게이지 이론 문서 원본 보기

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{{다른 뜻 넘어옴|게이지 대칭|수학 용어|게이지 대칭 (수학)}}
{{양자장론}}
[[양자장론]]에서 '''게이지 이론'''({{llang|en|gauge theory}})이란 그 [[라그랑지언]]이 국소적으로 [[대칭]]인 장론이다. 게이지 이론의 국소적 대칭 변환을 '''게이지 변환'''(gauge transformation)이라고 부른다. 게이지 이론의 국소적 대칭은 [[단순 리 군|단순]](또는 [[반단순 리 군|반단순]]) [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]을 이룬다. 이 리 군의 [[리 대수]]의 각 [[생성원]]({{lang|en|generator}})은 각각 [[벡터]] 장을 이룬다. 이를 게이지 장이라고 한다. [[양자장론]]에서는 각 장에 해당하는 [[입자]]가 있는데, 이를 [[게이지 보손]]이라고 한다.

[[맥스웰 방정식|고전전자기학]]이 고전적 게이지 이론의 대표적인 예로, U(1) 대칭을 가진다. 이외에도 고전적 [[양-밀스 이론]] 따위가 있다. 양자장론으로는 [[표준 모형]]과 이를 이에 포함된 이론들([[양자 전기역학]], [[양자 색역학]], [[전약력|글래쇼-살람-와인버그 이론]]) 모두 게이지 이론의 일종이다. 예를 들어 [[양자 전기역학]]은 [[아벨 군|아벨]] [[리 군]] U(1)을 기반으로 만들어졌고, [[양자 색역학]]은 특수 유니타리 군SU(3)으로 만들어졌다.

== 정의 ==
=== 주다발 ===
게이지 이론은 [[미분기하학]]의 [[올다발]] 이론으로 정의한다. 보통, 게이지 군은 반단순 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]] <math>G</math>으로 잡는다. 이는 그 리 대수에 자연스러운 내적([[킬링 형식]])이 존재하여, 게이지 장의 내적을 정의할 수 있기 때문이다. (그러나 [[천-사이먼스 이론]] 등 [[위상 양자장론]] 따위에서 비콤팩트 리 군을 사용하기도 한다.) 시공간 <math>M</math>은 [[매끄러운 다양체]]이다.

게이지 이론에서는 <math>M</math> 위에 존재하는, 올이 <math>G</math>인 [[주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math>들의 집합을 고려한다. 가능한 주다발들의 종류는 <math>M\to BG</math> [[연속함수]]들의 [[호모토피류]] <math>[M,BG]</math>에 의하여 분류된다. 여기서 <math>BG</math>는 <math>G</math>의 [[분류 공간]]이다. 다양체 <math>M</math>이 콤팩트하지 않은 경우, 보통 그 [[알렉산드로프 콤팩트화]] <math>M^+</math> 위의 주다발을 생각한다. 예를 들어, 통상적인 경우는 4차원 민코프스키 공간의 [[알렉산드로프 콤팩트화]] <math>M^+=S^4</math>를 사용하며, 이 경우 가능한 주다발들은
:<math>[S^4,BG]=\pi_4(BG)=\pi_3(G)</math>
에 의하여 분류된다. 여기서 <math>\pi_k()</math>는 <math>k</math>차 [[호모토피 군]]이다. 이러한 가능한 주다발들을 물리학에서는 '''[[순간자]]'''라고 한다.

게이지 이론을 양자화하는 과정에서, [[경로 적분]]은 가능한 모든 주다발(들의 동형에 대한 [[동치류]])들에 대하여 적분한다. 이는 일반적으로 중요하지 않지만, 예를 들어 게이지 군이 [[유한군]]인 데이크흐라프-위튼 모형({{llang|en|Dijkgraaf–Witten model}})의 경우에는 국소적 자유도가 없으므로 이러한 대역적 자유도가 중요하다.<ref>{{저널 인용|제목=Topological gauge theories and group cohomology|url=https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1990-04_129_2/page/n172|doi=10.1007/BF02096988|이름=Robbert|성=Dijkgraaf|저자링크=로베르튀스 데이크흐라프|공저자=[[에드워드 위튼|Edward Witten]]|저널=Communications in Mathematical Physics|권=129|호=2|쪽=393–429|날짜=1990-04|issn=0010-3616|bibcode=1990CMaPh.129..393D|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9111004|제목=Chern–Simons theory with Finite Gauge Group|이름=Daniel S.|성=Freed|공저자=Frank Quinn|doi=10.1007/BF02096860|bibcode=1993CMaPh.156..435F|저널=Communications in Mathematical Physics|권=156|호=3|쪽=435–472|날짜=1993-10|issn=0010-3616|언어=en}}</ref>

