고른 테셀레이션 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''고른 테셀레이션''' 또는 '''고른 타일링'''({{llang|en|uniform tiling}})은 평면에서 [[정다각형]] 면을 [[점추이]]가 되도록 하는 테셀레이션이다.

고른 테셀레이션은 [[2차원|유클리드 평면]]과 [[쌍곡공간|쌍곡면]]에 둘 다 존재할 수 있다. 고른 테셀레이션은 [[구 (기하학)|구]]에서의 고른 테셀레이션으로 생각할 수 있는 유한한 [[고른 다면체]]와 관련되어 있다.

대부분의 고른 테셀레이션은 [[공간대칭군|대칭군]]과 [[기본 영역]]에 있는 단일 생성점으로 시작하는 [[위토프 생성]]으로 만들어진다. 평면대칭군은 다각형의 [[기본 영역]]을 가지고 순서가 있는 꼭짓점에 있는 거울의 순서로 나타나는 군의 이름으로 표현될 수 있다.

기본 영역 삼각형은 (''p'' ''q'' ''r'')이고, 직각삼각형은 (''p'' ''q'' 2)이다. 이 때 ''p'', ''q'', ''r''은 전부 1보다 큰 숫자이다. 삼각형은 ''p'', ''q'', ''r''에 따라서 [[구면 삼각형]]처럼, 평면 삼각형처럼, 또는 쌍곡면 삼각형처럼 존재할 수 있다.

수정된 [[슐레플리 기호]]에서부터 직각삼각형 영역으로 가는 도형을 이름짓는 기호적 계획들은 상당히 많다: (''p'' ''q'' 2) → {''p'', ''q''}. [[콕서터 다이어그램]]은 변에 ''p'', ''q'', ''r'' 이라고 이름 붙인 삼각형 그래프이다. ''r'' = 2일 때는, 2차 영역 노드는 반사를 만들지 않기 때문에, 이 그래프는 선형이다. [[위토프 기호]]는 정수가 3개가 있고 수직선(|)으로 분리한다. 생성점이 거울의 영역 노드 반대편에 떨어져 있다면, 선 뒤에 주어진다.

결국 테셀레이션은 꼭짓점 주변의 다각형의 수열인 꼭짓점 배치를 통해서 설명할 수 있다.

모든 고른 테셀레이션은 [[정다각형 타일 덮기|정테셀레이션]]에 다양한 연산을 적용해서 만들 수 있다. 노만 존슨이 이름을 지은 이 연산들은 [[깎기]](영어:truncation, 꼭짓점을 자르는 것), [[절반 깎기]] (영어:rectification, 모서리가 사라질 때까지 꼭짓점을 자르는 것), 그리고 [[부풀림]](영어:Cantellation, 변을 깎는 것)이라고 불린다. [[부풀려 깎기]]는 깎기와 부풀림을 결합한 연산이다. 다듬기는 부풀려 깎은 것을 [[교대 (기하학)|교대깎기]]하는 연산이다. (자세한 것은 [[고른 다면체|고른 다면체#위토프 구성 연산]]을 보라.)

== 콕서터 군 ==
평면의 [[콕서터 군]]은 위토프 구성을 정의하고 콕서터 다이어그램으로 나타낼 수 있다:

전체 위수의 군에 대해서, 다음을 포함한다:

