거울 대칭 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
[[끈 이론]]과 [[수리물리학]]에서 '''거울 대칭'''(거울對稱, {{llang|en|mirror symmetry|미러 시메트리}})은 서로 다른 두 [[칼라비-야우 다양체]] 위에 정의된 [[초끈 이론]]이 서로 동치인 현상이다.<ref>{{저널 인용|저자=남순건|제목=끈으로 본 시공간|저널=물리학과 첨단기술|권=10|호=11|issn=1225-2336|날짜=2001-11|url=http://webzine.kps.or.kr/contents/data/webzine/webzine/14933714041.pdf|쪽=29–34|언어=ko|access-date=2019-07-06|archive-date=2019-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20190706104259/http://webzine.kps.or.kr/contents/data/webzine/webzine/14933714041.pdf}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=거울대칭, 그리고 곡선 세기|저자=김범식|저널=과학의 지평|날짜=2010-04-01|권=42|쪽=4–10|url=http://newton.kias.re.kr/~bumsig/article2010.pdf|언어=ko}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=호몰로지 거울대칭 가설(HMS)이란 무엇인가|저자=조철현|저널=과학의 지평|날짜=2010-04-01|권=42|쪽=11–17|url=http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2010_42/KN_2010_42_11.pdf|언어=ko|access-date=2019-07-06|archive-date=2019-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20190706104259/http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2010_42/KN_2010_42_11.pdf|url-status=}}</ref><ref name="mirrorbook">{{서적 인용|제목=Mirror Symmetry|이름=Kentaro|성=Hori|이름2=Sheldon|성2=Katz|이름3=Albrecht|성3=Klemm|이름4=Rahul|성4=Pandharipande|이름5=Richard|성5=Thomas|이름6=Cumrun|성6=Vafa|저자링크6=캄란 바파|이름7=Ravi|성7=Vakil|이름8=Eric|성8=Zaslow|출판사=[[미국 수학회|American Mathematical Society]]/[[클레이 수학연구소|Clay Mathematical Institute]]|series=Clay Mathematical Monographs|volume=1|날짜=2003|isbn=0-8218-2955-6|url=http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01c.pdf|zbl=1044.14018|mr=2003030}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Dirichlet Branes and Mirror Symmetry|날짜=2009|출판사=American Mathematical Society/[[클레이 수학연구소|Clay Mathematical Institute]]|url=http://www.claymath.org/publications/Dirichlet_Branes/|이름=Michael R.|성=Douglas|이름2=Mark|성2=Gross|이름3=Paul S.|성3=Aspinwall|이름4=Tom|성4=Bridgeland|이름5=Alastair|성5=Craw|이름6=Anton|성6=Kapustin|저자링크7=그레고리 윈스럽 무어|이름7=Gregory W.|성7=Moore|저자링크8=그레임 시걸|이름8=Graeme|성8=Segal|이름9=Balázs|성9=Szendröi|이름10=P.M.H.|성10=Wilson|series=Clay Mathematical Monographs|volume=4|isbn=0-8218-3848-2|zbl=1188.14026|access-date=2013-02-05|archive-date=2013-10-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20131017230029/http://www.claymath.org/publications/Dirichlet_Branes/|url-status=}}</ref><ref name="BBS"/>{{rp|411–415}}<ref>{{저널 인용|제목=Mirror symmetry constructions: a review|이름=Per|성=Berglund|이름2=Sheldon|성2=Katz|arxiv=hep-th/9406008|bibcode=1994hep.th....6008B|날짜=1994}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Mirror symmetry and other miracles in superstring theory|성=Rickles|이름=Dean|저널=Foundations of Physics|날짜=2013-01-01|권=43|호=1|쪽=54-80|arxiv=1004.4491|bibcode=2013FoPh...43...54R|doi=10.1007/s10701-010-9504-5}}</ref><ref>{{서적 인용|총서=Lecture Notes in Physics|권=436|연도=1994|쪽=235–280|장=Lectures on mirror symmetry|제목=Integrable models and strings: Proceedings of the 3rd Baltic Rim Student Seminar Held at Helsinki, Finland, 13–17 September 1993|출판사=Springer-Verlag|isbn= 978-3-540-58453-7 |이름=S.|성=Hosono|이름2=A. |성2=Klemm|이름3=S. |성3=Theisen|doi=10.1007/3-540-58453-6_13|arxiv=hep-th/9403096|bibcode=1994LNP...436..235H}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Special geometry and mirror symmetry for open string backgrounds with N=1 supersymmetry|이름=Wolfgang|성=Lerche|arxiv=hep-th/0312326|bibcode=2003hep.th...12326L|연도=2003}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Claire|성=Voisin|저자링크=클레르 부아쟁|제목=Mirror Symmetry|기타=Roger Cooke 역|출판사=American Mathematical Society/Société Mathématique de France|총서=SMF/AMS Texts and Monographs|권=1|날짜=1996}}</ref> [[T-이중성]]을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