가장 간단한 경우인 <math>G=U(1)</math> (전기역학)의 경우, <math>BU(1)=\mathbb CP^\infty</math>이다. 즉, U(1) 다발은 복소 [[선다발]]과 대응하게 된다. 복소 선다발 <math>L</math>은 [[특성류]] 이론에 따라서 그 [[천 특성류]] <math>c_1(L)\in H^2(M;\mathbb Z)</math>에 따라서 분류된다. 천 특성류는 선다발의 접속의 곡률의 코호몰로지류이므로, 천 특성류는 이는 장세기의 코호몰로지류이다. 즉, 장세기의 코호몰로지류는 정수 계수의 코호몰로지에 속하게 된다. 이는 [[디랙 양자화]](Dirac quantization)를 의미한다.

=== 게이지 변환 ===
일반적으로, 물리적인 장들은 <math>P</math> 위에 정의된 동변(equivariant) 벡터장이다. 예를 들어, 군 표현 <math>R\colon G\to U(V)</math>이고 <math>V</math>가 복소수 [[벡터 공간]]이라면, 이에 따른 연관 벡터다발({{llang|en|associated vector bundle}}) <math>P\times_GV</math>를 생각할 수 있다. 스칼라장은 이 벡터다발의 단면
:<math>\phi\in\Gamma(P\times_GV)</math>
이 된다. 이는 함수
:<math>\phi\in\Omega^0(P,V)</math>
로 생각할 수 있고, 이 경우 <math>\phi</math>는 다음과 같은 동변성({{llang|en|equivariance}}) 조건을 만족시킨다. 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여,
:<math>\phi(x\cdot g^{-1})=R(g)\cdot\phi(x)</math>
만약 <math>U\subset M</math>에 단면 <math>s\in\Gamma(P|_U)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>s\colon U\to P|_U</math>이므로, 이에 따라 [[당김 (미분기하학)|당김]]을 정의할 수 있다.
:<math>s^*\phi\in\Omega^0(U,V)</math>
이에 따라, <math>\phi</math>를 <math>U\subset M</math> 위에 정의된, <math>V</math>값을 갖는 함수로 생각할 수 있다. 물론 이는 단면 <math>s</math>의 선택에 따라 달라진다. 서로 다른 다른 단면 <math>s,s'\in\Gamma(P|_U)</math>의 차는 일반적으로 <math>\alpha\colon U\to G</math>와 같은 함수로 나타내어진다. 즉,
:<math>s'(x)=s(x)\cdot\alpha(x)^{-1}</math>
이다. 이러한 함수 <math>\alpha</math>를 '''게이지 변환'''({{llang|en|gauge transformation}})이라고 한다. <math>\phi</math>를 당기는 단면을 바꾸는 것은 다음과 같은 게이지 변환을 가하는 것과 같다.
:<math>(s\alpha^{-1})^*\phi=R(\alpha(x))s^*\phi\in\Omega^0(U,V)</math>

만약 표현 <math>R</math>이 자명한 표현이라면, 즉
:<math>(s\alpha^{-1})^*\phi=s^*\phi</math>
라면, <math>\phi</math>는 단면 <math>s\in\Gamma(P|_U)</math>에 관계없이 <math>M</math> 위의 함수로 생각할 수 있다. 이러한 경우 <math>\phi</math>를 '''게이지 불변'''({{llang|en|gauge-invariant}})이라고 한다.

