고런스틴 환 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''고런스틴 환'''(Gorenstein環, {{llang|en|Gorenstein ring}})은 국소적으로 [[표준 선다발]]의 단면의 [[가군층]]이 자유 가군층인 가환환이다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|519}} 즉, [[특이점 (대수기하학)|특이점]]을 가질 수 있지만, 특이점이 비교적으로 "정칙적인" [[아핀 스킴]]에 대응하는 가환환이다.

== 정의 ==
[[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소환을 '''고런스틴 국소환'''({{llang|en|Gorenstein local ring}})이라고 한다.<ref name="Matsumura">{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|141–142, Theorem 18.1}}
* <math>R</math>의 [[단사 차원]]이 유한하다.
* <math>R</math>의 [[단사 차원]]이 [[크룰 차원]]과 같다. (뇌터 국소환의 크룰 차원은 항상 유한하다.)
* <math>\operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak m,R)\cong\begin{cases}0&n\ne\dim R\\R/\mathfrak m& n=\dim R\end{cases}</math>
* <math>\operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak m,R)=0</math>인 <math>n>\dim R</math>가 존재한다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** 모든 <math>n<\dim R</math>에 대하여, <math>\operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak m,R)=0</math>
** <math>\operatorname{Ext}_R^{\dim R}(R/\mathfrak m,R)\cong R/\mathfrak m</math>
* <math>R</math>는 [[코언-매콜리 환]]이며, <math>\operatorname{Ext}^{\dim n}_R(R/\mathfrak m,R)\cong R/\mathfrak m</math>
여기서 <math>\dim R</math>는 <math>R</math>의 [[크룰 차원]]이며, <math>\operatorname{Ext}^n_R</math>는 [[Ext 함자]]이다.

[[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 '''고런스틴 환'''({{llang|en|Gorenstein ring}})이라고 한다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|145}}
* 모든 [[극대 아이디얼]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]가 고런스틴 국소환이다.
* 모든 [[소 아이디얼]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]가 고런스틴 국소환이다.

마찬가지로, [[국소 뇌터 스킴]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 '''고런스틴 스킴'''({{llang|en|Gorenstein scheme}})이라고 한다.
* 모든 닫힌 점([[극대 아이디얼]])에서의 [[국소 가환환]]이 고런스틴 국소환이다.
* 모든 점([[소 아이디얼]])에서의 [[국소 가환환]]이 고런스틴 국소환이다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[정칙환]] ⊊ [[완비교차환]]({{llang|en|complete intersection ring}}) ⊊ 고런스틴 환 ⊊ [[코언-매콜리 환]]

뇌터 국소환 <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|145, Theorem 18.3}}
* <math>R</math>가 고런스틴 국소환이다.
* <math>R</math>의 ([[극대 아이디얼]]에서의) [[완비화 (환론)|완비화]] <math>\hat R</math>가 고런스틴 국소환이다.

임의의 체 <math>K</math> 위의 [[아르틴 가환환|아르틴]] 가환 결합 대수(즉, <math>K</math>-[[벡터 공간]]으로서 유한 차원인 것) <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer-Verlag | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 3.15, Theorem  16.23}}
* 고런스틴 환이다.
* 어떤 <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>t\colon R\to K</math>에 대하여, [[대칭 쌍선형 형식]] <math>\langle x,y\rangle = t(xy)</math>이 [[비퇴화 쌍선형 형식]]이다.
[[크룰 차원]]이 0인 임의의 [[뇌터 가환환|뇌터]] [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m,\kappa=R/\mathfrak m)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 고런스틴 국소환이다.
* <math>\hom_R(\kappa,R)</math>는 <math>\kappa</math>-[[벡터 공간]]으로서 1차원이다.

=== 세르 쌍대성 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 고런스틴 스킴 <math>X</math>
* 체 <math>K</math>
* [[유한형 사상]] <math>f\colon X\to \operatorname{Spec}K</math>
그렇다면, [[세르 쌍대성]]에서, 쌍대화 복합체는 사실 하나만의 [[가역층]]으로 주어진다. (이는 쌍대화 복합체에서 등급 <math>-\dim X</math>의 성분이다.) 물론, 만약 <math>f</math>가 [[매끄러운 사상]]이라면, 이 가역층은 <math>\dim X</math>차 [[미분 형식]]의 [[가역층]]인 [[표준 선다발]]이다.

== 역사 ==
대니얼 고런스틴({{llang|en|Daniel Gorenstein}})의 [[대수 곡선]]에 대한 논문<ref>{{저널 인용 | last=Gorenstein | first=Daniel | title=An arithmetic theory of adjoint plane curves | jstor=1990710 |mr=0049591 | year=1952 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=72 | pages=414–436 | doi=10.2307/1990710 | 언어=en}}</ref>을 바탕으로, [[알렉산더 그로텐디크]]가 도입하였다.<ref>{{서적 인용 | last=Grothendieck | first=Alexander | authorlink=알렉산더 그로텐디크 | title=Séminaire Bourbaki. Volume 4: Années 1956/57 – 1957/58. Exposés 137–168 | 장url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__169_0 | publisher=Société Mathématique de France | location=Paris |mr=1610898 | zbl=0227.14014 | 날짜=1957 | chapter=Exposé 149. Théorèmes de dualité pour les faisceaux algébriques cohérents | pages=169–193 | 언어=fr}}</ref> 고런스틴 자신은 "나는 고런스틴 환의 정의조차 이해하지 못한다"고 말하는 것을 좋아했다고 한다.<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|230}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Gorenstein ring}}
* {{매스월드|id=GorensteinRing|title=Gorenstein ring}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/159536/geometric-interpretation-and-differences-of-gorenstein-rings-complete-intersect|제목=Geometric interpretation and differences of Gorenstein rings, complete intersections and regular rings|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[코언-매콜리 환]]

[[분류:가환대수학]]