결합법칙 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Associativity of binary operations (without question marks).svg|thumb]]
[[수학]]에서 '''결합법칙'''(結合 法則, associative property)은 [[이항연산]]이 가질 수 있는 성질이다. 한 식에서 [[연산 (수학)|연산]]이 두 번 이상 연속될 때, 앞쪽의 연산을 먼저 계산한 값과 뒤쪽의 연산을 먼저 계산한 결과가 항상 같을 경우 그 연산은 '''결합법칙을 만족한다'''고 한다.

[[실수]]의 [[덧셈]]과 [[곱셈]]은 결합법칙을 만족한다. 예를 들어 다음 식은 참이다.
:(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

결합법칙이 성립하지 않는 가장 쉬운 예는 [[실수]]의 [[뺄셈]]일 것이다. 다음 식에서,
:(8 - 7) - 3 ≠ 8 - (7 - 3)
좌변과 우변의 결과값은 각각 -2와 4로 서로 다르다. 따라서 실수는 뺄셈에 대하여 결합법칙이 성립하지 않는다.

또한, [[실수]]의 [[나눗셈]]도 결합법칙이 성립하지 않는다. 다음 식에서,
:(8 ÷ 7) ÷ 3 ≠ 8 ÷ (7 ÷ 3)
: <math>{{8 \over 7} \over {3 \over 1}}   \neq  {{8 \over 1} \over {7 \over 3}}</math>
: <math>{{8 } \over {21}}   \neq  {{24} \over {7}}   </math>
좌변과 우변의 결과값은 각각 0.38095...와 3.42857...로 서로 다르다. 따라서 실수는 나눗셈에 대하여도 결합법칙이 성립하지 않는다.

== 정의 ==
[[집합]] ''S''에 대해 정의된 이항 연산 <math>*</math>이 결합법칙을 만족하면 다음 식이 성립한다.
: <math>(x*y)*z = x*(y*z)\qquad\forall x,y,z \in S</math>
이 때 좌변과 우변의 값은 연산을 수행하는 순서에 영향을 받지 않는다. 이 법칙은 <math>*</math> 연산이 세 번 이상 나타날 때에도 확장해서 적용할 수 있으며, 따라서 <math>*</math>가 결합법칙을 만족하면 연산 순서를 따로 지정하지 않아도 모호함 없이 수식의 값이 결정된다. 따라서 보통 위의 수식을 괄호 없이 다음과 같이 쓴다.
: <math>x*y*z</math>

== 예시 ==
* [[자연수]], [[정수]], [[유리수]], [[실수]], [[복소수]], [[사원수]]의 [[덧셈]]과 [[곱셈]]은 결합법칙이 성립한다. [[팔원수]]의 덧셈도 결합법칙이 성립하지만 곱셈은 성립하지 않는다.
* [[최대공약수]]와 [[최소공배수]] 함수는 결합법칙을 만족한다.
* [[행렬 곱셈]]은 결합법칙을 만족한다. 
* [[선형 변환]]이 행렬의 곱셈으로 표현되므로 선형 변환 역시 결합법칙을 만족한다.
* [[집합]]의 [[교집합]]과 [[합집합]] 연산은 각각 결합법칙이 성립한다.
* [[진릿값]]의 [[논리곱]], [[논리합]], [[배타적 논리합]] 등 [[논리 연산]]은 각각 결합법칙이 성립한다.
* 각 함수의 정의역과 치역이 올바르게 정의된 [[함수의 합성| 합성함수]]도 결합법칙을 만족한다. 즉 <math>h: M \to N, \ g: N \to P, \ f: P \to Q</math>인 세 함수가 있을 때,
*: <math>(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) = f \circ g \circ h</math>

== 같이 보기 ==
* [[교환법칙]]
* [[분배법칙]]

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:초등대수학]]
[[분류:함수해석학]]