거울 대칭 가설 문서 원본 보기

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'''거울 대칭 가설'''(Mirror symmetry conjecture)은 특정 [[칼라비-야우 다양체]]와 그 다양체의 "거울 다양체"사이의 관계에 대한 추측이다. 이 추측으로 [[칼라비-야우 다양체]] 상의 [[대수 곡선|유리 곡선]]의 수를 대수다형체(algebraic variety) 족에서 적분과 관련시킬 수 있다. 거울 대칭 가설을 다루는 몇 가지 관점이 있으며, 대표적으로 호몰로지 거울 대칭 가설과 SYZ 가설이 있다. 호몰로지 거울 대칭 가설은 호몰로지 대수학을 기반으로 삼는 반면, SYZ 추측은 더욱 기하학적인 서술이다.

== 5차 삼중체를 구성하기 ==
처음에 거울 대칭 다양체를 구성하는 과정은 다소 엉성하였다. 본질적으로 일반 5차 삼중체 <math>X \subset \mathbb{CP}^4</math>에 대하여 다중 특이점을 가진  1-매개변수 [[칼라비-야우 다양체]] 족 <math>X_\psi</math>이 존재해야 한다.  여기서 이 [[특이점]]들을 [[부풀리기]] 한 후 특이점을이 없어지며 뒤집힌 호지 다이아몬드를 가진 새로운 [[칼라비-야우 다양체]] <math>X^\vee</math>가 구성된다. 특히, 다음과 같은 동형사상들이 존재한다:
<math>H^q(X,\Omega_X^p) \cong H^q(X^\vee, \Omega_{X^\vee}^{3-p}).</math>

