고유 궤도 에너지 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
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[[이체 문제]]에서 '''고유 궤도 에너지''' <math>\epsilon</math>({{lang|en|specific orbital energy}}) 또는 '''활력에너지'''({{lang|en|vis-viva energy}})는 궤도에 관여하는 두 물체의 [[위치 에너지]] <math>\epsilon_p</math>와 [[운동 에너지]] <math>\epsilon_k</math>의 합을 [[환산 질량]]으로 나눈 값으로, [[활력방정식]]에 의해 이 값은 시간과 관계없이 일정하게 유지된다. 단위는 J/kg = m<sup>2</sup>⋅s<sup>−2</sup> 또는 MJ/kg = km<sup>2</sup>⋅s<sup>−2</sup>이다.

:<math>\begin{align}
  \epsilon &=  \epsilon_k + \epsilon_p \\
           &=  \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}
            = -\frac{1}{2} \frac{\mu^2}{h^2} \left(1 - e^2\right)
            = -\frac{\mu}{2a}
\end{align}</math>

*<math>v</math>은 상대 궤도 속도이다.
*<math>r</math>은 두 물체 사이의 거리이다.
*<math>\mu = {G}(m_1 + m_2)</math>은 두 물체의 [[표준 중력 변수]]의 합이다.
*<math>h</math>은 [[비각운동량|상대 비각운동량]]이다.
*<math>e</math>은 [[궤도 이심률]]이다.
*<math>a</math>은 궤도 [[긴반지름]]이다.

타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 해당 궤도를 도는 1 kg의 물체를 탈출 궤도로 진입시키는 데 필요한 에너지의 역수이며, 쌍곡선 궤도의 경우에는 포물선 궤도에 비해 추가로 보유한 에너지의 양과 같다.

==각 궤도에 대한 방정식 형태==
타원 궤도에서 고유 궤도 에너지의 식은 [[비각운동량|상대 비각운동량]]과 결합하면 다음으로 단순화된다.<ref name="Bong Wie SVDC">{{서적 인용|last=Wie|first=Bong|title=Space Vehicle Dynamics and Control|publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics|location=Reston, Virginia|year=1998|series=AIAA Education Series|chapter=Orbital Dynamics|isbn=1-56347-261-9|page=[https://archive.org/details/spacevehicledyna00wieb_0/page/220 220]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/spacevehicledyna00wieb_0/page/220}}</ref>

:<math>\epsilon = -\frac{\mu}{2a}</math>
*<math>\mu = G\left(m_1 + m_2\right)</math>은 [[표준 중력 변수]]이다.
*<math>a</math>은 궤도 [[긴반지름]]이다.

;증명
:타원 궤도에서 고유 각운동량 ''h''는 다음으로 구해진다.
::<math>h^2 = \mu p = \mu a \left(1 - e^2\right)</math>
:고유 궤도 에너지 식의 일반형은 다음과 같다.
::<math>\epsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}</math>
:궤도 근점에서의 상대 속도와 관련시키면 다음과 같이 변한다.
::<math>
  v_p^2 = {h^2 \over r_p^2}
        = {h^2 \over a^2(1 - e)^2}
        = {\mu a \left(1 - e^2\right) \over a^2(1 - e)^2}
        = {\mu \left(1 - e^2\right) \over a(1 - e)^2}
</math>
:따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다.
::<math>
  \epsilon = {\mu \over a}{\left[ {       1 - e^2 \over 2(1 - e)^2} - {1 \over 1 - e} \right]}
           = {\mu \over a}{\left[ {(1 - e)(1 + e) \over 2(1 - e)^2} - {1 \over 1 - e} \right]}
           = {\mu \over a}{\left[ {         1 + e \over 2(1 - e)}   - {2 \over 2(1 - e)} \right]}
           = {\mu \over a}{\left[ {         e - 1 \over 2(1 - e)} \right]}
           = -{\mu \over 2a}
</math>

포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 다음으로 고정된다.
:<math>\epsilon = 0</math>

쌍곡선 궤도에서는 ''a''의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지(<math>C_3</math>)로서 간주할 수 있으며, 포물선 궤도에 비해 추가로 소유한 에너지의 양과 같다.
:<math>\epsilon = {\mu \over 2a}</math>

쌍곡선 초과 속도 <math>v_\infty</math>와는 다음의 관계가 있다.
:<math>2\epsilon = C_3 = v_\infty^2.</math>

따라서, [[궤도 위치 벡터]] <math>\mathbf{r}</math> 또는 [[궤도 속도 벡터]] <math>\mathbf{v}</math>를 알고 있으면 고유 궤도 에너지와 공전 속도를 계산할 수 있다.

===변화율===
타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다.
:<math>\frac{\mu}{2a^2}</math>
*<math> \mu={G}(m_1 + m_2)</math>은 [[표준 중력 변수]]이다.
*<math>a\,\!</math>은 궤도 [[긴반지름]]이다.

===추가 에너지===
궤도 중심체의 반지름이 ''R''이라 하면, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다.

