고리군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''고리군'''({{llang|en|loop group}})은 [[리 군]]의 [[고리 공간]]이며, [[위상군]]을 이룬다.<ref name="Segal">{{서적 인용 | url=http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BFb0084581/chapter08.pdf | doi=10.1007/BFb0084589 | 장=Loop groups | 이름=Graeme B. | 성=Segal | 제목=Arbeitstagung Bonn 1984 | 총서=Lecture Notes in Mathematics | 권=1111 | 출판사=Springer-Verlag | 날짜=1985 | issn=0075-8434 | isbn=978-3-540-15195-1 | 언어=en | 확인날짜=2018-01-17 | 보존url=https://web.archive.org/web/20180516154515/http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BFb0084581/chapter08.pdf | 보존날짜=2018-05-16 | url-status=dead }}</ref> 이에 대하여, [[반단순 리 군]]의 경우와 마찬가지로 [[보렐-베유-보트 정리]] 등의 이론을 전개할 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 리 군]] <math>G</math>
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
그렇다면, [[매끄러운 함수]]의 공간
:<math>\mathcal C^\infty(M,G)</math>
위에는 점별 곱셈 및 [[콤팩트-열린집합 위상]]을 통해 [[위상군]]의 구조를 줄 수 있다. 이를 <math>G</math>의, <math>M</math> 위의 '''게이지 변환 군'''({{llang|en|group of gauge transformations}})이라고 한다. 만약 <math>M=\mathbb S^1</math>일 때, 이를 <math>G</math>의 '''고리군'''이라고  하며, <math>\mathrm LG</math>라고 표기된다.

고리군 위에는 [[자기 동형]]의 족
:<math>\tau_\theta\colon \mathrm LG\to\mathrm LG</math>
:<math>\tau_\theta\cdot\phi \colon t \mapsto \phi(t+\theta)</math>
이 주어지며, 이를 통해 [[반직접곱]]
:<math>\operatorname U(1)\rtimes\mathrm LG</math>
를 정의할 수 있다.

=== 양에너지 표현 ===
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math> 위의, [[원군]]의 [[군의 표현|표현]]
:<math>\operatorname U(1)\to\operatorname{Aut}(V)</math>
이 다음과 같은 꼴이라면, '''양에너지 표현'''({{llang|en|positive-energy representation}})이라고 한다.
:<math>\exp(\mathrm it) \mapsto \exp(\mathrm itA)</math>
여기서 <math>A</math>는 양의 실수 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]을 갖는 (유계 또는 비유계) 작용소이다.

[[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math> 위의 [[연속 표현]]
:<math>\rho\colon \mathrm LG\to\operatorname{Aut}(V)</math>
이 다음 조건을 만족시킨다면, '''양에너지 표현'''({{llang|en|positive-energy representation}})이라고 한다.
* <math>\tilde\rho\restriction \operatorname U(1)</math>가 [[원군]]의 양에너지 표현이며, <math>\tilde\rho\restriction\mathrm LG = \rho</math>인 [[연속 표현]] <math>\tilde\rho\operatorname U(1)\rtimes \mathrm LG \to \operatorname{Aut}(V)</math>이 존재한다.

== 성질 ==
=== 위상수학적 성질 ===
<math>\mathrm LG</math>가 [[연결 공간]]일 [[필요 충분 조건]]은 <math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결 공간]]인 것이다.

<math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[반단순 리 군]]이라고 하고, 그 [[카르탕 부분군]]이 <math>T\le G</math>라고 하자. 그렇다면, [[올다발]]
:<math>G/T \hookrightarrow \mathrm LG/T \twoheadrightarrow \mathrm LG/G</math>
이 존재한다.

<Math>\mathrm LG/T</math>의 2차 [[특이 코호몰로지]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^2(\mathrm LG/T;\mathbb Z) \cong \mathbb Z \oplus \operatorname H^2(G/T;\mathbb Z)</math>

=== 대수적 성질 ===
[[아핀 리 대수]]는 고리군의 리 대수의 중심 확장이다.

=== 표현론 ===
각
:<math>(n,\lambda)\in\mathbb Z \oplus \operatorname H^2(G/T;\mathbb Z)</math>
에 대하여 <math>\mathrm LG/T</math> 위의 복소수 선다발
:<math>\mathbb C\hookrightarrow L_{n,lambda}\twoheadrightarrow \mathrm LG/T</math>
을 정의할 수 있다. 또한, 그 정칙 단면의 [[복소수 힐베르트 공간]]
:<math>\operatorname H^0(L_{n,\lambda})</math>
을 생각하자. [[동차 공간]] <math>\mathrm LG/T</math> 위에는 <math>\mathrm LG</math>의 표준적인 [[군의 작용|왼쪽 작용]]이 존재하며, 이는 <math>\operatorname H^0(L_{n,\lambda})</math> 위의 왼쪽 작용을 유도한다. 즉, 이는 <math>\mathrm LG</math>의 [[군의 표현|표현]]을 이룬다.

또한, 만약 <math>\operatorname{Lie}(H)^*</math>에서 [[양근]]의 집합을 선택할 경우, [[보렐-베유-보트 정리]]에서의 구성으로서 [[아벨 군]]의 동형
:<math>\operatorname H^2(G/T;\mathbb Z) \cong \hat T</math>
이 결정된다. 여기서 <math>\hat T</math>는 <math>T</math>의 [[폰트랴긴 쌍대군]](즉, <math>\operatorname U(1)\to T</math>의 꼴의 [[군 준동형]]의 군)이다.

고리군에 대하여, 다음과 같은 [[보렐-베유-보트 정리]]의 일종이 성립한다.<ref name="Segal"/>{{rp|163, Proposition (4.2)}}
* <math>\operatorname H^0(L_{n,\lambda})</math>는 0차원이거나 또는 <math>\mathrm LG</math>의 기약 양에너지 표현을 이룬다.
* 반대로, <math>\mathrm LG</math>의 모든 기약 양에너지 표현에 대하여, 이를 위와 같이 구성하는 <math>(n,\lambda)\in\mathbb Z \oplus \operatorname H^2(G/T;\mathbb Z)</math>가 존재한다.
* <math>\operatorname H^0(L_{n,\lambda}) \ne \{0\}</math>일 [[필요 충분 조건]]은 다음과 같다.
** <math>G</math>의 모든 양의 [[쌍대근]] <math>h\in\operatorname{Lie}(T)</math>에 대하여, <math>0\le \lambda(h) \le n\langle h|h\rangle</math>
여기서 <math>\langle -|-\rangle</math>은 <math>T</math>의 [[리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(T)</math> (즉, 쌍대근의 공간) 위의 표준적인 [[양의 정부호]] [[대칭 쌍선형 형식]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[고리 공간]]
* [[유사군]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Loop group}}
* {{nlab|id=loop group|title=Loop group}}
* {{nlab|id=quantization of loop groups|title=Quantization of loop groups}}
* {{nlab|id=positive energy representation|title=Positive energy representation}}

[[분류:리 군]]