겔판드 표현 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''겔판드 표현'''([[이즈라일 겔판트|이즈라일 겔판드]]의 이름을 따서 명명됨)은 다음 두 가지 중 하나다.

* [[교환법칙|가환]] [[바나흐 대수]]를 연속 함수의 대수로 표현하는 방법;
* 가환 [[C* 대수|C*-대수학]]의 경우 이 표현은 등장 동형사상이라는 사실이다.

전자의 경우 겔판드 표현을 [[적분]] 가능한 함수의 [[푸리에 변환]]의 광범위한 일반화로 볼 수 있다. 후자의 경우 겔판드-나이마크 표현 정리는 [[정규 작용소|정규 연산자]]에 대한 스펙트럼 이론을 만드는 한 가지 방법이며, [[정규 행렬]]을 대각화하는 개념을 일반화한다.

== 역사적 언급 ==
겔판드의 원래 응용 중 하나(역사적으로 바나흐 대수 연구의 많은 동기를 부여한 응용)는 군 대수 <math>L^1({\mathbf R})</math>와 <math>\ell^1({\mathbf Z})</math> 각각의 대수에서 변환이 조밀 부분 공간을 생성하는 원소들을 특성화 함으로써 유명한 노베르트 위너의 보조정리를 더욱 짧고 개념적으로 증명을 하는데 있다.

== 모델 대수학 ==
임의의 [[국소 콤팩트 공간|국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''<math>X</math>''에 대해, ''<math>X</math>''에서 정의된 무한대에서 영인 연속 복소 함수들의 공간 <math>C_0(X)</math>는 가환 <math>C^*</math>-대수이다:

* 복소수들에 대한 대수 구조는 덧셈과 곱셈의 점별 연산을 고려하여 얻는다.
* 인볼루션은 점별 복소 켤레이다.
* 노름은 함수에 대한 고른 노름이다.

''<math>X</math>''가 국소 콤팩트 하우스도르프인 것의 중요성은 이것이 ''<math>X</math>''를 [[티호노프 공간|완비 정규 공간]]으로 바꾼다는 것이다. 그러한 공간에서 ''<math>X</math>''의 모든 닫힌 부분 집합은 ''<math>X</math>''에서 정의된 연속 복소 함수 족의 공통 영 집합이므로 <math>C_0(X)</math>에서 ''<math>X</math>''의 위상를 복원할 수 있다.

<math>C_0(X)</math>는 ''<math>X</math>''가 [[콤팩트 공간|콤팩트]]인 경우에만 단위 대수이며, 이 경우 <math>C_0(X)</math>는 ''<math>X</math>''에서 정의된 모든 연속 복소 함수들의 대수인 <math>C(X)</math>와 같다.

== 가환 바나흐 대수학의 겔판드 표현 ==
<math> A </math>가 [[복소수]] 체 <math> \mathbb{C} </math>에 대해 정의된 가환 [[바나흐 대수]]라 하자. ''<math> 0 </math>''이 아닌 대수 준동형사상 (곱셈적 선형 [[범함수]]) <math> \Phi \colon A \to \mathbb{C} </math>는 <math> A </math>의 특성이라고 한다; <math> A </math>의 모든 특성들의 집합은 <math> \Phi_A </math>로 표시된다.

<math> A </math>위의 모든 특성이 표시될 수 있다.  자동으로 연속이므로 <math> \Phi_A </math>는 <math> A </math>에서 정의된 연속 선형 범함수 공간 <math> A^* </math>의 부분 집합이다; 게다가  [[약한 위상|약한-* 상대 위상]]을 부여했을 때, <math> \Phi_A </math>는 국소 콤팩트 및 하우스도르프로 밝혀졌다. (이것은 [[바나흐-앨러오글루 정리|바나흐–엘러오글루 정리]]에 따라 그렇다.) 공간 <math> \Phi_A </math>가 콤팩트함은(방금 정의된 위상에서) 대수 <math> A </math>가 항등원을 가짐과 동치이다.