{| class=wikitable
|+ 유클리드 평면
|-
![[오비폴드 표기법|오비폴드<br />대칭]]
!colspan=3|[[콕서터 군]]
![[콕서터 다이어그램|콕서터<br />다이어그램]]
!비고
|-
! colspan=6 | 콤팩트
|- valign=top align=center
| *333
| (3 3 3)
| <math>{\tilde{A}}_2</math>
| [3<sup>[3]</sup>]
| {{CDD|node|split1|branch}}
| 대칭상 3가지, 다듬음 1가지
|- valign=top align=center
| *442
| (4 4 2)
| <math>{\tilde{B}}_2</math>
| [4,4]
| {{CDD|node|4|node|4|node}}
| 대칭상 5가지, 다듬음 1가지
|- valign=top align=center
| *632
| (6 3 2)
| <math>{\tilde{G}}_2</math>
| [6,3]
| {{CDD|node|6|node|3|node}}
| 대칭상 7가지, 다듬음 1가지
|- valign=top align=center
| *2222
| (∞ 2 ∞ 2)
| <math>{\tilde{I}}_1</math> × <math>{\tilde{I}}_1</math>
| [∞,2,∞]
| {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}
| 대칭상 3가지, 다듬음 1가지
|-
! colspan=6 | 콤팩트 하지 않음 ([[일차원적 대칭군]])
|- align=center
| *∞∞
| (∞)
| <math>{\tilde{I}}_1</math>
| [∞]
| {{CDD|node|infin|node}}
|
|- align=center
| *22∞
| (2 2 ∞)
| <math>{\tilde{I}}_1</math> × <math>{\tilde{A}}_2</math>
| [∞,2]
| {{CDD|node|infin|node|2|node}}
| 대칭상 2가지, 다듬음 1가지
|}

{| class=wikitable
|+ 쌍곡면
|-
![[오비폴드 표기법|오비폴드<br />대칭]]
!colspan=2|[[콕서터 군]]
![[콕서터 다이어그램|콕서터<br />다이어그램]]
!비고
|-
! colspan=5 | 콤팩트
|- valign=top align=center
| *pq2
| (p q 2)
| [p,q]
| {{CDD|node|p|node|q|node}}
| 2(p+q) < pq
|- valign=top align=center
| *pqr
| (p q r)
| [(p,q,r)]
| {{CDD|3|node|p|node|q|node|r}}
| pq+pr+qr < pqr
|-
! colspan=5 | 파라콤팩트
|- align=center
| *∞p2
| (p ∞ 2)
| [p,∞]
| {{CDD|node|p|node|infin|node}}|| p>=3
|- align=center
| *∞pq
| (p q ∞)
| [(p,q,∞)]
| {{CDD|3|node|p|node|q|node|infin}}|| p,q>=3, p+q>6
|- align=center
| *∞∞p
| (p ∞ ∞)
| [(p,∞,∞)]
| {{CDD|3|node|p|node|infin|node|infin}}|| p>=3
|- align=center
| *∞∞∞
| (∞ ∞ ∞)
| [(∞,∞,∞)]
| {{CDD|3|node|infin|node|infin|node|infin}}||
|}

== 유클리드 평면에서 고른 테셀레이션 ==
기본 삼각형 (4 4 2), (6 3 2), 그리고 (3 3 3)에서 만들어진 유클리드 평면의 공간대칭군이 있다. 각각은 평면을 기본 삼각형으로 나눌 수 있는 대칭선들의 집합으로 나타낼 수 있다.

이런 공간대칭군은 3가지의 [[정타일링|정테셀레이션]]을 만들고, 7가지 반정테셀레이션을 만든다. 많은 반정테셀레이션은 다른 대칭 생성자에서 반복된다.

(2 2 2 2)로 표현되는 기둥대칭군은 일반적으로 직사각형 기본 영역을 가지는 두 평행한 거울의 집합으로 나타낸다. 이것은 새로운 테셀레이션을 만들어내지는 않는다.

더 나아가서 (∞ 2 2)로 표현되는 무한한 기본공간을 가지는 기둥대칭군은 고른 테셀레이션 두 가지를 만든다: [[무한각기둥]]과 [[무한 엇각기둥]]이다.

두 기둥 테셀레이션의 유한한 면을 쌓는 것은 평면에서의 하나의 [[비-위토프]] 고른 테셀레이션을 만든다. 이것은 정사각형과 정삼각형의 층이 교대로 구성되어 있으며, [[비틀어 늘린 정사각형 타일링|비틀어 늘린 정사각형 테셀레이션]]이라고 불린다.