=== 복소 모듈라이 ===
일반 5차 삼중체<ref name=":3">{{웹 인용|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/MIT18_969s09_lec06.pdf|제목=The Quintic 3-fold and Its Mirror|성=Auroux|이름=Dennis|날짜=|웹사이트=|보존url=|보존날짜=|url-status=live|확인날짜=}}</ref><ref>for example, as a set, a Calabi-Yau manifold is the subset of [[complex projective space]]<math>\{[x_0:x_1:x_2:x_3:x_4] \in \mathbb{CP}^4 : x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 = 0 \}</math></ref><math>X \subset \mathbb{P}^4</math>이 5차  [[동차다항식|동차 다항식]]으로 정의됨을 기억하라. 이 다항식은 선형 다발 <math>f \in \Gamma(\mathbb{P}^4,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^4}(5))</math><ref name=":0">{{저널 인용|제목=A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory|저널=Nuclear Physics B|성=Candelas|이름=Philip|성2=De La Ossa|이름2=Xenia C.|날짜=1991-07-29|권=359|호=1|쪽=21–74|언어=en|bibcode=1991NuPhB.359...21C|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6|issn=0550-3213|성3=Green|이름3=Paul S.|성4=Parkes|이름4=Linda}}</ref><ref name=":2">{{저널 인용|제목=Mirror symmetry and rational curves on quintic threefolds: a guide for mathematicians|저널=J. Amer. Math. Soc.|성=Morrison|이름=David R.|연도=1993|권=6|쪽=223–247|arxiv=alg-geom/9202004|doi=10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2}}</ref>의 global section으로도 묘사된다. 대역 단면의 [[선형 공간]] 차원은<math>\dim {\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))} = 126</math>이다. 이 다항식들은 두 가지 동등성을 가진다: 첫째, 대수적 토러스 <math>\mathbb{G}_m</math>로 스케일링하는 다항식<ref>Which can be thought of as the <math>\mathbb{C}^*</math>-[[Group action|action]] on <math>\mathbb{C}^5 - \{ 0\}</math> constructing the [[complex projective space]] <math>\mathbb{CP}^4</math></ref>.  둘째, 사영적 동등성은 <math>24</math> 차원인 <math>\mathbb{P}^4</math>의 [[자기동형군]] <math>\text{PGL}(5)</math>에 의해 주어진다. <math>126 - 24 - 1 = 101</math>이므로 이것은 기하 불변 이론을 사용하여 구성 할 수 있는 <math>101</math> 차원 매개 변수 공간<math>U_{\text{smooth}} \subset \mathbb{P}(\Gamma(\mathbb{P}^4,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^4}(5)))/PGL(5)</math>을 준다. 집합 <math>U_{\text{smooth}}</math>은 <math>\mathbb{P}^4</math>안의 매끄러운 칼라비-야우 5차 삼중체를 정의하는 다항식들의 동치류들에 해당한다.<ref>More generally, such moduli spaces are constructed using projective equivalence of schemes in a fixed projective space on a fixed [[Hilbert scheme]]</ref> 이제 [[세르 쌍대성]]과 각 [[칼라비-야우 다양체]]에 자명한 [[표준 선다발]] <math>\omega_X</math>이 있다는 사실을 이용하여, [[:en:Deformation_(mathematics)|deformation]] 공간에는 다음과 같은 동형사상:<math>H^1(X,T_X) \cong H^2(X,\Omega_X)</math>과 <math>H^3(X)</math>위의 [[호지 구조]]의 <math>(2,1)</math> 부분을 가진다. [[렙셰츠 초평면 정리|렙셰츠 초평면 정리를]] 이용하면, 유일한 자명하지 않은 [[코호몰로지]] 군은 <math>H^3(X)</math>이다. 왜냐하면 다른 것들은 <math>H^i(\mathbb{P}^4)</math>와 동형이기 때문이다.[[오일러 지표]]와 [[천 특성류|top 천 특성류]]인 [[오일러 특성류]]를 사용하면 이 군의 차원은 <math>204</math>이다. 이는<blockquote><math>\begin{align}
\chi(X) &= -200 \\
&= h^0 + h^2 - h^3 +h^4 + h^6 \\
&= 1 + 1 - \dim H^3(X) + 1 + 1
\end{align}</math></blockquote>
이기 때문이다. [[호지 구조]]를 이용하여 각 구성 요소의 차원을 구할 수 있다. 첫째, <math>X</math>가 칼라비-야우이므로, .<math>\omega_X \cong \mathcal{O}_X</math>이다. 그래서<math>H^0(X,\Omega_X^3) \cong H^0(X,\mathcal{O}_X) </math>가 호지 번호 <math>h^{0,3} = h^{3,0} = 1</math>를 알 수 있다. 즉,<math>\dim H^2(X,\Omega_X) = h^{1,2} = 101</math>은 [[칼라비-야우 다양체]]의 [[모듈라이 공간]]의 차원이다. Bogomolev-Tian-Todorov 정리로 인해 이러한 모든 deformation들이 방해받지 않으므로 매끄러운 공간 <math>U_{\text{smooth}}</math>은 사실 5차 삼중체의 모듈라이 공간다. 이 구성의 요점은, 이 모듈라이 공간의 복소 매개 변수가 어떻게 거울 다양체의 [[켈러 다양체|켈러]] 매개 변수로 변환되는지 보여주는 것이다.

