경로 적분 공식화 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|선적분||[[수학]]에서 곡선을 따라 적분하는 일반적인 선적분}}
{{다른 뜻|경로적분법||[[복소해석학]]에서 유수 정리(Residue theorem)를 이용한 적분법}}
{{양자역학}}
{{양자장론}}

[[양자역학]]에서 '''경로 적분'''(經路積分, {{lang|en|path integral}})은 [[해밀턴의 원리]]를 일반화하여 양자론을 기술하는 방법이다. 한 상태에서 다른 상태로 전이할 [[확률진폭]]은 두 상태 사이의 모든 가능한 경로에 대한 [[함수적분]]이다.

[[폴 디랙]]이 경로 적분을 다소 원시적인 형태로 최초로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=P. A. M.|성=Dirac |저자링크=폴 디랙|연도=1933|제목={{lang|en|The Lagrangian in Quantum Mechanics}}|저널={{lang|de|Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion}}|권=3|쪽=64–72}}</ref> 1948년에 [[리처드 파인만]]이 경로 적분을 개량하고, 구체적인 방법론 및 일반화를 개발하였다.<ref>{{저널 인용|이름=R. P.|성=Feynman|저자링크=리처드 파인만|연도=1948|제목=Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics|저널=Reviews of Modern Physics|권=20|호=2|쪽=367–387|doi=10.1103/RevModPhys.20.367|bibcode=1948RvMP...20..367F}}</ref> [[존 휠러]]에게서 지도를 받은 그의 박사 학위 논문에서 몇 가지 사전 작업이 먼저 이루어졌다.

이 기술 방식은 [[이론물리학]]에서 이후 엄청난 파급효과를 가져왔는데, 왜냐하면 시간과 공간에 대한 대칭적인 기술이 가능해졌기 때문이다. 즉, 경로적분에서는 같은 양자계에 대한 서로 전혀 다른 [[정준켤레]]의 기술 사이에 손쉬운 좌표 변환이 가능하다.

== 개요 ==
[[고전역학]]에서는, 어느 [[점입자]] 혹은 [[질량]] 점의 운동은 초기 상태가 주어지면 이후의 운동 경로가 운동방정식의 해로써 모두 결정될 수 있다. 한편, [[양자역학]]에서는 [[불확정성원리|불확정성]]이 존재하기 때문에 고전역학에서와 같은 하나의 경로 만을 생각할 수는 없게 된다. 경로 적분에서는 시공간에서의 시작점과 끝점을 연결하는 무한히 많은 경로를 모두 다 생각하고 그것들의 합성을 통하여 양자역학적인 [[확률진폭]]을 얻게 된다.

[[에르빈 슈뢰딩거]]의 [[파동역학]]이나 [[베르너 하이젠베르크]]의 [[행렬역학]]에서는 [[운동 방정식]]으로써 문제를 풀지만, 경로적분에서는 운동의 경로에 주목하여 전체 경로에 대하여 양자역학의 문제를 취급한다. 파인만은 디랙의 논문에서 시간 <math>t</math>와 <math>t+\Delta t</math> (<math>\Delta t</math>는 시간의 미소 변화) 사이의 두 상태간의 [[전이진폭]]이 해당하는 계의 [[라그랑지언]]의 [[지수 함수]]에 대응될 수 있다는 점에 착상을 얻어 이 기법을 정식화했다. 파인만은 경로 적분을 통하여 극저온에서 액체 [[헬륨]]의 [[초유체]] 상태를 이론적으로 설명하였다.

== 전개 ==
파동함수 <math>\Psi(\mathbf{r},\mathbf{t})</math>의 시간에 따른 변화는 [[하이젠베르크 묘사]]에서의 움직이는 바탕 [[브라-켓 표기법|켓]] <math>| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\rangle</math>을 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:<math>\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{t}_1)=\int d\mathbf{r} \left\langle \mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\right\rangle \Psi(\mathbf{r}_0,\mathbf{t}_0)</math>.

이 때 <math>\left\langle \mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\right\rangle = \left\langle \mathbf{r}_1 \left| e^{ - { i \over {\hbar}} H (t_1 - t_0) } \right| \mathbf{r}_0 \right\rangle  \equiv K(\mathbf{r}_1,t_1;\mathbf{r}_0, t_0)</math>를 파인만 [[핵 (수학)|핵]] 혹은 확률진폭이라고 하며 이것이 시작점 <math>P(\mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0)</math>와 끝점 <math>Q(\mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1)</math> 사이의 모든 경로를 다 생각하면 결국

:<math> K_{\rm P \to Q} = K(\mathbf{r}_1,t_1;\mathbf{r}_0, t_0) = \int_{\rm P}^{\rm Q} e^{ {i \over {\hbar} } S [\rm P, Q] } d\mathbf{r}(t)</math>

으로 표현된다는 것이 경로 적분의 결과이다. 여기서,''H''는 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]이며 ''S''는 [[라그랑지언]] ''L''에 대한 작용

:<math> S = \int_{t_0}^{t_1} L (\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, t) dt </math>

이다. <math>\mathbf{r}</math>는 위치이며 <math> \dot{\mathbf{r}}= d\mathbf{r}/dt </math>이다. <math>\mathbf{t}</math>는 시간이다. 또한 <math>\hbar = h / 2 \pi</math> 로, ''h''는 [[플랑크 상수]]이다.