'''직각 기본 삼각형: (''p'' ''q'' 2)'''
{| class="wikitable"
|-
!(''p'' ''q'' 2)
!기본<br />삼각형
!원본
!깎기
!절반 깎기
!비트 깎기
!전부 깎기<br />(쌍대)
!부풀림
!부풀려 깎기
!다듬음
|-
![[위토프 구성|위토프 기호]]
!
! ''q'' &#124; ''p'' 2
! 2 ''q'' &#124; ''p''
! 2 &#124; ''p'' ''q''
! 2 ''p'' &#124; ''q''
! ''p'' &#124; ''q'' 2
! ''p'' ''q'' &#124; 2
! ''p'' ''q'' 2 &#124;
! &#124; ''p'' ''q'' 2
|-
![[슐레플리 기호]]
!
!''t''{''p'',''q''}
!''t''{''p'',''q''}
!r{p,q}
!2t{p,q}=t{q,p}
!2r{p,q}={q,p}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
![[콕서터 다이어그램]]
!
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|-
![[꼭짓점 배치]]
!
!p<sup>q</sup>
!q.2p.2p
!(p.q)<sup>2</sup>
!p.2q.2q
!q<sup>p</sup>
!p.4.q.4
!4.2p.2q
!3.3.p.3.q
|- align=center
|[[정사각형 타일링|정사각형 테셀레이션]]<br />(4 4 2)
|[[파일:Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square-2-color-zoom.svg|64px]]
|[[파일:Uniform tiling 44-t0.svg|64px]]<br />[[정사각형 타일링|{4,4}]]
|[[파일:Uniform tiling 44-t01.png|64px]]<br />[[깎은 정사각형 타일링|4.8.8]]
|[[파일:Uniform tiling 44-t1.png|64px]]<br />[[정사각형 타일링|4.4.4.4]]
|[[파일:Uniform tiling 44-t12.png|64px]]<br />[[깎은 정사각형 타일링|4.8.8]]
|[[파일:Uniform tiling 44-t2.png|64px]]<br />[[정사각형 타일링|{4,4}]]
|[[파일:Uniform tiling 44-t02.svg|64px]]<br />[[정사각형 타일링|4.4.4.4]]
|[[파일:Uniform tiling 44-t012.png|64px]]<br />[[깎은 정사각형 타일링|4.8.8]]
|[[파일:Uniform tiling 44-snub.svg|64px]]<br />[[다듬은 정사각형 타일링|3.3.4.3.4]]
|-align=center
|[[정육각형 타일링|정육각형 테셀레이션]]<br />(6 3 2)
|[[파일:Tile V46b.svg|64px]]
|[[파일:Uniform tiling 63-t0.svg|64px]]<br />[[정육각형 타일링|{6,3}]]
|[[파일:Uniform tiling 63-t01.png|64px]]<br />[[깎은 정육각형 타일링|3.12.12]]
|[[파일:Uniform tiling 63-t1.png|64px]]<br />[[삼육각형 타일링|3.6.3.6]]
|[[파일:Uniform tiling 63-t12.svg|64px]]<br />[[정육각형 타일링|6.6.6]]
|[[파일:Uniform tiling 63-t2-red.svg|64px]]<br />[[정삼각형 타일링|{3,6}]]
|[[파일:Uniform tiling 63-t02.png|64px]]<br />[[작은 마름모삼육각형 타일링|3.4.6.4]]
|[[파일:Uniform tiling 63-t012.png|64px]]<br />[[큰 마름모삼육각형 타일링|4.6.12]]
|[[파일:Uniform tiling 63-snub.png|65px]]<br />[[다듬은 정육각형 타일링|3.3.3.3.6]]
|}