== 정의 ==
[[초끈 이론]]은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 [[초대칭]]을 보존하려면 이론을 실수 6차원 ([[복소수]] 3차원) [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[칼라비-야우 다양체]]에 [[축소화]]하여야 한다.

'''거울 대칭'''에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체 <math>M</math>에 대하여, 이에 대응하는 공간 <math>W</math>가 존재한다. 이들의 [[돌보 코호몰로지]] <math>H^{p,q}</math>는 다음 관계를 만족한다.
:<math>H^{p,q}(M)=H^{3-p,q}(W)</math>.
이에 따라, <math>M</math>에 [[축소화]]한 ⅡA형 초끈 이론은 <math>W</math>에 [[축소화]]한 ⅡB형 초끈 이론과 동형이다. 이에 대한 대응 관계는 다음과 같다.

{| class=wikitable
! ⅡA !! ⅡB
|-
| [[복소구조]] 모듈라이 || [[일반화 켈러 다양체]] 구조 <math>(g,B)</math> 모듈라이
|-
| [[D0-막]] || [[특수 라그랑주 부분 다양체]]를 감는 [[D3-막]]
|-
| 호지 수 <math>h^{1,1}=h^{2,2}</math> || 호지 수 <math>h^{2,1} = h^{1,2}</math>
|-
| 호지 수 <math>h^{1,2}=h^{2,1}</math> || 호지 수 <math>h^{1,1} = h^{2,2}</math>
|-
| <math>h^{1,1}</math>개의 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 벡터 초다중항 <math>(g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{\mu i\bar\jmath})</math>
| <math>h^{2,1}</math>개의 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 벡터 초다중항 <math>(g_{ij},g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{\mu ij\bar k})</math>
|-
| <math>h^{2,1}</math>개의 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 <math>(g_{ij}, g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{ij\bar k},C_{\bar\imath\bar\jmath k})</math>)|| <math>h^{1,1}+1</math>개의 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 <math>(g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{i\bar\jmath},C_{\mu\nu i\bar\jmath})</math>)
|-
| 1개의 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 중력 초다중항 <math>(g_{\mu\nu},C_\mu)</math> || 1개의 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 중력 초다중항 <math>(g_{\mu\nu},C_{\mu\bar\imath\bar\jmath\bar k})</math>
|}

이 표에서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 [[칼라비-야우 다양체]]의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다.