=== 거대 게이지 변환과 미세 게이지 변환 ===
게이지 변환 <math>\alpha\colon M\to G</math>들의 집합
:<math>\mathcal G=\mathcal C(M,G)</math>
는 각 점마다의 합성을 통해 [[위상군]]을 이룬다. 이 게이지 변환군은 일반적으로 [[연결 공간]]이 아닐 수 있고, 그 연결 조각들은 [[호모토피류]]
:<math>\mathcal G/\mathcal G_0=[M,G]</math>
에 따라서 분류된다. 여기서 <math>\mathcal G_0</math>은 <math>\mathcal G</math>에서 단위원을 포함하는 연결 조각이다. 이러한 연결 조각들을 '''거대 게이지 변환'''({{llang|en|large gauge transformation}})이라고 한다. 예를 들어, 4차원 민코프스키 공간(의 콤팩트화)의 경우, 거대 게이지 변환들은 [[호모토피 군]]
:<math>[S^4,G]=\pi_4(G)</math>
에 의하여 분류된다. 반면, <math>\mathcal G</math>의 [[리 대수]] <math>\mathcal C(M,\mathfrak g)</math>의 원소들은 '''미세 게이지 변환'''({{llang|en|small gauge transformation}})이라고 한다. 어떤 물리량이 게이지 불변임을 보이려면, 미세 게이지 변환과 거대 게이지 변환에 따라서 불변임을 보이면 된다. 어떤 물리량이 미세 게이지 변환에 대하여 불변이라면 이는 <math>\mathcal G_0\subset\mathcal G</math> (단위원을 포함하는 연결 조각)에 대하여 불변이며, 여기에 또한 <math>\mathcal G/\mathcal G_0</math>에 따라서 불변이라면 이는 <math>\mathcal G</math> 전체에 대하여 불변이기 때문이다.

=== 접속과 게이지장 ===
주다발 <math>P\twoheadrightarrow M</math>이 주어지면, 여기에 [[주접속]] <math>A</math>
를 잡을 수 있다. 이 주접속은 물리학에 '''게이지 퍼텐셜'''({{llang|en|gauge potential}})이라고 한다.

<math>G</math>의 [[리 대수]]를 <math>\mathfrak g</math>라고 하자. 주접속 <math>A\in\Omega^1(P,\mathfrak g)</math>는 <math>P</math> 위에 정의된 동변 함수다. 여기서 동변성을 정의할 때는 리 대수 <math>\mathfrak g</math> 위에 자연스럽게 존재하는 [[딸림표현]] <math>\operatorname{Ad}\colon G\times\mathfrak g\to\mathfrak g</math>을 사용한다. 위와 같이, 만약 국소적인 단면 <math>s\in\Gamma(P|_U)</math>가 주어지면, 주접속은 국소적으로 <math>\mathfrak g</math>값을 가진 미분형식 <math>s^*A\in\Omega^1(U,\mathfrak g)</math>로 나타낼 수 있다. 주접속의 게이지 변환은
:<math>(s\alpha^{-1})^*A=\operatorname{Ad}(\alpha(x))s^*A+\alpha(x)d\alpha(x)^{-1}\in\Omega^1(U,\mathfrak g)</math>
이다.

주접속의 [[곡률]]
:<math>F=dA+\frac12[A\wedge A]\in\Omega^2(P,\mathfrak g)</math>
을 정의할 수 있다.여기서 <math>d</math>는 [[외미분]]이고, <math>[\wedge A]</math>는 [[리 괄호]]와 [[쐐기곱]]을 합성한 것이다. 주접속의 곡률은 물리학에서 '''게이지 장세기'''({{llang|en|gauge field strength}})라고 한다. [[맥스웰 방정식]]에서의 [[패러데이 텐서]]는 U(1) 장세기의 특수한 경우다. 마찬가지로, 단면 <math>s\in\Gamma(P|_U)</math>이 주어지면 곡률 또한 <math>s^*F\in\Omega^2(U,\mathfrak g)</math>로 나타낼 수 있다. 곡률의 게이지 변환은
:<math>(s\alpha^{-1})^*F=\operatorname{Ad}(\alpha(x))s^*F\in\Omega^2(U,\mathfrak g)</math>
이다.

