경로 (위상수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Path.svg|섬네일|R<sup>2</sup>의 점 A에서 점 B로의 경로. 일반적으로 두 점을 잇는 경로는 여러 개가 있다.]]
[[일반위상수학]]에서, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] X 속의 '''경로'''(經路, {{llang|en|path|패스}})는 [[구간|폐구간]] <math>[0,1]</math>로부터 <math>X</math>로 가는 [[연속함수]]이다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. <math>X</math> 속의 '''경로'''는 [[연속 함수]] <math>f\colon [0,1]\to X</math>이다. 여기서 <math>[0,1]\subset\mathbb R</math>은 표준적인 위상을 가진 [[구간|폐구간]]이다. f(0)을 경로의 '''시작점'''(initial point)이라 하고, f(1)을 경로의 '''끝점'''(terminal point)이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 '''고리'''({{llang|en|loop}})라고 한다.

여기에서 주의할 점은, 경로란 단순히 '[[곡선]]과 유사한' X의 부분집합을 말하는 것이 아니라, [[매개화]]에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 실직선의 f(x) = x와 g(x) = x<sup>2</sup>은 서로 다른 경로다.

=== 유클리드 공간의 경로 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb{R}^n</math>에서 정의되는 '''경로'''는 <math>\mathbf{c}:\left[ a,b\right]\to\mathbb{R}^n</math>로 정의되는 [[사상 (범주론)|사상]]이다. 이러한 경로 <math>\mathbf{c}</math>에 대해서 <math>t</math>가 <math>\left[ a,b\right]</math>에서 변할 때 점 <math>\mathbf{c}\left( t\right)</math>들의 [[집합]] <math>C</math>를 [[곡선]]이라 하고 <math>\mathbf{c}\left( a\right)</math>와 <math>\mathbf{c}\left( b\right)</math>를 [[곡선]] <math>C</math>의 끝점이라고 한다. 이때 경로 <math>\mathbf{c}</math>는 [[곡선]] <math>C</math>를 매개변수화 한다고 한다. 만약 <math>n=3</math>이라면 <math>\mathbf{c}\left( t\right) =\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right)\right)</math>으로 나타낼 수 있는데 이때 <math>x\left( t\right)</math>, <math>y\left( t\right)</math>, <math>z\left( t\right)</math>들을 각각 경로 <math>\mathbf{c}</math>의 성분함수들이라고 한다. 3이 아닌 n에 대해서도 같은 방식으로 정의한다.

== 속도와 속력 ==
{{참고|속도|속력}}
만약 경로 <math>\mathbf{c}</math>가 [[미분 가능]]하다면 매 <math>t</math>에서의 [[속도]]는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\mathbf{c}'\left( t\right) =\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{c}\left( t+h\right) -\mathbf{c}\left( t\right)}{h}</math>
보통 그림으로 나타낼 때는 경로 <math>\mathbf{c}</math>가 매개변수화하는 [[곡선]] <math>C</math>의 각 점을 시작점으로 [[속도|속도벡터]]를 그린다. 이때 그 지점에서의 [[속력]]은 [[속도|속도벡터]]의 크기, 즉 <math>\left\Vert\mathbf{c}'\left( t\right)\right\|</math>로 정의한다. 만약 <math>n=3</math>이라면 <math>\mathbf{c}\left( t\right) =\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right)\right)</math>으로 나타날 것이고 어떤 점 <math>t=t_0</math>에서의 [[속도]]는 [[연쇄법칙]]에 의하여 <math>\mathbf{c}'\left( t_0\right) =\left( x'\left( t_0\right) ,y'\left( t_0\right) ,z'\left( t_0\right)\right) =x'\left( t_0\right)\mathbf{i}+y'\left( t_0\right)\mathbf{j}+z'\left( t_0\right)\mathbf{k}</math>이며 [[속력]]은 이 [[벡터]]의 크기인 <math>\left\Vert\mathbf{c}'\left( t_0\right)\right\| =\sqrt{\left( x'\left( t_0\right)\right)^2+\left( y'\left( t_0\right)\right)^2+\left( z'\left( t_0\right)\right)^2}</math>이다.

== 접벡터와 접선 ==
{{참고|접선}}
[[속도|속도벡터]] <math>\mathbf{c}'\left( t_0\right)</math>는 <math>t=t_0</math>일 때 경로 <math>\mathbf{c}\left( t_0\right)</math>와 접한다. 만약 <math>\mathbf{c}'\left( t_0\right)\ne\mathbf{0}</math>이라면 <math>\mathbf{c}'\left( t_0\right)</math>는 경로 <math>\mathbf{c}</math>로 매개변수화된 [[곡선]] <math>C</math>의 <math>t=t_0</math>에서의 접벡터이다. 그리고 <math>\mathbf{c}\left( t_0\right)</math>로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 [[직선]]을 <math>t=t_0</math>에서의 [[접선]]이라고 한다. 이 [[직선]]은 다음과 같은 경로 <math>\mathbf{l}</math>로 매개변수화되어있다.
:<math>\mathbf{l}\left( t\right) =\mathbf{c}\left( t_0\right) +\left( t-t_0\right)\mathbf{c}'\left( t_0\right)</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |연도=2003}}

[[분류:위상수학]]
[[분류:호모토피 이론]]