경험적 누적 분포 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]과 [[통계학]]에서 '''경험적 (누적) 분포 함수'''(經驗的累積分布函數, {{llang|en|empirical (cumulative) distribution function}}) 또는 '''표본 (누적) 분포 함수'''(標本累積分布函數, {{llang|en|sample (cumulative) distribution function}})는 반복된 시행을 통해 확률 변수가 일정 값을 넘지 않을 확률을 유추하는 함수이다. '''글리벤코-칸텔리 정리'''({{llang|en|Glivenko–Cantelli theorem}})에 따르면, [[독립 (확률론)|독립]] 동일 [[확률 분포|분포]] [[확률 변수]]의 열의 경험적 누적 분포 함수는 [[거의 확실하게]] 실제 [[누적 분포 함수]]로 [[균등 수렴]]한다.

== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 <math>n</math>개의 동일 [[확률 분포|분포]] [[확률 변수]]
:<math>X_1,X_2,\dots,X_n\colon\Omega\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>
의 '''경험적 누적 분포 함수'''는 다음과 같다.
:<math>F_n\colon\Omega\times\mathbb R\to[0,1]</math>
:<math>F_n\colon(\omega,x)\mapsto n^{-1}\sum_{k=1}^n1_{(-\infty,x]}(X_k(\omega))</math>

== 성질 ==
=== 점근적 성질 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 [[독립 (확률론)|독립]] 동일 [[확률 분포|분포]] [[확률 변수]]의 열
:<math>X_1,X_2,X_3,\dots\colon\Omega\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>
이 주어졌다고 하자. 또한, <math>F</math>가 공통의 (우연속) [[누적 분포 함수]]라고 하고, <math>F_n</math>이 <math>(X_1,\dots,X_n)</math>의 경험적 누적 분포 함수라고 하자. '''글리벤코-칸텔리 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Tucker">{{저널 인용
|성=Tucker
|이름=Howard G.
|제목=A Generalization of the Glivenko-Cantelli Theorem
|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1959-09_30_3/page/n190
|언어=en
|저널=The Annals of Mathematical Statistics
|권=30
|호=3
|쪽=828–830
|날짜=1959-09
|issn=0003-4851
|jstor=2237422
}}</ref><ref name="Durrett">{{서적 인용
|url=https://services.math.duke.edu/~rtd/PTE/PTE5_011119.pdf
|형식=PDF
|성=Durrett
|이름=Rick
|제목=Probability: Theory and Examples
|언어=en
|판=5
|총서=Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2019
|isbn=978-1-108-47368-2
|doi=10.1017/9781108591034
}}</ref>
:<math>\operatorname{Pr}\left(\left\{\omega\in\Omega\colon\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in\mathbb R}|F_n(\omega,x)-F(x)|=0\right\}\right)=1</math>
즉, <math>F_n</math>은 [[거의 확실하게]] <math>F</math>로 [[균등 수렴]]한다.
{{증명}}
[[큰 수의 강법칙]]에 따라, 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>F_n(x)=n^{-1}\sum_{k=1}^n1_{(-\infty,x]}(X_k)</math>
:<math>F_n(x^-)=n^{-1}\sum_{k=1}^n1_{(-\infty,x)}(X_k)</math>
는 각각 거의 확실하게 <math>F(x)</math>와 <math>F(x^-)</math>로 수렴한다.

이제, 각 <math>j=1,2,3,\dots</math>에 대하여,
:<math>x_{i,j}=\inf\{x\in\mathbb R\colon F(x)\ge i/j\}\qquad(i=1,2,\dots,j-1)</math>
:<math>x_{0,j}=-\infty</math>
:<math>x_{j,j}=\infty</math>
라고 하자. 그렇다면 거의 모든 <math>\omega\in\Omega</math>에 대하여,
:<math>|F_n(\omega,x_{i,j})-F(x_{i,j})|\le j^{-1}\qquad \forall i=0,1,\dots,j,\;n\ge N(j,\omega)</math>
:<math>|F_n(\omega,{x_{i,j}}^-)-F({x_{i,j}}^-)|\le j^{-1}\qquad \forall i=0,1,\dots,j,\;n\ge N(j,\omega)</math>
인 <math>N(j,\omega)</math>가 존재한다. 따라서, 각 <math>i=1,2,\dots,j</math> 및 <math>x\in(x_{i-1,j},x_{i,j})</math> 및 <math>n\ge N(j,\omega)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>F_n(\omega,x)
\le F_n(\omega,{x_{i,j}}^-)
\le F({x_{i,j}}^-)+j^{-1}
\le F(x_{i,j})+2j^{-1}
\le F(x)+2j^{-1}
</math>
:<math>F_n(\omega,x)
\ge F_n(\omega,x_{i-1,j})
\ge F(x_{i-1,j})-j^{-1}
\ge F({x_{i,j}}^-)-2j^{-1}
\ge F(x)-2j^{-1}
</math>
즉, 거의 확실하게
:<math>\sup_{x\in\mathbb R}|F_n(x)-F(x)|\le 2j^{-1}\qquad\forall n\ge N(j,\omega),\;j=1,2,3,\dots</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
글리벤코-칸텔리 정리는 발레리 이바노비치 글리벤코({{llang|ru|Вале́рий Ива́нович Гливе́нко}})와 프란체스코 파올로 칸텔리({{llang|it|Francesco Paolo Cantelli}})의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[스코로호드 공간]]
* [[카플란-마이어 생존분석]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Empirical distribution|성=Prokhorov|이름=A. V.}}
* {{플래닛매스|urlname=EmpiricalDistributionFunction|제목=Empirical distribution function}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]
[[분류:통계학]]