주어진 <math> a \in A </math>에 대해, 함수 <math>\widehat{a}(\phi)=\phi(a)</math>를 <math>\widehat{a}:\Phi_A\to{\mathbb C}</math>로 정의한다. <math> \Phi_A </math>의 정의와 이 위의 위상은 <math>\widehat{a}</math>가 연속이며 무한대에서 ''<math> 0 </math>''임을 보장한다. 사상 <math>a\mapsto \widehat{a}</math>는 <math> A </math>에서 <math> C_0(\Phi_A)</math>로 가는 노름 감소 단위 보존 대수 동형 사상을 정의한다. 이 준동형사상은 ''<math> A </math>''의 겔판드 표현이다''. ''그리고 <math>\widehat{a}</math>는 원소 <math>a</math>의 겔판드 변환이다. 일반적으로 표현은 단사도 전사도 아니다.

<math> A </math>에 항등원이 있는 경우에 <math> \Phi_A </math>와 <math> A </math> 안의 극대 이데알들의 집합 사이에 전단사가 있고(이것은 [[겔판트-마주르 정리|겔판드-마주르 정리]]에 의존한다). 결과적으로 겔판드 표현 <math> A \to C_0 (\Phi_A) </math>의 핵은 <math> A </math>의 [[제이컵슨 근기|제이콥슨 라디칼]]과 동일시될 수 있다. 따라서 겔판드 표현은 <math> A </math>가 [[반원시환|(제이콥슨)]] 반단순인 경우에만 단사이다.

=== 예 ===
<math> A=L^1(\mathbb{R}) </math>인 경우에, <math> \mathbb{R} </math>의 군 대수, 그러면 <math> \Phi_A </math>는 <math> \mathbb{R} </math>과 위상동형이고 <math> f \in L^1(\mathbb{R}) </math>의 겔판드 변환은 [[푸리에 변환]] <math>\tilde{f}</math>이다.

<math> A=L^1(\mathbb{R}_+) </math>, <math>L^1 </math>-실 반직선의 컨볼루션 대수인 경우에, <math> \Phi_A </math>는 <math> \{ z \in \mathbb{C} ~\colon~ \operatorname{Re}(z) \geq 0\} </math>와 위상동형이고 <math> f \in L^1(\mathbb{R}_+) </math>의 원소의 겔판드 변환은 [[라플라스 변환]] <math>{\mathcal L}f</math>이다.

== C*-대수의 경우 ==
동기 부여로, 특별한 경우 <math>A=C_0(X)</math>를 고려하자. 주어진 ''<math>x\in X</math>''에 대해, <math>\varphi_x \in A^*</math>를 ''<math> x </math>''에서 점별 계산이라 하자. 즉, <math>\varphi_x(f) = f(x)</math>. 그러면, <math>\varphi_x</math>는 ''<math> A </math>''의 특성이며 ''<math> A </math>''의 모든 특성이 이 형식임을 보일 수 있다. 더 정확한 분석은 <math>\Phi_A</math>를 ''<math>X</math>''와 함께 집합 뿐만 아니라 위상 공간으로 식별할 수 있음을 보여준다. 겔판드 표현은 다음 동형사상이다:

: <math>C_0(X)\to C_0(\Phi_A).\ </math>

=== 가환 C*-대수학의 스펙트럼 ===
''<math> \hat{A} </math>''로 표시되는 가환 <math>C^*</math>-대수 ''<math> A </math>''의 '''스펙트럼''' 또는 '''겔판드 공간'''은 <math> A </math>에서 복소수 공간으로 가는 ''<math> 0 </math>''이 아닌 ''*-'' 동형사상들의 집합으로 구성된다. 스펙트럼의 원소를 ''<math> A </math>''의 '''특성'''이라고 한다.(''<math> A </math>''에서 복소수 공간으로 가는 모든 대수 준동형사상은 자동으로 [[대합 대수|*-동형]]이므로 '특성'이라는 용어의 정의는 위의 것과 일치한다. )