'''일반 기본 삼각형: (p q r)'''
{| class="wikitable"
![[위토프 구성|위토프 기호]]<br />(p q r)
!기본<br />삼각형
! q &#124; p r
! r q &#124; p
! r &#124; p q
! r p &#124; q
! p &#124; q r
! p q &#124; r
! p q r &#124;
! &#124; p q r
|-
![[콕서터 다이어그램]]
!
!{{CDD|3|node_1|p|node|q|node|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|3|node|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|3|node|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_h|p|node_h|q|node_h|r}}
|-
![[꼭짓점 배치]]
!
!(p.q)<sup>r</sup>
!r.2p.q.2p
!(p.r)<sup>q</sup>
!q.2r.p.2r
!(q.r)<sup>p</sup>
!q.2r.p.2r
!r.2q.p.2q
!3.r.3.q.3.p
|-align=center
|정삼각형<br />(3 3 3)
|[[파일:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg|64px]]
|[[파일:Uniform tiling 333-t0.png|64px]]<br />[[정삼각형 타일링|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[파일:Uniform polyhedron-63-t1-1.svg|64px]]<br />[[삼육각형 타일링|3.6.3.6]]
|[[파일:Uniform tiling 333-t1.svg|64px]]<br />[[정삼각형 타일링|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[파일:Uniform tiling 333-t12.svg|64px]]<br />[[삼육각형 타일링|3.6.3.6]]
|[[파일:Uniform tiling 333-t2.svg|64px]]<br />[[정삼각형 타일링|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[파일:Uniform tiling 333-t02.svg|64px]]<br />[[삼육각형 타일링|3.6.3.6]]
|[[파일:Uniform tiling 333-t012.png|64px]]<br />[[정육각형 타일링|6.6.6]]
|[[파일:Uniform tiling 333-snub.svg|64px]]<br />[[정삼각형 타일링|3.3.3.3.3.3]]
|}

'''비-단체 기본 영역'''

2차원 유클리드 공간에서 [[단체]]가 아닌 가능한 기본 영역은 [[콕서터 다이어그램]]이 {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}인 직사각형 (∞ 2 ∞ 2)이다. 이것에서 만들어진 모든 형태는 [[정사각형 타일링|정사각형 테셀레이션]]이다.

== 쌍곡면에서 고른 테셀레이션 ==

[[쌍곡공간|쌍곡면]]에서 볼록 정다각형으로 이루어진 고른 테셀레이션은 무한히 많으며, 각각은 다른 반사대칭군 (p q r)에 기반해 있다.

여기서 나오는 예시는 [[푸앙카레 원판]] 투영으로 나타냈다.

[[콕서터 다이어그램]]은 실제로는 삼각형일지라도 선분 r로 첫 번째로 연결되는 선형으로 주어진다.

새로운 형태를 만들 수 있는 (2 2 2 3), 등으로 시작하는 직사각형 영역의 공간대칭군은 쌍곡면에서 존재한다. (∞ 2 3)처럼 꼭짓점을 무한에 두는 기본 영역도 있다.

