경계다양체 문서 원본 보기

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[[파일:Red_cylinder.svg|thumb|right|유한한 높이의 [[원기둥]]은 2차원 경계다양체를 이루며, 그 경계는 두 개의 원으로 구성된다.]]
[[미분기하학]]에서 '''경계다양체'''(境界多樣體, {{llang|en|manifold-with-boundary}})는 국소적으로 [[유클리드 공간]] 또는 유클리드 반(半)공간에 [[위상 동형]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. [[다양체]]의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 "경계"를 가질 수 있다.

일부 문헌에서는 경계다양체의 개념을 단순히 "다양체"로 부르고, 다양체의 개념을 "경계 없는 다양체"로 부른다.

== 정의 ==
임의의 [[자연수]] <math>n</math>에 대하여, 유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 및 유클리드 반(半)공간 <math>\mathbb R^n\times\mathbb R_{\ge0}</math>을 정의할 수 있다.

임의의 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, '''<math>n</math>차원 경계다양체'''({{llang|en|<math>n</math>-dimensional manifold-with-boundary}})는 다음 조건을 만족시키는 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[파라콤팩트 공간]] <math>X</math>이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\mathbb R^{n-1}\times\mathbb R_{\ge0}</math>의 [[열린집합]]과 [[위상 동형]]인 [[열린 근방]] <math>x\in U\subseteq X</math>가 존재한다.

<math>n</math>차원 경계다양체 <math>X</math>의 '''경계'''(境界, {{llang|en|boundary}}) <math>\partial X\subseteq X</math>는 다음 조건을 만족시키는 점들로 구성되는 부분 집합이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\mathbb R^n</math>의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방 <math>x\in U\subseteq X</math>이 존재하지 않는다.
이에 따라, <math>X\setminus\partial X</math>는 <math>n</math>차원 [[다양체]]를 이루며, <math>\partial X</math>는 <math>n-1</math>차원 다양체를 이룬다.

=== 매끄러운 경계다양체 ===
<math>n</math>차원 경계다양체 <math>X</math> 위의 '''국소 좌표계'''({{llang|en|atlas}})는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[열린집합]]들의 족 <math>(U_i)_{i\in I}</math>
* 각 <math>i\in I</math>에 대하여, [[단사 함수|단사]] [[연속 함수]] <math>\phi_i\colon U_i\to\mathbb R^{n-1}\times\mathbb R_{\ge0}</math>. 또한, <math>\phi_i</math>는 <math>U_i</math>와 <math>\phi_i(U_i)</math> 사이의 위상 동형을 정의한다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>i,j\in I</math>에 대하여, 만약 <math>U_i\cap U_j\ne\varnothing</math>이라면, <math>\phi_j\circ\phi_i^{-1}\colon \phi_i(U_i\cap U_j)\to\phi_j(U_i\cap U_j)</math>는 [[매끄러운 함수]]이다.
국소 좌표계가 주어진 경계다양체를 '''매끄러운 경계다양체'''({{llang|en|smooth manifold-with-boundary}})라고 한다. 서로 호환되는 두 국소 좌표계는 같은 매끄러운 경계다양체를 정의한다.

=== 이중 다양체 ===
임의의 <math>n</math>차원 경계다양체 <math>X</math>가 주어졌을 때, [[분리합집합]]
:<Math>X\sqcup X=X\times\{0,1\}</math>
에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 주자.
:<math>(x,0)\sim (x,1)\qquad(\forall x\in\partial X)</math>
그렇다면, [[몫공간]]
:<math>\tilde X=(X\sqcup X)/\sim</math>
은 항상 <math>n</math>차원 다양체를 이루며, 자연스러운 사상
:<math>\tilde X\twoheadrightarrow X</math>
이 존재한다. 이 경우, <math>\tilde X</math>를 <math>X</math>의 '''이중 다양체'''(二重多樣體, {{llang|en|double manifold}})이라고 한다.

만약 <math>X</math>가 매끄러운 경계다양체라면, 그 이중 다양체는 항상 자연스럽게 [[매끄러운 다양체]]를 이룬다.

== 성질 ==
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:[[다양체]] ⇒ 경계다양체 ⇒ [[오비폴드]]
즉, 모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 경계다양체는 오비폴드이다. 이름과 달리 다양체가 아닌 경계다양체가 존재한다.

== 예 ==
모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 [[매끄러운 다양체]]는 매끄러운 경계다양체이다.

유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 속의 [[닫힌 공]]
:<math>\operatorname{cl}\left(\operatorname{ball}(\mathbf x,r)\right)\qquad(\mathbf x\in\mathbb R^n,\;r\in\mathbb R^+)</math>
은 자연스럽게 <math>n</math>차원 매끄러운 경계다양체를 이루며, 그 경계는 <math>n-1</math>차원 [[초구]]이다. 이는 다양체를 이루지 않는다.

특히, <math>n=1</math>일 때, [[닫힌구간]]은 항상 경계다양체를 이룬다. 닫힌구간 <math>[a,b]</math>의 경계는 양끝점 <math>\{a,b\}</math>이다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=manifold with boundary|title=Manifold with boundary}}
* {{nlab|id=boundary|title=Boundary}}
* {{웹 인용|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Manifold_Atlas:Definition_of_%E2%80%9Cmanifold%E2%80%9D|제목=Definition of “manifold”|웹사이트=Manifold Atlas|언어=en}}

[[분류:미분기하학]]