게르시고린의 정리 문서 원본 보기

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'''게르시고린의 정리'''(Gershgorin's theorem, Gershgorin circle theorem, -定理)는 [[선형대수학]]의 [[고윳값]] 문제에 관한 근사적인 결과를 주는 [[정리]]로, [[벨라루스]] 태생인 [[소비에트 연방]]의 수학자 [[세묜 아라노비치 게르시고린]](Семён Аранович Гершгорин, [[1901년]]~[[1933년]])이 입안하였다. [[체코]]계 [[미국]]인 수학자 [[올가 타우스키토트]](Olga Taussky-Todd, [[1906년]]~[[1995년]])가 이 정리를 응용하여 많은 연구 업적을 남기기도 했다.<ref>Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004, 726쪽.</ref>

== 공식화 ==
[[행렬]] A가 [[정사각행렬]]이라 하자. 그러면, A의 i번째 행에서 [[대각성분]]을 제외한 나머지 성분들의 [[절댓값]]의 합 <math>R_i = \sum_{j\neq{i}} \left|a_{ij}\right|</math> 을 반지름으로 하고 i번째 행의 대각성분 <math>a_{ii}</math> 을 중심으로 하는 [[원판]] <math>D(a_{ii}, R_i)</math> 을 잡을 수 있다. 이 원판을 게르시고린 원판이라 하는데, 이를 이용하면 게르시고린의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

* A의 모든 고윳값은 A의 게르시고린 원판 중 하나의 안쪽에 놓인다.

이때 두 개의 고윳값이 하나의 게르시고린 원판 안쪽에 놓일 수도 있다.

== 사례 ==
게르시고린의 정리를 활용하는 예로, 이 정리를 이용해서 다음 행렬 A의 고윳값을 근사해 볼 수 있다.

:<math> A =
       \begin{bmatrix}   10    &    -1    &    0   &    1\\
                         0.2    &    8    &    0.2   &    0.2\\
                         1    &    1    &    2   &    1\\
                         -1    &    -1    &    -1   &    -11\\
       \end{bmatrix}.</math>

이상의 방법을 이용하면 네 개의 게르시고린 원판은 다음과 같다.
: <math> D(10,2) </math>
: <math> D(8,0.6) </math>
: <math> D(2,3) </math>
: <math> D(-11,3). </math>

A의 모든 고윳값은 이 네 개의 원판 중 하나의 안쪽에 놓인다. 실제로 이 행렬의 고윳값들은 9.8218, 8.1478, 1.8995, &minus;10.86 이 된다.

== 일반화 ==
위의 사례에서 나타나는 것처럼 하나의 게르시고린 원판에는 정확히 하나의 고윳값이 대응하지는 않는다. 하지만, 이 문제에 대해 원래의 게르시고린 정리보다는 강한 결과를 다음과 같이 얻을 수 있다.

* n×n의 복소성분을 갖는 행렬 A의 게르시고린 원판 중 어떤 k개의 [[합집합]]과 나머지 n-k개의 합집합이 교차하지 않을 때, 전자의 집합 안쪽에는 정확히 k개의 고윳값이, 후자에는 정확히 n-k개의 고윳값이 놓인다.

== 같이 보기 ==
* [[고윳값]]
* [[페론-프로베니우스 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3709 PlanetMath의 게르시고린 정리 관련 문서]
* [https://web.archive.org/web/20110522130351/http://mathworld.wolfram.com/GershgorinCircleTheorem.html Wolfram Mathworld의 게르시고린 정리 관련 문서]
* [https://web.archive.org/web/20110224052629/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Gershgorin.html MacTutor의 게르시고린 전기]

[[분류:행렬론]]
[[분류:대수학 정리]]