'''직각 기본 삼각형: (''p'' ''q'' 2)'''
{| class="wikitable"
|-
!(p q 2)
!기본<BR>삼각형
!원본
!깎기
!절반 깎기
!비트 깎기
!전부 깎기<br />(쌍대)
!부풀림
!부풀려 깎기
!다듬음
|-
![[위토프 구성|위토프 기호]]
!
! q &#124; p 2
! 2 q &#124; p
! 2 &#124; p q
! 2 p &#124; q
! p &#124; q 2
! p q &#124; 2
! p q 2 &#124;
! &#124; p q 2
|-
![[슐레플리 기호]]
!
!t{p,q}
!t{p,q}
!r{p,q}
!2t{p,q}=t{q,p}
!2r{p,q}={q,p}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
![[콕서터 다이어그램]]
!
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|-
![[꼭짓점 배치|꼭짓점 도형]]
!
!p<sup>q</sup>
!(q.2p.2p)
!(p.q.p.q)
!(p.&nbsp;2q.2q)
!q<sup>p</sup>
!(p.&nbsp;4.q.4)
!(4.2p.2q)
!(3.3.p.&nbsp;3.q)
|-
|(쌍곡면)<BR>(5 4 2)
|[[파일:Order-4 bisected pentagonal tiling.png|72px]]<br>V4.8.10
|[[파일:Uniform tiling 54-t0.png|64px]]<BR>{5,4}
|[[파일:Uniform tiling 54-t01.png|64px]]<BR>4.10.10
|[[파일:Uniform tiling 54-t1.png|64px]]<BR>4.5.4.5
|[[파일:Uniform tiling 54-t12.png|64px]]<BR>5.8.8
|[[파일:Uniform tiling 54-t2.png|64px]]<BR>{4,5}
|[[파일:Uniform tiling 54-t02.png|64px]]<BR>4.4.5.4
|[[파일:Uniform tiling 54-t012.png|64px]]<BR>4.8.10
|[[파일:Uniform tiling 54-snub.png|64px]]<BR>3.3.4.3.5
|-
|(쌍곡면)<BR>(5 5 2)
|[[파일:Order-5 bisected pentagonal tiling.png|72px]]<br>V4.10.10
|[[파일:Uniform tiling 552-t0.png|64px]]<BR>{5,5}
|[[파일:Uniform tiling 552-t01.png|64px]]<BR>5.10.10
|[[파일:Uniform tiling 552-t1.png|64px]]<BR>5.5.5.5
|[[파일:Uniform tiling 552-t12.png|64px]]<BR>5.10.10
|[[파일:Uniform tiling 552-t2.png|64px]]<BR>{5,5}
|[[파일:Uniform tiling 552-t02.png|64px]]<BR>5.4.5.4
|[[파일:Uniform tiling 552-t012.png|64px]]<BR>4.10.10
|[[파일:Uniform tiling 552-snub.png|64px]]<BR>3.3.5.3.5
|-
|(쌍곡면)<BR>(7 3 2)
|[[파일:Order-3 heptakis heptagonal tiling.png|72px]]<br>V4.6.14
|[[파일:Uniform tiling 73-t0.png|64px]]<BR>[[3차 정칠각형 타일링|{7,3}]]
|[[파일:Uniform tiling 73-t01.png|64px]]<BR>3.14.14
|[[파일:Uniform tiling 73-t1.png|64px]]<BR>[[삼칠각형 타일링|3.7.3.7]]
|[[파일:Uniform tiling 73-t12.png|64px]]<BR>7.6.6
|[[파일:Uniform tiling 73-t2.png|64px]]<BR>[[7차 정삼각형 타일링|{3,7}]]
|[[파일:Uniform tiling 73-t02.png|64px]]<BR>3.4.7.4
|[[파일:Uniform tiling 73-t012.png|64px]]<BR>[[큰 마름모삼칠각형 타일링|4.6.14]]
|[[파일:Uniform tiling 73-snub.png|65px]]<BR>3.3.3.3.7
|-
|(쌍곡면)<BR>(8 3 2)
|[[파일:Order-3 octakis octagonal tiling.png|72px]]<br>V4.6.16
|[[파일:Uniform tiling 83-t0.png|64px]]<BR>[[3차 정팔각형 타일링|{8,3}]]
|[[파일:Uniform tiling 83-t01.png|64px]]<BR>3.16.16
|[[파일:Uniform tiling 83-t1.png|64px]]<BR>[[삼팔각형 타일링|3.8.3.8]]
|[[파일:Uniform tiling 83-t12.png|64px]]<BR>8.6.6
|[[파일:Uniform tiling 83-t2.png|64px]]<BR>[[8차 정삼각형 타일링|{3,8}]]
|[[파일:Uniform tiling 83-t02.png|64px]]<BR>3.4.8.4
|[[파일:Uniform tiling 83-t012.png|64px]]<BR>[[큰 마름모삼팔각형 타일링|4.6.16]]
|[[파일:Uniform tiling 83-snub.png|65px]]<BR>3.3.3.3.8
|}