여기서 <math> \hbar \to 0</math>으로 보내면 고전역학으로 환원된다. 좀 더 자세히 말하면 거시계에서 양자역학은 고전역학으로 수렴할 것이기 때문에 경로적분에서 경로를 중첩해서 더하는 과정에서 고전적인 경로에 적분이 집중되는 것이다. 즉 <math>S\gg \hbar</math>일 경우 함수의 거의 모든 곳에서 지수함수 [[복소수]] 거듭제곱이 격렬하게 진동하게 되어 인접한 경로가 서로 간섭하여 상쇄되게 되는데, S가 경로에 따라 크게 변하지 않을 때만 이러한 상쇄가 일어나지 않으며 이것은 곧 [[해밀턴의 원리]]에 해당하는 고전적인 경로이다.

=== 경로 적분과 분배 함수 ===
양자역학의 경로 적분은 [[통계역학]]의 [[분배 함수 (통계 역학)|분배 함수]]와 다음과 같은 연관성을 가진다. 시작점과 출발점이 같은 경로만을 생각하고, 그 경로 적분에 [[윅 회전]] <math> t\to{\rm i}t</math>을 실행하자. 즉, 시간을 허수로 두어서 시작점과 끝점의 모든 배위를 살피자는 것이다. 이는 온도 <math>1/T\hbar</math>에서 정의된 통계장론의 [[바른틀 앙상블|바른틀]] [[분배 함수 (통계 역학)|분배 함수]]와 같다.

정준 기술에서, 상태의 [[유니타리 행렬|유니터리]] 변화 작용자는
:<math>|\alpha;t\rangle=e^{-{\rm i}Ht / \hbar}|\alpha;0\rangle</math>
와 같이 주어지며 여기서 상태 α는 시간 ''t=0''에서부터 변화한다. 여기서 [[윅 회전]]을 시키면 진폭은 같은 상태의 허수시간 ''it=T''에 대한 것
:<math>Z={\rm Tr} [e^{-HT / \hbar}]</math>
으로 변환되며 이것은 [[통계역학]]의 해당 온도에서의 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]와 같다. 이런 대응성은 일찍이 [[에르빈 슈뢰딩거]]도 [[슈뢰딩거 방정식]]을 윅 회전하면 [[확산방정식]]이 된다는 사실로부터 이미 인지하고 있었다.

== 같이 보기 ==
* [[베레진 적분]]
* [[전파 인자]]
* [[파인먼-카츠 공식]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|doi=10.1142/9789814273572|성=Kleinert|이름=Hagen|제목=Path Integrals In Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, And Financial Markets|판=5판|연도=2009|월=5|출판사=World Scientific|isbn=978-981-4273-55-8|bibcode=2004piqm.book.....K|언어=en}}
* {{저널 인용|성=Zinn-Justin|이름=Jean|제목=Path integral|저널=Scholarpedia|권=4|호=2|쪽=8674|doi=10.4249/scholarpedia.8674|연도=2009|언어=en}}
* {{저널 인용|저자=Sergio Albeverio, Sonia Mazzucchi|제목=Path integral: mathematical aspects|저널=Scholarpedia|권=6|호=1|쪽=8832|doi=10.4249/scholarpedia.8832|연도=2011|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Eric S.|성=Swanson|제목= A Primer on Functional Methods and the Schwinger-Dyson Equations|저널=American Institute of Physics Conference Proceedings|권=1296|쪽=75–121|연도=2010|월=3|doi=10.1063/1.3523221|arxiv=1008.4337|bibcode=2010AIPC.1296...75S|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Christian|성=Grosche|제목=An Introduction into the Feynman Path Integral|arxiv=hep-th/9302097|bibcode=1993hep.th....2097G|언어=en}}
* {{저널 인용|성=MacKenzie|이름=Richard|제목=Path Integral Methods and Applications|연도=2000|월=4|arxiv=quant-ph/0004090|bibcode=2000quant.ph..4090M|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=R.|성=Rosenfelder|제목={{lang|de|Pfadintegrale in der Quantenphysik}}|연도=2012|월=9|arxiv=1209.1315|bibcode=2012arXiv1209.1315R|언어=de}}

{{전거 통제}}
[[분류:양자역학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:통계역학]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:적분]]