즉, 게이지 변환이 단순하므로 게이지 장세기는 (게이지 퍼텐셜과 달리) <math>P\times_G\mathfrak g</math>의 단면으로 여길 수 있다.
:<math>F\in\Omega^2(M,P\times_G\mathfrak g)</math>

=== 공변 미분 ===
스칼라장 <math>\phi\in\Omega^0(P,V)</math>가 주어졌다면, 그 도함수
:<math>d\phi\in\Omega^1(P,V)</math>
는 게이지 퍼텐셜과 유사하게 다음과 같이 게이지 변환한다.
:<math>(s\alpha^{-1})^*d\phi=R(\alpha(x))s^*d\phi+d(R(\alpha))\wedge s^*\phi\in\Omega^1(U,V)</math>
반면 <math>dR(A)\wedge\phi</math>는 다음과 같이 변환한다. 여기서 <math>dR\colon\mathfrak g\to\mathfrak u(V)</math>는 리 대수의 표현으로, 리 군 표현 <math>R\colon G\to U(V)</math>의 무한소 버전이다.
:<math>(s\alpha^{-1})^*(dR(A)\wedge\phi)=R(\alpha)s^*(dR(A)\wedge\phi)-d(R(\alpha))\wedge s^*\phi</math>
따라서, 다음과 같이
:<math>D\phi=d\phi+dR(A)\wedge\phi\in\Omega^1(P,V)</math>
를 정의하자. 그렇다면
:<math>(s\alpha^{-1})^*D\phi=R(\alpha)s^*D\phi</math>
가 되어, <math>\phi</math>와 같은 꼴로 게이지 변환하게 된다. 이 연산 <math>D</math>를 '''공변 미분'''({{llang|en|covariant derivative}})이라고 한다. 이는
:<math>D\colon\Omega^0(M,P\times_GV)\to\Omega^1(M,P\times G_V)</math>
로 생각할 수 있다.

=== 페르미온 ===
스칼라장과 게이지 퍼텐셜 말고도, [[페르미온]]이 존재할 수 있다. <math>M</math>이 [[스핀 구조]]를 가졌다고 하자. 그렇다면 위와 같이 표현 <math>R\colon G\to U(V)</math>가 주어졌을 때, 적절한 복소 스피너 다발 <math>\Delta\twoheadrightarrow M</math>을 골라, 이에 따르는 '''[[페르미온]]'''
:<math>\psi\in\Gamma(\Delta\otimes V)</math>
을 생각할 수 있다. 여기서 <math>\Gamma</math>는 복소벡터다발 <math>\Delta\otimes V</math>의 단면(section)들의 집합이다.

이러한 물질은 게이지 변환 <math>\alpha\colon M\to G</math>에 대하여
:<math>\psi(x)\mapsto R(\alpha(x))\cdot\psi(x)</math>
으로 변환한다.

보다 일반적으로, 스핀 구조가 없더라도 적절한 [[스핀C 구조]]가 존재한다면 게이지에 대하여 대전된 페르미온이 존재할 수 있다.

===작용과 라그랑지언 ===
양자장론은 '''[[작용 (물리학)|작용]]'''이라는 값
:<math>S\in\mathbb R/2\pi</math>
에 의하여 정의된다. 이에 따라, 경로 적분에 등장하는 값
:<math>\exp(iS)\in\mathbb C</math>
을 정의할 수 있다. 보통 작용은 참된 실수 <math>S\in\mathbb R</math>이지만, 특수한 경우에는 그렇지 않을 수 있다 (예를 들어 [[베스-추미노-위튼 모형]] 등). 작용은 보통 '''[[라그랑지언]]'''이라는 함수 <math>\mathcal L\colon M\to\mathbb R</math>의 적분으로 나타내어진다.
:<math>S=\int_M\sqrt{|\det g|}\mathcal L</math>

대표적으로, <math>M</math>에 (유사) [[리만 계량]]이 주어져 있다고 하자. 그렇다면
:<math>\langle F,F\rangle\in\Omega^0(P)</math>
를 정의할 수 있다. (여기서 리 대수 지수의 경우 [[킬링 형식]]을 사용한다.) 이는 게이지 불변이므로, <math>M</math> 위의 실수값 함수로 간주할 수 있다. 따라서 이를 라그랑지언으로 놓아, 작용을 다음과 같이 놓을 수 있다.
:<math>S=\frac1{4g^2}\int\langle F,F\rangle</math>
여기서 <math>g^2\in\mathbb R^+</math>는 '''[[결합 상수]]'''라고 불리는 임의의 실수이다. 이러한 <math>S</math>를 '''양-밀스 작용'''({{llang|en|Yang–Mills action}})이라고 한다. 여기에 [[변분법]]을 적용하여 [[운동 방정식]]을 유도할 수 있다. 만약 <math>G=U(1)</math>인 경우는 [[맥스웰 방정식]]을 얻고, <math>G=SU(n)</math>인 경우는 [[양-밀스 이론|양-밀스 방정식]]을 얻는다.