'''일반 기본 삼각형: (p q r)'''
{| class="wikitable"
![[위토프 구성|위토프 기호]]<BR>(p q r)
!기본<BR>삼각형
! q &#124; p r
! r q &#124; p
! r &#124; p q
! r p &#124; q
! p &#124; q r
! p q &#124; r
! p q r &#124;
! &#124; p q r
|-
![[콕서터 다이어그램]]
!
!{{CDD|node_1|p|node|q|node|r}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h|r}}
|-
![[꼭짓점 배치|꼭짓점 도형]]
!
!(p.r)<sup>q</sup>
!(r.2p.q.2p)
!(p.q)<sup>r</sup>
!(q.2r.p.&nbsp;2r)
!(q.r)<sup>p</sup>
!(r.2q.p.&nbsp;2q)
!(2p.2q.2r)
!(3.r.3.q.3.p)
|-
|쌍곡면<BR>(4 3 3)
|[[파일:Uniform dual tiling 433-t012.png|72px]]<br>V6.6.8
|[[파일:Uniform tiling 433-t0.png|64px]]<BR>(3.4)<sup>3</sup>
|[[파일:Uniform tiling 433-t01.png|64px]]<BR>3.8.3.8
|[[파일:Uniform tiling 433-t1.png|64px]]<BR>(3.4)<sup>3</sup>
|[[파일:Uniform tiling 433-t12.png|64px]]<BR>3.6.4.6
|[[파일:Uniform tiling 433-t2.png|64px]]<BR>(3.3)<sup>4</sup>
|[[파일:Uniform tiling 433-t02.png|64px]]<BR>3.6.4.6
|[[파일:Uniform tiling 433-t012.png|64px]]<BR>6.6.8
|[[파일:Uniform tiling 433-snub2.png|64px]]<BR>3.3.3.3.3.4
|-
|쌍곡면<BR>(4 4 3)
|[[파일:Uniform dual tiling 443-t012.png|72px]]<br>V6.8.8
|[[파일:Uniform tiling 443-t0.png|64px]]<BR>(3.4)<sup>4</sup>
|[[파일:Uniform tiling 443-t01.png|64px]]<BR>3.8.4.8
|[[파일:Uniform tiling 443-t1.png|64px]]<BR>(4.4)<sup>3</sup>
|[[파일:Uniform tiling 443-t12.png|64px]]<BR>3.6.4.6
|[[파일:Uniform tiling 443-t2.png|64px]]<BR>(3.4)<sup>4</sup>
|[[파일:Uniform tiling 443-t02.png|64px]]<BR>4.6.4.6
|[[파일:Uniform tiling 443-t012.png|64px]]<BR>6.8.8
|[[파일:Uniform tiling 443-snub1.png|64px]]<BR>3.3.3.4.3.4
|-
|쌍곡면<BR>(4 4 4)
|[[파일:Uniform dual tiling 444-t012.png|72px]]<br>V8.8.8
|[[파일:Uniform tiling 444-t0.png|64px]]<BR>(4.4)<sup>4</sup>
|[[파일:Uniform tiling 444-t01.png|64px]]<BR>4.8.4.8
|[[파일:Uniform tiling 444-t1.png|64px]]<BR>(4.4)<sup>4</sup>
|[[파일:Uniform tiling 444-t12.png|64px]]<BR>4.8.4.8
|[[파일:Uniform tiling 444-t2.png|64px]]<BR>(4.4)<sup>4</sup>
|[[파일:Uniform tiling 444-t02.png|64px]]<BR>4.8.4.8
|[[파일:Uniform tiling 444-t012.png|64px]]<BR>8.8.8
|[[파일:Uniform tiling 444-snub.svg|64px]]<BR>3.4.3.4.3.4
|}

== 고른 테셀레이션의 확장된 목록 ==
고른 테셀레이션의 목록을 확장 할 수 있는 방법은 여러가지가 있다:
# 꼭짓점 도형은 뒤집힌 면을 가질 수 있고, 꼭짓점을 한번 이상 돌 수 있다.
# [[별 다면체]] 타일을 포함할 수 있다.
# [[무한각형]] {∞}을 테셀레이션 면으로 사용할 수 있다.
# 타일은 항상 변이 맞붙어야 한다는 제한을 완화해서 [[피타고라스 타일링|피타고라스 테셀레이션]]같은 추가적인 테셀레이션을 허락 할 수 있다.