특히, 가환적 <math>C^*</math>-대수학의 스펙트럼은 국지적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이다: 유니탈 경우, 즉 <math>C^*</math>-대수가 곱셈 단위 원소 ''<math> 1 </math>''을 갖는 경우, 모든 문자 ''<math> f </math>''는 유니탈이어야 한다. 즉, ''<math> f(1) </math>''은 복소수 ''<math> 1 </math>''이다. 이것은 제로 동형을 제외한다. 그래서 ''<math> \hat{A} </math>''는 약한-* 수렴에서 닫히고 스펙트럼은 실제로 콤팩트다. 단위가 아닌 경우에, ''<math> \hat{A} </math>''의 ''약한'' -*닫음은 ''<math> \hat{A}\cup\{0\} </math>''이며, 여기서 ''<math> 0 </math>''은 제로 준동형이고 콤팩트 하우스도르프 공간에서 한 점을 제거하면 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 생성된다.

스펙트럼은 과중한 단어임을 주의하라. 또한 이는 단위가 ''<math> 1 </math>''인 대수의 원소 ''<math> x </math>''의 스펙트럼 <math>\sigma(x)</math>, 즉 ''<math> x </math>''에 대해 ''<math> x-r_1 </math>''이 <math> A </math>에서 가역이 아닌 복소수 ''<math> r </math>''의 집합도 나타낸다. 단위 <math>C^*</math>-대수학의 경우 두 개념은 다음과 같은 방식으로 연결된다. [[스펙트럼 반지름|스펙트럼 반지름 공식]]과 함께 이것은 ''<math> \hat{A} </math>''가 ''<math>A^*</math>''의 단위 공의 부분 집합이며, 약한-* 상대 위상이 주어질 수 있음을 보여준다. 이것이 점별 수렴의 위상이다. <math> A </math> 스펙트럼의 원소의 그물 ''[[그물 (수학)|<math> \{f_k\}_k </math>]]''는 ''<math> A </math>의'' ''각'' ''<math> x </math>''에 대해 복소수 그물 ''[[그물 (수학)|<math> \{f_k(x)\}_k </math>]]''가 ''<math> f(x) </math>''로 수렴하는 경우에만 ''<math> f </math>''로 수렴한다.

<math>A</math>가 [[분해 가능 공간|분리 가능한]] <math>C^*</math>-대수인 경우 약한-* 위상은 제한된 부분 집합에서 [[거리화 가능 공간|가측]]이다. 따라서 분리 가능한 가환 <math>C^*</math>-대수 <math>A</math>의 스펙트럼은 [[거리 공간]]으로 볼 수 있다. 따라서 위상은 수열의 수렴을 통해 특성화할 수 있다.

동등하게, <math>\sigma(x)</math>는 <math>\gamma(x)</math>의 [[치역]]이며, 여기서 <math>\gamma</math>는 겔판드 표현이다.

=== 가환 겔판드-나이마크 정리 ===
''<math>A</math>''를 가환 <math>C^*</math>-대수라고 하고 ''<math>X</math>''를 <math>A</math>의 스펙트럼이라고 한다.

: <math>\gamma:A \to C_0(X)</math>

가 위에서 정의된 겔판드 표현이라 하자.

'''정리'''. 겔판드 사상 <math>\gamma</math>는 <math>A</math>에서 <math>C_0(X)</math>로의 등장 *-동형사상이다.

아래의 아르베슨을 참조.

가환 <math>C^*</math>-대수학의 스펙트럼은 또한 헐-커널 위상를 사용하여 ''<math> A </math>''의 모든 [[극대 아이디얼|극대 이데알]] ''<math> m </math>''의 집합으로 볼 수 있다. (일반적인 가환 바나흐 대수 예시에 대해서는 이전 설명 참조) 이러한 ''<math> m </math>''에 대해 몫 대수 ''<math> A/m </math>''은 ''<math> 1 </math>''차원(겔판드-마주르 정리에 의해)이므로 ''<math> A </math>의'' 모든 ''<math> a </math>''는 ''<math>Y</math>''에 대한 복소 함수를 발생시킨다.