또한, 만약 <math>M</math>이 4차원이라면
:<math>\int_MF\wedge F</math>
또한 게이지 불변이다. 여기서도 암묵적으로 킬링 형식을 사용하였다. 이 경우에는 <math>M</math>의 [[계량 텐서]]가 필요없다는 것에 주목하라. 이러한 항은 [[양자 색역학]]의 '''CP 위반항'''으로 알려져 있다.

물질의 경우, 마찬가지로 다음과 같은 꼴들의 항을 라그랑지언으로 사용할 수 있다.
:<math>g^{\mu\nu}\delta_{\bar\imath j}\overline{D_\mu\phi}^{\bar\imath}D_\nu\phi^j</math>
:<math>\delta_{\bar\imath j}\bar\phi^{\bar\imath}\phi^j</math>
여기서 <math>g^{\mu\nu}</math>는 리만 [[계량 텐서]]의 역이고, <math>\delta_{\bar\imath j}</math>는 <math>V</math> 위에 정의된 [[내적공간|내적]]이다.

=== 윌슨 고리 ===
작용에 다른 게이지 불변항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 닫힌 곡선 ''γ''가 있으면, 다음과 같이 [[윌슨 고리]] <math>W</math>를 정의할 수 있다.
:<math>W=\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\exp\int_\gamma A\right)</math>
여기서 <math>\chi</math>는 복소 [[군 표현의 지표]]고, <math>\mathcal{P}</math>는 [[경로순서]]화 연산자다. 그러니 이런 항은 일반적인 시공에서는 대개 [[로런츠 대칭]]을 따르지 않는다. [[칼루차-클라인 이론]]에서는 [[축소화]]된 차원에 따라 이런 항을 적을 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[아로노프-봄 효과]]
* [[게이지 변환군]]
* [[칼루차–클레인 이론]]
* [[양자 색역학]]
* [[양자 전기역학]]
* [[전자기 퍼텐셜]]
* [[전자기장 텐서]]
* [[양자장론]]
* [[표준 모형]]
* [[전하 (물리학)]]
* [[양-밀스 이론]]
* [[양-밀스 질량 간극 가설]]
* [[게이지 이론 (수학)]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|저자=김재관|제목=게이지이론의 발전|url=http://mulli2.kps.or.kr/~pht/8-12/991202.html|저널=물리학과 첨단기술|권=8|호=12|날짜=1999-12|언어=ko|확인날짜=2013-01-13|보존url=https://web.archive.org/web/20141109063903/http://mulli2.kps.or.kr/~pht/8-12/991202.html|보존날짜=2014-11-09|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=소립자와 게이지 상호작용|저자=김진의|출판사=민음사|url=http://minumsa.minumsa.com/book/899/|날짜=1984|isbn=89-374-3500-4|언어=ko}}
* {{저널 인용|저자=Jean Zinn-Justin, Riccardo Guida|제목=Gauge invariance|저널=Scholarpedia|권=3|호=12|쪽=8287|doi=10.4249/scholarpedia.8287|날짜= 2008-12-03|issn=1941-6016}}
* {{저널 인용|이름=Gerard|성='t Hooft|저자링크=헤라르뒤스 엇호프트|제목=Gauge theories|저널=Scholarpedia|권=3|호=12|쪽=7443|doi=10.4249/scholarpedia.7443|날짜=2008-12-19|issn=1941-6016}}
* {{저널 인용|이름=J.D.|성=Jackson|공저자=L. B. Okun|저널=Reviews of Modern Physics|권=73|호=3|쪽=663–680|날짜=2001-09-14|제목=Historical roots of gauge invariance|arxiv=hep-ph/0012061|doi=10.1103/RevModPhys.73.663|bibcode=2001RvMP...73..663J|issn=0034-6861}}
* {{저널 인용|title=Topology of fibre bundles and global aspects of gauge theories|first=Andres|last=Collinucci|coauthors=Alexander Wijns|arxiv=hep-th/0611201|bibcode=2006hep.th...11201C}}

{{전거 통제}}
{{소립자 물리학의 표준 모형}}

[[분류:게이지 이론| ]]
[[분류:양자장론]]