겔폰트-슈나이더 정리 문서 원본 보기

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'''겔폰트-슈나이더 정리'''(Gelfond-Schneider theorem, -定理)는 특정한 [[대수적 수]]의 조합이 [[초월수]]라는 것을 의미하는 [[대수적 수론]]의 [[정리]]이다.

== 역사 ==
[[소련]]의 [[수학자]]인 [[알렉산드르 겔폰트]], [[독일]]의 수학자인 [[테오도어 슈나이더]]가 1934년에 독립적으로 증명하였다.<ref>{{저널 인용|저자=Aleksandr Gelfond|제목=Sur le septième Problème de Hilbert|저널=Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na|권=VII|호=4|쪽=623–634|연도=1934년|url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924|언어=프랑스어}}</ref><ref>{{저널 인용|저자=Theodor Schneider|제목=Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen|저널=J. Reine Angew. Math.|권=172|호=1935|쪽=65-69|doi=10.1515/crll.1935.172.65|언어=독일어}}</ref> 이 정리는 [[힐베르트의 문제들|힐베르트의 7번째 문제]]가 긍정적으로 해결하는 역할을 한다.

== 공식화와 응용 ==
''a''와 ''b''가 [[대수적 수]]이고 ''a'' ≠ 0, log ''a'' ≠ 0이며 ''b''가 [[무리수]]이면 ''a<sup>b</sup>''는 [[초월수]]가 된다.

로그에 대한 등가 공식(로그의 밑이 임의로 선택됨)은 다음과 같다.<ref>{{웹 인용|저자=Фельдман Н.|url=http://kvant.mccme.ru/1983/07/algebraicheskie_i_transcendent.htm|제목=Алгебраические и трансцендентные числа|날짜=2017년 8월 9일}}</ref>

* 만약 ''a'', ''b''가 0이나 1과 같지 않은 대수적 수라면 <math>\log(b) / \log(a)</math>는 유리수이거나 초월수이다.
* 만약 <math>\log(a), \log(b)</math>가 유리수에 대해 선형으로 독립적이라면 그들은 대수적 수에도 선형으로 독립적이다.

=== 설명 ===
* ''a''와 ''b''의 값은 실수에 제한되지 않으며 복소수도 허용된다. (여기서 복소수는 실수부와 허수부 모두 실수일지라도 0이 아닌 허수부 가질 때 실수로 간주되지 않는다.)
* 일반적으로 {{개행 금지|1=''a<sup>b</sup>'' = exp(''b'' log ''a'')}}는 [[다가 함수]]이며 여기서 로그는 복소수 로그를 나타낸다. 이것은 정리의 진술에서 "임의의 값"이라는 구절을 설명한다.
* 정리의 등가 공식은 다음과 같다: ''α''와 ''γ''가 0이 아닌 대수적 수이고 우리가 ''α''의 0이 아닌 로그들을 취한다면 {{개행 금지|(log ''γ'')/(log ''α'')}}는 유리수 또는 초월수이다. 이것은 만약 {{개행 금지|log ''α''}}, {{개행 금지|log ''γ''}}가 유리수들에 대해 [[일차 독립 집합]]이면 대수적 수들에 대해 선형적으로 독립적인 로그라고 말하는 것으로 표현할 수 있다. 이 문장이 몇 개의 대수적 수의 로그에서 보다 일반적인 선형으로 일반화되는 것은 초월수 이론의 영역에 있다.
* ''a''와 ''b''가 대수라는 제한이 제거되면 일반적으로 문장은 참으로 유지되지 않는다. 예를 들어 <math>{\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math>라고 가정하자. 여기서 ''a''는 {{제곱근|2}}<sup>{{제곱근|2}}</sup>이며 이는 (정리 자체에서 증명된) 대수적이라기보다는 초월적이다. 마찬가지로 {{개행 금지|1=''a'' = 3}}과 {{개행 금지|1=''b'' = (log 2)/(log 3)}}가 초월적이라면 {{개행 금지|1=''a<sup>b</sup>'' = 2}}는 대수적이라고 말할 수 있다. 초월수 ''a<sup>b</sup>''을 생성하는 ''a''와 ''b''에 대한 값의 특성화는 알려져 있지 않다.
* [[쿠르트 말러]]는 이러한 정리의 [[p진수|''p''진수]] 유사성을 다음과 같이 증명했다: ''a''와 ''b''가 '''C'''<sub>''p''</sub>에 있고 '''Q'''<sub>''p''</sub>의 대수적 폐포의 완비이며 '''Q'''에 대해 대수적이라면 <math>|a-1|_p<1</math> and <math>|b-1|_p<1,</math> then <math>(\log_p a)/(\log_p b)</math>이다. 여기서 <math>(\log_p a)/(\log_p b)</math>는 ''p''진수 [[지수 함수]]이다.

== 필연적인 결과 ==
다음 숫자의 초월은 그 정리로부터 즉시 뒤따른다.

* [[겔폰트-슈나이더 상수]] <math>2^{\sqrt{2}}</math>와 제곱근 <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}.</math>
* [[겔폰트 정수]] <math>e^{\pi} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = (-1)^{-i} = 23.14069263 \ldots</math> 
* <math>i^i = \left( e^{\frac{i \pi}{2}} \right)^i = e^{-\frac{\pi}{2}} = 0.207879576 \ldots</math>

== 같이 보기 ==
* [[린데만-바이어슈트라스 정리]]
* [[베이커의 정리]]
* [[섀뉴얼의 추측]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Baker, Alan (1975), ''Transcendental number theory'', Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-20461-3}}, page 10
* Feldman, N. I.; Nesterenko, Yu. V. (1998), ''Transcendental numbers'', Encyclopedia of mathematical sciences, 44, Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-61467-2}}, MR1603604
* Gel'fond, A. O. (1960) [1952], ''Transcendental and algebraic numbers'', Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, {{ISBN|978-0-486-49526-2}}, MR0057921

== 외부 링크 ==
* [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes8.pdf 겔폰트-슈나이더 정리의 증명]

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:초월수]]
[[분류:수론 정리]]