단위원이 있는 <math>C^*</math>-대수의 경우, 스펙트럼 사상은 단위 및 단위 보존 연속 *-동형사상을 갖는 가환 <math>C^*</math>-대수 범주에서 콤팩트 하우스도르프 공간 및 연속 사상 범주로 반변 [[함자 (수학)|함자]]를 발생시킨다. 이 함자는 이 두 범주 사이의 [[범주의 동치|반변 동치]]의 절반이다(각 콤팩트 하우스도르프 공간 ''<math>X</math>''에 <math>C^*</math>-대수 <math>C_0(X)</math>를 할당하는 [[수반 함자|함자]]가 인접함). 특히, 콤팩트 하우스도르프 공간 ''<math>X</math>''와 ''<math>Y</math>''가 주어지면 ''<math>X</math>''가 ''<math>Y</math>''와 [[위상동형사상|동형]]인 경우에만 <math>C(X)</math>는 <math>C(Y)</math>와 동형이다(<math>C^*</math>-대수).

'완전한' 겔판드–나이마크 정리는 겔판드 표현과 상당히 유사하지는 않지만 연산자의 대수학으로서 ''<math> A </math>''의 구체적인 표현을 제공하는 임의의(추상적) [[교환법칙|비가환]] <math>C^*</math> 대수 ''<math> A </math>''에 대한 결과이다.

== 응용 ==
가장 중요한 응용 중 하나는 <math>C^*</math>-대수 ''<math> A </math>의'' 정규 원소에 대한 연속 ''함수 미적분''의 존재이다. 원소 <math> x </math>는 <math> x </math>가 인접 원소 <math> x^* </math>와 교환하는 경우에만 정규이다. 가환 <math>C^*</math>-대수 <math>C^*(x)</math>에 적용된 겔판드 동형사상에 의해 이것은 국소 콤팩트 공간에서 연속 함수의 대수에 대해 *-동형이다. 이 관찰은 거의 즉시 다음으로 이어진다.

'''정리'''. ''<math> A </math>''를 항등원을 갖는 <math>C^*</math>-대수라고 하고 <math> x </math>를 ''<math> A </math>''의 정규 원소로 두자. 그러면, 스펙트럼 <math>\sigma(x)</math>에서 ''<math> A </math>''로의 연속 함수의 대수로부터 다음과 같은 *-사상 <math>f\rightarrow f(x)</math>가 존재한다.

* ''<math> 1 </math>''을 ''<math> A </math>''의 곱셈 항등식에 사상한다.
* 스펙트럼의 항등 함수를 <math> x </math>에 사상한다.

이를 통해 힐베르트 공간의 유계 정규 연산자에 연속 함수를 적용할 수 있다.

== 참조 ==

* {{서적 인용|title=An Invitation to C*-Algebras|last=Arveson|first=W.|author-link=William Arveson|year=1981|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90176-0}}
* {{서적 인용|title=Complete Normed Algebras|url=https://archive.org/details/completenormedal0000bons|last1=Bonsall|first1=F. F.|last2=Duncan|first2=J.|year=1973|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=0-387-06386-2}}
* {{서적 인용|title=A Course in Functional Analysis|last=Conway|first=J. B.|author-link=John B. Conway|year=1990|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=96|publisher=[[Springer Verlag]]|isbn=0-387-97245-5}}
* {{저널 인용|title=Tauberian theorems|journal=Ann. of Math.|last=Wiener|first=N.|author-link=Norbert Wiener|year=1932|series=II|volume=33|issue=1|publisher=Annals of Mathematics|pages=1&ndash;100|doi=10.2307/1968102|jstor=1968102}}
{{각주}}
{{함수 해석학}}

[[분류:연산자 이론]]
[[분류:함수해석학]]