <math>L_{0} = \Delta x.</math>

그러나 물체에 대하여 상대적으로 움직이는 프레임에서는 물체의 끝점이 지속적으로 위치를 변경하기 때문에 물체의 양 끝점을 동시에 측정해야 한다. 그 결과 길이는 정지 길이보다 짧아지는데, 이는 [[길이 수축]] 공식으로 제공된다(여기서 ''γ''는 [[로런츠 인자|로런츠 계수]]이다).

: <math>L = \frac{L_0}{\gamma}.</math>

이에 비해 동일한 물체의 끝점에서 발생하는 임의의 두 이벤트 사이의 불변 고유 거리는 다음과 같이 제공된다.

: <math>\Delta\sigma = \sqrt{\Delta x^2 - c^2 \Delta t^2}.</math>

따라서 Δ''σ''는 Δ''t'' 에 의존하지만 (위에서 설명한 대로) 물체의 정지 길이 ''L''<sub>0</sub> 는 Δ''t'' 와 독립적으로 측정할 수 있다. 동일한 물체의 끝점에서 측정된 ''Δσ'' 및 ''L<sub>0</sub>''는 물체의 정지 프레임에서 측정 이벤트가 동시에 발생하여 Δt가 0인 경우에만 서로 일치한다. 이는 Fayngold에 의하여 다음과 같이 설명된 바와 같다.<ref name="fayngold"/>
: p. 407: "두 이벤트 사이의 고유 거리는 일반적으로 끝점이 이러한 이벤트와 각각 일치하는 객체의 고유 길이와 동일 하지 않다. 일정한 고유 길이 ''l''<sub>0</sub> 의 단단한 막대기를 고려하자. 만일 이 막대의 정지 프레임 ''K''<sub>0</sub> 에 있으면서 길이를 측정하려는 경우에는, 먼저 끝점을 표시하여 측정을 수행할 수 있다. 그리고 이 끝점들은 ''K''<sub>0</sub> 에서 동시에 표시할 필요는 없다. ''K''<sub>0</sub> 의 한쪽 끝(순간 ''t'' <sub>1</sub> )과 나중에 다른 쪽 끝(순간 ''t'' <sub>2</sub> )을 표시한 다음 조용히 표시 사이의 거리를 측정할 수 있다. 이러한 측정을 고유 길이의 가능한 조작적 정의로도 고려할 수 있다. 실험 물리학의 관점에서 마크가 동시에 만들어져야 한다는 요구 사항은 일정한 모양과 크기를 가지는 고정된 물체에 대해서는 중복되는 것으로, 이 경우에는 이러한 정의에서 제외될 수 있다. 막대기는 ''K''<sub>0</sub>에 고정되어 있으므로 두 표시 사이의 시간 경과에 관계없이 표시 사이의 거리는 막대기의 고유길이이다. 반면에 ''K''<sub>0</sub> 에서 마크가 동시에 이루어지지 않으면 마킹 이벤트 사이의 고유 거리가 아니다."

== 평평한 공간에서 두 이벤트 사이의 고유 거리 ==
[[특수 상대성이론]]에서 공간처럼(space-like) 분리된 두 사건 사이의 고유 거리는 사건이 동시에 발생하는 [[관성 좌표계|관성 기준 프레임]]에서 측정된 두 사건 사이의 거리이다.<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=PZ5cAwAAQBAJ|제목=Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic|성=Poisson|이름=Eric|성2=Will|이름2=Clifford M.|연도=2014|판=illustrated|출판사=Cambridge University Press|쪽=191|isbn=978-1-107-03286-6}} [https://books.google.com/books?id=PZ5cAwAAQBAJ&pg=PA191 Extract of page 191]</ref><ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=uN5_DQWSR14C|제목=Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System|성=Kopeikin|이름=Sergei|성2=Efroimsky|이름2=Michael|연도=2011|출판사=John Wiley & Sons|쪽=136|isbn=978-3-527-63457-6|성3=Kaplan|이름3=George}} [https://books.google.com/books?id=uN5_DQWSR14C&pg=PA136 Extract of page 136]</ref> 이러한 특정 프레임에서 거리는 다음과 같이 주어된다.<math display="block">\Delta\sigma=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} ,</math>여기서,
* Δ ''x'', Δ ''y'' 및 Δ ''z''는 두 이벤트의 [[선형성|선형]], [[직교]], [[3차원|공간]] 좌표의 차이이다.

이 정의는 다음과 같이 모든 관성 참조 프레임에 대해 동일하게 제공될 수 있다(이벤트가 해당 프레임에서 동시에 발생하지 않아도 됨).<math display="block">\Delta\sigma = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - c^2 \Delta t^2},</math>여기서,

* ''Δt''는 두 이벤트의 [[시간]] 좌표의 차이이고,
* ''c''는 [[빛의 속력|빛의 속도]]이다.
두 공식은 [[시공간|시공간 간격]]의 불변성 때문에 동일한데, 이는 이벤트가 주어진 프레임에서 동시일 때 정확히 ''Δt'' = 0이기 때문이다.

위의 공식이 Δ ''σ'' 에 대해 0이 아닌 실제 값을 제공하는 경우에만 두 이벤트가 공간적으로 분리된다.

== 경로를 따른 고유 거리 ==
두 사건 사이의 고유 거리에 대한 위의 공식은 두 사건이 발생하는 시공간이 평평하다고 가정한다. 따라서 위의 공식은 휘어진 시공간을 고려하는 [[일반 상대성이론]]에서는 일반적으로 사용할 수 없다. 그러나 곡선이든 평면이든 모든 시공간에서 [[경로 (위상수학)|경로]]를 따라 고유 거리를 정의하는 것은 가능하다. 평평한 시공간에서 두 사건 사이의 고유 거리는 두 사건 사이의 직선 경로를 따라 고유 거리이다. 휘어진 시공간에서는 두 사건 사이에 하나 이상의 직선 경로(측지선)가 있을 수 있으므로 두 사건 사이의 직선 경로를 따라 고유 거리는 두 사건 사이의 고유 거리를 유일하게 정의하지 않는다.

임의의 공간과 같은 경로 ''P'' 를 따라 고유 거리는 [[선적분]]에 의해 [[텐서]] 구문으로 제공된다.<math display="block">L = c \int_P \sqrt{-g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu} ,</math>여기서,

* ''g <sub>μν</sub>''는 현재 [[시공간]] 및 [[좌표계|좌표]] 매핑에 대한 메트릭 텐서이고,
* ''dx <sup>μ는</sup>'' 경로 ''P'' 를 따라 인접한 이벤트 사이의 [[좌표계|좌표]] 분리이다.

위 방정식에서 메트릭 텐서는 '''<code>+−−−</code>''' [[계량 부호수|메트릭 부호]]를 사용하는 것으로 가정하고 거리 대신 [[시간]]을 반환하도록 정규화되었다고 가정하고 있다. 방정식의 − 기호는 대신 '''<code>−+++</code>''' 메트릭 부호를 사용하는 메트릭 텐서와 함께 삭제되어야 한다. 또한 광속 <math>c</math>는, 거리를 사용하도록 정규화되거나 또는 [[기하학 단위계|기하 단위]]를 사용하는 미터법 텐서와 함께 삭제해야 한다.

== 같이 보기 ==
* [[시공간|불변 간격]]
* [[고유 시간]]
* [[공변거리|공변 거리]]
* [[동시성의 상대성]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:상대성이론]]