: <math>\ -\frac{\mu}{2a}+\frac{\mu}{R} = \frac{\mu(2a-R)}{2aR}</math>

<math>2a-R</math>은 중심체의 중심과 표면으로부터의 거리를 각각 더한 값과 같다. 지구의 경우 <math>a</math>가 <math>R</math>에 비해 큰 차이가 없는 경우에는 추가로 필요한 고유 궤도 에너지는 <math>(gR/2)</math>로 구해지며, 이는 속도의 수평 성분에 대한 운동 에너지이다.
: <math>\frac{V^2}{2} = \frac{gR}{2}</math>,  <math>V=\sqrt{gR}</math>

==예시==
===보이저 1호===
[[보이저 1호]]의 궤도 수치는 다음과 같다.
*태양의 표준 중력 변수: <math>\mu = GM</math> = 132,712,440,018&nbsp;km<sup>3</sup>⋅s<sup>−2</sup>
*r = 17{{e|9}} km
*v = 17.1&nbsp;km/s

따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다.
: <math>\epsilon = \epsilon_k + \epsilon_p = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}</math> = 146&nbsp;km<sup>2</sup>⋅s<sup>−2</sup> − 8&nbsp;km<sup>2</sup>⋅s<sup>−2</sup> =  138&nbsp;km<sup>2</sup>⋅s<sup>−2</sup>

또한, 쌍곡선 초과 속도는 다음으로 구해진다.
:<math>v_\infty =</math> 16.6{{nbsp}}km/s

==추력의 적용==
로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는 <math> \mathbf{v} \cdot \mathbf{a}</math>으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값 <math>\mathbf{v} \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{g})</math>과 위치 에너지 측의 값 <math>\mathbf{v} \cdot \mathbf{g}</math>의 합이다.
*'''a'''은 [[추력]]으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 [[델타 V]]가 소모되는 비율이다.
*'''g'''은 중력장의 세기이다.
*'''v'''은 로켓의 속도이다.

로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 다음으로 표현되며,
:<math>\frac{\mathbf{v \cdot a}}{|\mathbf{a}|}</math>
이는 |'''v'''|에 '''v'''와 '''a''' 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다.

따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 '''a'''가 '''v'''의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다.

로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때, 즉 '''v'''와 '''g''' 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, [[오베르트 효과]]와 같은 뜻이다.

반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, '''a'''가 '''v'''와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, '''v'''와 '''g''' 사이 각도가 예각인 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다.

'''a'''의 방향이 '''v'''와 같다면 식은 다음이 된다.

:<math>\Delta \epsilon =  \int v\, d (\Delta v) = \int v\, a dt</math>

===고도별 속도와 고유 궤도 에너지의 값===
{| class=wikitable
! 궤도
! 거리<br><small>(중심부터 중심까지)</small>
! 고도<br><small>(지구의 표면부터)</small>
! 공전 속도
! 공전 주기
! 고유 궤도 에너지
|- bgcolor=lightgray
| ''지구의 자전 (비교용)''
| ''6,378{{nbsp}}km'' || ''0{{nbsp}}km''
| ''465.1{{nbsp}}m/s''
| ''23{{nbsp}}시간 56{{nbsp}}분'' || ''−62.6{{nbsp}}MJ/kg''
|-
| 지구 표면에서의 이론적인 궤도 (적도)
| 6,378{{nbsp}}km || 0{{nbsp}}km || 7.9{{nbsp}}km/s || 1{{nbsp}}시간 24{{nbsp}}분 18{{nbsp}}초 || −31.2{{nbsp}}MJ/kg
|-
| [[지구 저궤도]]
| 6,600–8,400{{nbsp}}km || 200–2,000{{nbsp}}km
| {{ubl|
 | 원: 6.9–7.8{{nbsp}}km/s
 | 타원: 6.5–8.2{{nbsp}}km/s
 }}
| 1{{nbsp}}시간 29{{nbsp}}분 – 2{{nbsp}}시간 8{{nbsp}}분 || −29.8{{nbsp}}MJ/kg
|-
| [[몰니야 궤도]]
| 6,900–46,300{{nbsp}}km || 500–39,900{{nbsp}}km || 1.5–10.0{{nbsp}}km/s|| 11{{nbsp}}시간 58{{nbsp}}분 || −4.7{{nbsp}}MJ/kg
|-
| [[정지 궤도]]
| 42,000{{nbsp}}km || 35,786{{nbsp}}km || 3.1{{nbsp}}km/s || 23{{nbsp}}시간 56{{nbsp}}분 || −4.6{{nbsp}}MJ/kg
|-
| 달의 궤도
| 363,000–406,000{{nbsp}}km || 357,000–399,000{{nbsp}}km || 0.97–1.08{{nbsp}}km/s || 27.3{{nbsp}}일|| −0.5{{nbsp}}MJ/kg
|}

== 같이 보기 ==
* [[치올콥스키 로켓 방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{궤도}}

[[분류:천체동역학]]
[[분류:궤도]]