뒤집힌 면을 포함하는 대칭군 삼각형:
: (4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)
무한각형을 포함하는 대칭군 삼각형:
: (4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

1987년에 [[브랭코 그린바움]](Branko Grünbaum)은 그의 저서 ''Tilings and patterns''의 섹션 12.3에서 25가지의 고른 테셀레이션을 열거했다. 거기에는 11가지의 볼록한 형태를 포함하고, 추가로 그가 ''빈 테셀레이션''(''hollow tiling'')이라고 이름 붙인 14가지가 포함되어 있다. 빈 테셀레이션은 위의 처음 두 확장(별 다각형과 꼭짓점 도형)을 포함하는 것이다.

1954년에 [[해럴드 스콧 맥도날드 콕서터|H.S.M. 콕서터]]와 그 외는 그들의 논문 'Uniform polyhedra'의 ''표 8: Uniform Tessellations''에서, 처음 세 확장을 사용하였고 총 38가지의 고른 테셀레이션을 열거했다.

결국 두 무한각형으로 만들어진 테셀레이션도 계수되어서 최종적으로는 39가지의 고른 테셀레이션이 고려되었다.

[[파일:Six uniform tiling vertex figures.png|320px|섬네일|볼록 [[정다각형]]과 [[무한각형]]을 사용하는 여섯가지 테셀레이션의 [[꼭짓점 도형]]이다.([[위토프 기호]]는 빨간색으로 주어졌다.)]]
{∞} 타일을 사용하고, [[꼭짓점 도형]]과 [[위토프 기호]]가 주어진 새로운 테셀레이션 7가지는 다음과 같다:
# ∞.∞ (두 반평면 타일, 무한 [[이면체]])
# 4.4.∞ - '''∞ 2 | 2''' ([[무한 각기둥]])
# 3.3.3.∞ - '''| 2 2 ∞''' ([[무한 엇각기둥]])
# 4.∞.4/3.∞ - '''4/3 4 | ∞''' (교대된 사각형 테셀레이션)
# 3.∞.3.∞.3.∞ - '''3/2 | 3 ∞''' (교대된 삼각형테셀레이션)
# 6.∞.6/5.∞ - '''6/5 6 | ∞''' (정육각형 뿐인 교대된 삼육각형 테셀레이션)
# ∞.3.∞.3/2 - '''3/2 3 | ∞''' (정삼각형 뿐인 교대된 삼육각형 테셀레이션)

나머지 목록은 테셀레이션 21가지를 포함한다: 7가지는 {∞} 타일(무한각형)을 포함하는 것이다. 모서리-그래프로 그린 14가지의 특별한 테셀레이션 뿐이며, 첫 번째는 ''3.4.6.4''와 동일하다.
[[파일:Twenty one uniform tiling vertex figures.png|320px|섬네일|고른 테셀레이션 21가지의 꼭짓점 테셀레이션.]]
꼭짓점 도형과 위토프 기호가 주어져 있고, 모서리-그래프가 같은 그룹으로 분류된 21가지는 다음과 같다:
{| class=wikitable
!종류
!꼭짓점<BR>배치
!위토프 기호
|- align=center
!rowspan=2|1
||3/2.12.6.12|| '''3/2 6 &#124; 6'''
|- align=center
||4.12.4/3.12/11 || '''2 6 (3/2 3) &#124;'''
|- align=center
!rowspan=3|2
|| 8/3.4.8/3.∞ || '''4 ∞ &#124; 4/3'''
|- align=center
|| 8/3.8.8/5.8/7 || '''4/3 4 (2 ∞) &#124;'''
|- align=center
|| 8.4/3.8.∞ || '''4/3 ∞ &#124; 4'''
|- align=center
!rowspan=3|3
|| 12/5.6.12/5.∞ || '''6 ∞ &#124; 6/5'''
|- align=center
|| 12/5.12.12/7.12/11 || '''6/5 6 (3 ∞) &#124;'''
|- align=center
|| 12.6/5.12.∞ || '''6/5 ∞ &#124; 6'''
|- align=center
!rowspan=3|4
|| 12/5.3.12/5.6/5 || '''3 6 &#124; 6/5'''
|- align=center
|| 12/5.4.12/7.4/3 || '''2 6/5 (3/2 3) &#124;'''
|- align=center
|| 4.3/2.4.6/5 || '''3/2 6 &#124; 2'''
|- align=center
!5
|| 8.8/3.∞ || '''4/3 4 ∞ &#124;'''
|- align=center
!6
|| 12.12/5.∞ || '''6/5 6 ∞ &#124;'''
|- align=center
!7
|| 8.4/3.8/5 || 2 '''4/3 4 &#124;'''
|- align=center
!8
|| 6.4/3.12/7 || '''2 3 6/5 &#124;'''
|- align=center
!9
|| 12.6/5.12/7 || '''3 6/5 6 &#124;'''
|- align=center
!10
|| 4.8/5.8/5 || '''2 4 &#124; 4/3'''
|- align=center
!11
|| 12/5.12/5.3/2 || '''2 3 &#124; 6/5'''
|- align=center
!12
|| 4.4.3/2.3/2.3/2 || [[비-위토프]]
|- align=center
!13
|| 4.3/2.4.3/2.3/2 || '''&#124; 2 4/3 4/3''' (다듬음)
|- align=center
!14
|| 3.4.3.4/3.3.∞ || '''&#124; 4/3 4 ∞''' (다듬음)
|}

