경계 (위상수학) 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 의 한 부분집합 <math>E</math>의 '''경계'''(境界, {{llang|en|boundary,the surface of interface}})란 E의 가장자리를 둘러싸는 테두리를 말한다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>의 [[부분공간]] <math>Y\subset X</math>의 '''경계''' <math>\partial Y\subset X</math>는 다음 성질을 만족시키는 점 <math>x\in X</math>들의 집합이다.
:<math>x</math>의 모든 [[근방]] <math>N\ni x</math>에 대하여, <math>N\cap Y\ne\varnothing</math>이며 <math>N\setminus Y\ne\varnothing</math>이다.

== 성질 ==
경계는 다음과 같이 [[폐포 (위상수학)|폐포]] 연산으로 나타낼 수 있다.
:<math>\partial Y=\operatorname{cl}Y\setminus\operatorname{int}Y=\operatorname{cl}Y\cap\operatorname{cl}(X\setminus Y)</math>
여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]], <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]를 의미한다.

경계와 집합 연산 ([[합집합]]과 [[교집합]]) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
* <math>\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B</math>
* <math>\partial(A \cap B) \subseteq \partial A \cup \partial B</math>

== 같이 보기 ==
* [[내부 (위상수학)]]
* [[외부 (위상수학)]]

[[분류:일반위상수학]]