결합 구조 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Incidencestructure.svg|섬네일|오른쪽|결합 구조의 예. 이는 6개의 점(A, B, C, D, E, P) 및 6개의 직선(l, m, n, o, p, q)을 갖는다.]]
[[기하학]]에서 '''결합 구조'''(結合構造, {{llang|en|incidence structure}})는 두 [[집합]] 및 그 사이의 어떤 [[이항 관계]]로 구성된 수학적 구조이다. 일부 경우, 이는 각각 점과 직선으로 이루어진 기하계로 해석될 수 있다.

== 정의 ==
'''결합 구조''' <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 집합 <math>X</math>. 그 원소를 '''점'''(點, {{llang|en|point}})이라고 한다.
* 집합 <math>L</math>. 그 원소를 '''직선'''(直線, {{llang|en|line}})이라고 한다.
* [[부분 집합]] <Math>\vartriangleleft\subseteq X\times L</math>. 만약 <math>(x,l)\in \vartriangleleft</math>라면 이를 <math>x\vartriangleleft l</math> 또는 <math>l\vartriangleright x</math>로 표기하고, <math>x</math>가 <math>l</math>과 '''결합한다'''(結合-, {{llang|en|incident}})고 한다. (이 [[이항 관계]]는 <math>x\,\mathsf I\,l</math> 또는 <math>x\in l</math> 등으로 표기되기도 한다.)

결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>에서, [[부분 집합]]
:<math>X'\subseteq X</math>
:<math>L'\subseteq L</math>
이 주어졌을 때, <math>(X',L',\vartriangleleft\restriction X'\times L')</math>를 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>의 '''부분 결합 구조'''(部分結合構造, {{llang|en|incidence substructure}})라고 한다.

=== 균등 결합 구조 ===
결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''균등 결합 구조'''(均等結合構造, {{llang|en|uniform incidence structure}})라고 한다.
* 임의의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>|\{l\in L\colon x\vartriangleleft l\}| = |\{l\in L\colon y\vartriangleleft l\}|</math>이다.

결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''정칙 결합 구조'''(正則結合構造, {{llang|en|regular incidence structure}})라고 한다.
* 임의의 두 직선 <math>l,m\in L</math>에 대하여, <math>|\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}| = |\{x\in X\colon x\vartriangleleft m\}|</math>이다.

이 두 개념은 서로 쌍대이다. 즉, 균등 결합 구조의 쌍대 결합 구조는 정칙 결합 구조이며, 그 역도 성립한다.

=== 선형 공간 ===
결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>가 만약 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''준선형 공간'''(準線形空間, {{llang|en|partial linear space}})이라고 한다.
* (A) 임의의 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\vartriangleleft l\vartriangleright y</math>인 직선 <math>l\in L</math>이 적어도 하나 이상 존재한다.
* (B) 임의의 직선 <Math>l\in L</math>에 대하여, <math>x\vartriangleleft l\vartriangleright y</math>인 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math>이 항상 존재한다.
다음 조건을 만족시키는 준선형 공간 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>을 '''선형 공간'''(線形空間, {{llang|en|linear space}})이라고 한다.
* (A′) 임의의 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\vartriangleleft l\vartriangleright y</math>인 직선 <math>l\in L</math>이 유일하게 존재한다.

== 연산 ==
=== 쌍대 결합 구조 ===
결합 구조 <math>P=(X,L,\vartriangleleft)</math>가 주어졌을 때, <math>(L,X,\vartriangleright)</math>, 즉
* <Math>P</math>의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
* <math>P</math>의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
* <math>P</math>에서 결합하는 점과 직선은 결합하는 직선과 점에 대응되는
결합 구조를 구성할 수 있다. 이를 <math>P</math>의 '''쌍대 결합 구조'''(雙對結合構造, {{llang|en|dual incidence structure}})이라고 한다.

스스로의 쌍대와 동형인 결합 구조를 '''자기 쌍대 결합 구조'''(自己雙對結合構造, {{llang|en|self-dual incidence structure}})라고 한다.

만약 <math>P</math>가 [[사영 평면]]이라면 그 쌍대 결합 구조 역시 [[사영 평면]]이다.

=== 결합 행렬 ===
결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>가 주어졌으며, <math>X</math>와 <math>L</math>이 둘 다 [[유한 집합]]이라고 하자. <math>X</math>와 <math>L</math> 위에 각각 임의의 [[전순서]]를 부여하여
:<math>X=\{x_1,x_2,\dotsc,x_m\}</math>
:<math>L=\{l_1,l_2,\dotsc,l_n\}</math>
로 적자. 그렇다면, 다음과 같은 <Math>m\times n</math> [[행렬]]을 정의할 수 있으며, 이를 결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>의 '''결합 행렬'''(結合行列, {{llang|en|incidence matrix}})이라고 한다.
:<math>M_{ij}=\begin{cases}
1&x_i\vartriangleleft l_j\\
0&x_i\not\vartriangleleft l_j
\end{cases}</math>

=== 레비 그래프 ===
결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은, 검은색 및 흰색의 [[그래프 색칠]]을 갖는 [[이분 그래프]]를 정의할 수 있다.
* 검은 꼭짓점은 점(<math>X</math>의 각 원소)에 대응한다.
* 흰 꼭짓점은 직선(<math>L</math>의 각 원소)에 대응한다.
* 검은 꼭짓점 <math>x\in X</math> 및 흰 꼭짓점 <math>l\in L</math> 사이에 변이 있을 [[필요 충분 조건]]은 <math>x\vartriangleleft l</math>인지 여부이다.
이를 결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>의 '''레비 그래프'''({{llang|en|Levi graph}})라고 한다.