=== 거울 다양체 ===
[[:en:Dwork family|Dwork 족]]이라 불리는 칼라비-야우 다양체 <math>X_\psi</math>들의 다양체 족은 다음과 같은 <math>\text{Spec}(\mathbb{C}[\psi])</math>위의 사영족 <math>X_\psi</math>
<blockquote><math>X_\psi = \text{Proj} \left(
\frac{\mathbb{C}[\psi][x_0,\ldots, x_4]}{(x_0^5 + \cdots + x_4^5 - 5\psi x_0x_1x_2x_3x_4)}
\right)</math></blockquote>
이다. 이 다양체 족의 complex deformation의 차원은 하나뿐이며 거울 다양체 <math>\check{X}</math>의 호지 다이아몬드가 다음과 같이 때문이다:<blockquote><math>\dim H^{2,1}(\check{X}) = 1</math>.</blockquote> 다양체 족<math>\{X_{\psi}\}</math>는 <blockquote><math>(a_0,\ldots,a_4)\cdot [x_0:\cdots:x_4] = [e^{ a_0\cdot 2\pi i/5}x_0:\cdots : e^{ a_4\cdot 2\pi i/5}x_4]</math></blockquote>과 같이 작용하는 대칭군 <blockquote><math>G = \{ (a_0,\ldots, a_4) \in (\mathbb{Z}/5)^5 : \sum a_i = 0 \}</math></blockquote>을 가지고 있다. 조건 <blockquote><math>\sum a_i = 0</math></blockquote>는 <math>X_\psi</math>의 사영성 때문에 들어가있다. 연관된 몫 variety <math>X_\psi / G</math>는 <math>100</math>개의 특이점을 [[부풀리기]] 해서 주어지는 [[:en:crepant resolution|crepant resolution]]<ref name=":3" /><ref name=":2" /><blockquote><math>\check{X} \to X_\psi / G</math></blockquote>를 가지고 있고 이를 통해 새로운 칼라비-야우 다양체 <math>\check{X}</math>를 얻는다.

== 같이 보기 ==
* [[:en:Cotangent_complex|Cotangent complex]]
* [[:en:Homotopy_associative_algebra|Homotopy associative algebra]]
* [[:en:Kuranishi_structure|Kuranishi structure]]
* [[거울 대칭|거울 대칭 (끈 이론)]]

== 참고 문헌 ==
<references />

=== 책 / 노트 ===

* [http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01c.pdf Mirror Symmetry] [[클레이 수학연구소]] eBook
* [https://bookstore.ams.org/surv-68-s Mirror Symmetry and Algebraic Geometry] -Cox, Katz
* [[arxiv:math/9805097v2|On the work of Givental relative to mirror symmetry]]

=== 초창기 증명들 ===

* [[arxiv:alg-geom/9603021|Equivariant Gromov-Witten Invariants-]] projective complete intersections에 대한 Givental의 원래 증명
* [[arxiv:math/9807070|The mirror formula for quintic threefolds]]
* [[arxiv:math/9806133|Rational curves on hypersurfaces (after A. Givental)]] -Givental의 증명에 대한 설명
* [[arxiv:alg-geom/9712011|Mirror Principle I]] -Lian, Liu, Yau의 증명은 Givental의 증명에서 미완인 부분을 완성한다. 이 증명에는 당시 알려지지 않은 플뢰어 호몰로지에 대한 이론이 필요했다.
* [[arxiv:alg-geom/9310003|Dual Polyhedra and Mirror Symmetry for Calabi-Yau Hypersurfaces in Toric Varieties]] - [[칼라비-야우 다양체]]에 대한 최초의 일반적인 mirror variety 구성

=== 연구 ===

* [[arxiv:1510.03839|Mirror symmetry: from categories to curve counts]] -호몰로지 거울 대칭과 고전적 거울 대칭 간의 관계
* [[arxiv:1609.00624|Intrinsic mirror symmetry and punctured Gromov-Witten invariants]]

=== 호몰로지 거울 대칭 ===

* [[arxiv:math/9801119|Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve]]
* [[arxiv:1501.00730|An Introduction to Homological Mirror Symmetry and the Case of Elliptic Curves]]
* [[arxiv:0812.1171|Homological mirror symmetry for the genus two curve]]
* [[arxiv:1103.4956|Homological mirror symmetry for the quintic 3-fold]]
* [[arxiv:1111.0632|Homological Mirror Symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in projective space]]
* [[arxiv:1705.06667|Speculations on homological mirror symmetry for hypersurfaces in <math>(\mathbb{C}^*)^n</math>]]

== 외부 링크 ==

* https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/

[[분류:수리물리학]]
[[분류:추측]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:대수기하학]]