== 자기쌍대 테셀레이션 ==
<!--[[자기쌍대 타일링]]은 여기로 념겨준다.-->
[[파일:Self-dual square tiling.png|오른쪽|{4,4} [[정사각형 타일링|정사각형 테셀레이션]](검은색)과 그 쌍대(빨간색)이다.|대체글={4,4} 정사각형 타일링(검은색)과 그 쌍대(빨간색)이다.]]

테셀레이션 또한 '''자기쌍대'''가 될 수 있다. [[슐레플리 기호]]가 {4,4}인 정사각형 테셀레이션은 자기쌍대이다; 여기에 나온 정사각형 테셀레이션 둘(빨간색과 검은색)은 서로 쌍대이다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[위토프 기호]]
* [[고른 타일링의 목록|고른 테셀레이션의 목록]]
* [[쌍곡면에서 고른 타일링|쌍곡면에서 고른 테셀레이션]]
* [[고른 다포체]]

== 참고 자료 ==
* [[Norman Johnson (mathematician)|Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** [[Norman Johnson (mathematician)|N.W. Johnson]]: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
* {{서적 인용| author1-link=Branko Grünbaum|last1=Grünbaum|first1=Branko|author2-link=G.C. Shephard|last2=Shephard|first2=G. C.| title=Tilings and Patterns | url=https://archive.org/details/isbn_0716711931| publisher=W. H. Freeman and Company | year=1987 | isbn=0-7167-1193-1}} (Star tilings section 12.3)
* [[H. S. M. Coxeter]], [[M. S. Longuet-Higgins]], [[J. C. P. Miller]], ''Uniform polyhedra'', '''Phil. Trans.''' 1954, 246 A, 401–50 {{jstor|91532}} (Table 8)

== 외부 링크 ==
* {{매스월드| urlname=UniformTessellation | title=Uniform tessellation}}
* [http://www2u.biglobe.ne.jp/~hsaka/mandara/ue2 Uniform Tessellations on the Euclid plane]
* [http://www.orchidpalms.com/polyhedra/tessellations/tessel.htm Tessellations of the Plane]
* [http://www.tess-elation.co.uk/ David Bailey's World of Tessellations] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20160402225543/http://www.tess-elation.co.uk/}}
* [https://web.archive.org/web/20060909053826/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/uniftil.htm k-uniform tilings]
* [http://probabilitysports.com/tilings.html n-uniform tilings]
* {{KlitzingPolytopes|flat.htm|4D|Euclidean tilings}}

{{벌집}}
{{테셀레이션}}

[[분류:고른 테셀레이션| ]]