== 예 ==
=== 자명한 결합 구조 ===
임의의 집합 <math>X</math>에 대하여, <math>L=\varnothing</math>으로 정의하면, 유일한 결합 구조 <math>(X,\varnothing,\varnothing)</math>를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다.

마찬가지로, 임의의 집합 <math>L</math>에 대하여, <math>X=\varnothing</math>으로 정의하면, 유일한 결합 구조 <math>(\varnothing,L,\varnothing)</math>를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 점이 존재하지 않는다.

=== 그래프 ===
{{본문|그래프}}
임의의 [[그래프]] <math>\Gamma</math>가 주어졌을 때,
* 점을 <math>\Gamma</math>의 꼭짓점으로 삼으며,
* 직선을 <math>\Gamma</math>의 변으로 삼으며,
* 결합 관계를 변이 꼭짓점을 끝점으로 갖는지 여부로 삼는
결합 구조 <math>(\operatorname V(\Gamma),\operatorname E(\Gamma),\vartriangleleft)</math>를 정의할 수 있다.

=== 다각형 ===
[[파일:Complete graph K3.svg|섬네일|오른쪽|삼각형 결합 구조]]
2 이상의 정수 <math>n\ge2</math>가 주어졌다고 하자. 집합
:<math>X=\{x_1,x_2,\dotsc,x_n\}</math>
:<math>L=\{l_1,l_2,\dotsc,l_n\}</math>
위에, 다음과 같은 결합 관계를 주자.
:<math>x_i\vartriangleleft l_j\iff j-i\equiv 0, 1\pmod n</math>
이 결합 구조 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>를 '''<math>n</math>각형'''(<math>n</math>角形, {{llang|en|<math>n</math>-gon}})이라고 한다.

특히, 만약 <math>n\ge3</math>일 경우 이는 길이 <math>n</math>의 [[순환 그래프]]에 대응하는 결합 구조이다.

=== 블록 설계 ===
{{본문|블록 설계}}
임의의 [[블록 설계]] <math>(X,\mathcal B)</math>가 주어졌을 때,
* 점을 <math>X</math>의 원소로 삼으며,
* 직선을 블록(즉, <math>\mathcal B</math>의 원소)으로 삼으며,
* 결합 관계를 점이 블록의 원소인지 여부로 삼는
결합 구조 <math>(X,\mathcal B,\in)</math>를 정의할 수 있다.

=== 사영 평면 ===
[[파일:Fano plane with nimber labels.svg|섬네일|오른쪽|[[파노 평면]] <math>\mathbb P^2_{\mathbb F_2}</math>은 [[사영 평면]]의 한 예이다.]]
{{본문|사영 평면}}
'''[[사영 평면]]'''은 특별한 균등 정칙 결합 구조이다.

=== 리만 다양체 ===
{{본문|리만 다양체}}
임의의 [[리만 다양체]] <math>(X,g)</math>가 주어졌을 때,
* 점을 <math>X</math>의 원소로 삼으며,
* 직선을 <math>(X,g)</math>의 (확장 불가능) [[측지선]]으로 삼으며,
* 결합 관계를 점이 측지선에 속하는지 여부로 삼는
결합 구조를 정의할 수 있다.

=== 일반화 다각형 ===
{{본문|일반화 다각형}}
'''[[일반화 다각형]]'''은 [[사영 평면]]의 일반화이며, 특별한 종류의 준선형 공간이다.

== 역사 ==
“레비 그래프”라는 용어는 독일의 수학자 프리드리히 빌헬름 다니엘 레비({{llang|de|Friedrich Wilhelm Daniel Levi}}, 1888~1966)의 이름을 딴 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[추상다포체]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last1=Dembowski | first1=Peter | title=Finite geometries | publisher=Springer-Verlag | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권= 44 | mr=0233275  | year=1968 | isbn=3-540-61786-8|언어=en}}
* {{서적 인용|first1=Tomaž|last1=Pisanski|first2=Brigitte|last2=Servatius|title=Configurations from a graphical viewpoint|year=2013|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-8176-8363-4|doi=10.1007/978-0-8176-8364-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Incidence system}}
* {{eom|title=Incidence matrix}}
* {{매스월드|id=Configuration|title=Configuration}}
* {{매스월드|id=IncidenceMatrix|title=Incidence matrix}}
* {{매스월드|id=IncidenceGraph|title=Incidence graph}}
* {{nlab|id=synthetic geometry|title=Synthetic geometry}}

[[분류:집합족]]
[[분류:조합론]]
[[분류:유한기하학]]
[[분류:결합기하학]]