결합분포 문서 원본 보기

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[[확률론]]에서 '''결합 분포'''란 [[확률 변수]]가 여러 개일 때 이들을 함께 고려하는 [[확률 분포]]이다. 결합 분포는 확률 분포의 일종이므로 '''결합 확률 분포'''라고도 한다.

== 이산적인 경우 ==

[[이산 확률 변수]] ''X'', ''Y''에 대한 결합 [[확률 질량 함수]]는 Pr(''X''&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;&&nbsp;''Y''&nbsp;=&nbsp;''y'')로 쓸 수 있다. 그러면 다음 식이 성립한다.

:<math>P(X=x\ \mathrm{and}\ Y=y) = P(Y=y|X=x)P(X=x)= P(X=x|Y=y)P(Y=y)\;</math>

이것들은 확률이기 때문에 다음 식이 성립한다.

:<math>\sum_x \sum_y P(X=x\ \mathrm{and}\ Y=y) = 1\;</math>

== 연속적인 경우 ==

[[연속 확률 변수]]에 대한 결합 [[확률 밀도 함수]]는 ''f''<sub>''X'',''Y''</sub>(''x'',&nbsp;''y'')로 쓸 수 있고, 다음 식이 성립한다.

:<math>f_{X,Y}(x,y) = f_{Y|X}(y|x)f_X(x) = f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)\;</math>

여기서 ''f''<sub>''Y''|''X''</sub>(''y''|''x'')와''f''<sub>''X''|''Y''</sub>(''x''|''y'')는 각각 ''X''&nbsp;=&nbsp;''x''가 주어질 때의 ''Y''와, ''Y''&nbsp;=&nbsp;''y''가 주어질 때의 ''X''에 대한 [[조건 분포]]이다. 그리고 ''f''<sub>''X''</sub>(''x'')와 ''f''<sub>''Y''</sub>(''y'')는 각각 ''X''와 ''Y''의 [[주변 분포]]이다.

역시 이것들은 확률이기 때문에 다음 식이 성립한다.
:<math>\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y) \; dy \; dx= 1.</math>

== 독립 변수의 결합 분포 ==

모든 ''x'', ''y''에 대해서 이산 확률 변수인 경우에는 <math>\ P(X = x \ \mbox{and} \ Y = y ) = P(X = x) \cdot P(Y = y)</math>, 연속 확률 변수인 경우에는 <math>\ p_{X,Y}(x,y) = p_X(x) \cdot p_Y(y)</math>가 성립하면, ''X''와 ''Y''는 [[독립]]이라고 한다.

== 다차원 분포 ==

두 확률 변수에 대한 결합 분포는 여러 확률 변수 ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>에 대한 분포로 확장할 수 있다. 다음 관계에 따라서 변수를 순서대로 더하면 된다.

:<math>f_{X_1, \ldots, X_n}(x_1, \ldots, x_n) = f_{X_n | X_1, \ldots, X_{n-1}}( x_n | x_1, \ldots, x_{n-1}) f_{X_1, \ldots, X_{n-1}}( x_1, \ldots, x_{n-1} ) .</math>

== 같이 보기 ==
* [[베이즈 네트워크]]

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]