고본 삼각형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미해결|수학|k개의 직선들로 겹치지 않는 삼각형을 몇개까지 만들 수 있는가?}}
고본 삼각형은 이산기하학의 미해결 난제로, 일본의 퍼즐 전문가인 고본 후지무라에 의해 제시되었다. 이 문제는 k개의 직선을 이용하여 만들 수 있는 겹치지 않는 삼각형의 개수에 관한 문제이다. 문제의 변수들은 유클리드 평면이 아닌 사영평면에 기초하며, 삼각형은 어떠한 직선에 의해서도 분단되어 있어서는 안된다.

사부로 다무라는 k(k-2)/3을 넘지 않는 최대의 정수가 k개의 직선에 의해 형성되는 고본 삼각형의 개수의 상계임을 증명하였다.<ref>{{매스월드|title=Kobon Triangle}}</ref> 2007년도에는, 요하네스 바더와 질 클레망이 직선의 개수 k가 (mod 6)으로 0 또는 2일 경우 고본 삼각형의 개수가 알려진 상계보다 무조건 작음을 증명함으로써 더욱 훌륭한 상계를 찾아내었다.<ref>{{웹 인용 |url=http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/publicationListFiles/cb2007a.pdf |제목=G. Clément and J. Bader. |확인날짜=2017-02-15 |보존url=https://web.archive.org/web/20171111045109/http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/publicationListFiles/cb2007a.pdf |보존날짜=2017-11-11 |url-status=dead }}</ref> 즉, 삼각형의 최대개수는 다무라의 상계보다 1작은 수라고 할 수 있다. 현재까지 밝혀진 고본삼각형의 완벽한 해는 k=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 17일 경우이며,<ref>[http://www.mathpuzzle.com/MAA/45-Kobon/mathgames_02_08_06.html Ed Pegg Jr. on Math Games]</ref> k=10, 11 그리고 12인 경우에는 상계보다 1 작은 값이 가장 적당한 값으로 알려져 있다.

어떠한 k값에 대해 완벽한 해가 주어졌을 때, 다른 몇 몇 고본 삼각형의 해들은 <math>k_n</math>이 다음 점화식을 만족할 경우 구해질 수 있다.
: <math>k_{n+1}=2k_n-1</math>
이 점화식을 만족하는 <math>k_n</math>값들에 대해서는 D.Forge와 J.L. Ramirez Alfonsin이 개발한 방법을 통해 고본 삼각형의 개수를 찾을 수 있다.<ref>[http://www.johannesbader.ch/#kobon "Matlab code illustrating the procedure of] [//en.wikipedia.org/wiki/D._Forge D. Forge]<span> and </span>[//en.wikipedia.org/wiki/J._L._Ramirez_Alfonsin J. L. Ramirez Alfonsin]<span>", Retrieved on 9 May 2012.</span></ref> 예를 들어 k=3에 대한 해를 이용하여 k=3, 5, 9, 17, 33, 65,... 에 대한 해를 찾아낼 수 있다.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 47px;"
| '''k'''
| '''3'''
| '''4'''
| '''5'''
| '''6'''
|  '''7'''
|  '''8'''
|  '''9'''
| '''10'''
| '''11'''
| '''12'''
| '''13'''
| '''14'''
| '''15'''
| '''16'''
| '''17'''
| '''18'''
| '''19'''
| '''20'''
| '''21'''
| [[온라인 정수열 사전|OEIS]]
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| 타무라의 상계 ''N''(''k'')
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| 5
| 8
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| 16
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| {{OEIS link|A032765}}
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| 클레멩 및 베이더의 상계
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| 5
| 7
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| 26
| 33
| 39
| 47
| 55
| 65
| 74
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| 95
| 107
|119
|133
| -
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| 가장 잘 알려진 해
| 1
| 2
| 5
| 7
| 11
| 15
| 21
| 25
| 32
| 38
| 47
| 53
| 65
| 72
| 85
| 93
| 104
| 115
| 130
| {{OEIS link|A006066}}
|}

== 예 ==
<gallery>
파일:KobonTriangle 3.svg|3개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
파일:KobonTriangle 4.svg|4개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
파일:KobonTriangle 5.svg|5개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
파일:KobonTriangle 6.svg|6개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
파일:KobonTriangle 7.svg|7개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
</gallery>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:이산기하학]]
[[분류:유희 수학]]
[[분류:삼각형]]
[[분류:기하학의 미해결 문제]]