{| style="text-align: center"
| || || || 1
|-
| || || 0 || || 0
|-
| || 0 || || ''h''<sup>1,1</sup> || || 0
|-
| 1 || || ''h''<sup>1,2</sup> || || ''h''<sup>1,2</sup> || || 1
|-
| || 0 || || ''h''<sup>1,1</sup> || || 0
|-
| || || 0 || || 0
|-
| || || || 1
|}

위 표에서, 추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다.
* ⅡA: [[딜라톤]] + [[캘브-라몽 장]] <math>B_{\mu\nu}</math>(의 쌍대 스칼라장) + 3차 [[라몽-라몽 장]] <math>C_{ijk}</math>, <math>C_{\bar\imath\bar\jmath\bar k}</math> 
* ⅡB: [[딜라톤]] + [[캘브-라몽 장]] <math>B_{\mu\nu}</math>(의 쌍대 스칼라장) + 2차 [[라몽-라몽 장]] <math>C_{\mu\nu}</math>(의 쌍대 스칼라장) + 0차 [[라몽-라몽 장]] <math>C_0</math>

=== 2차원 게이지 선형 시그마 모형 ===
{{본문|위상 끈 이론}}
거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) [[게이지 이론|게이지]] 선형 [[시그마 모형]]이다. 게이지 선형 시그마 모형은 [[게이지 보손]]을 포함하는 [[초장|초다중항]]({{lang|en|vector supermultiplet}})과 물질을 포함하는 손지기 초다중항({{lang|en|chiral supermultiplet}}), 그리고 비틀린 손지기 초다중항({{lang|en|twisted chiral supermultplet}})을 이루는 장세기({{lang|en|field strength}})의 [[페예-일리오풀로스 모형|페예-일리오풀로스 항]]을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로({{llang|ja|堀 健太朗}})와 [[캄란 바파]]는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.<ref name="mirrorbook"/>{{rp|463–479}}<ref>{{저널 인용|제목=Mirror Symmetry|이름1=Kentaro|성1=Hori|이름2=Cumrun|성2=Vafa|저자링크2=캄란 바파|날짜=2000-02|arxiv=hep-th/0002222|bibcode=2000hep.th....2222H|언어=en}}</ref>

이에 따라, 과녁 공간이 2차원 [[구 (기하학)|구]]인 비선형 [[시그마 모형]]은 [[사인-고든 모형]]과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 [[사영 공간]]인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형({{lang|en|affine Toda model}})에 대응한다.

일반적으로, [[칼라비-야우 다양체]] 위의 2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math> [[초대칭]] [[비선형 시그마 모형]] (또는 [[란다우-긴즈부르크 모형]])은 두 가지로 위상적 뒤틀림을 가해 [[위튼형 위상 양자장론]]을 이룰 수 있다. 이를 각각 '''A모형'''({{llang|en|A-model}})과 '''B모형'''({{llang|en|B-model}})이라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=
Mirror manifolds and topological field theory|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|bibcode=1991hep.th...12056W|arxiv=hep-th/9112056|언어=en}}</ref> 거울 대칭은 A모형과 B모형을 관계짓는다. 이 때, 이 두 시그마 모형의 과녁 공간은 일반적으로 다르다. 즉, 거울 대칭은 서로 다른 [[칼라비-야우 다양체]]를 관계짓는다.

이들 위상 시그마 모형을 [[세계면]] 이론으로 하는 [[끈 이론]]을 [[위상 끈 이론]]이라고 한다. 거울 대칭은 위상 끈 이론으로 확장된다.

=== 3차원 게이지 이론 ===
{{본문|3차원 거울 대칭}}
3차원 <math>\mathcal N=4</math> (8개 초전하) [[초대칭 게이지 이론]]에서도 일종의 거울 대칭이 존재한다. 이는 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 거울 대칭을 3차원으로 차원 축소한 경우이다.

=== 스트로민저-야우-재슬로 가설 ===
'''스트로민저-야우-재슬로(SYZ) 가설'''({{llang|en|Strominger–Yau–Zaslow conjecture}})은 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 거울 대칭 짝을 [[T-이중성]]으로 해석하는 가설이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=0802.3407|bibcode=2008arXiv0802.3407G|이름=Mark|성=Gross|제목=The Strominger–Yau–Zaslow conjecture: From torus fibrations to degenerations|doi=10.1090/pspum/080.1/2483935|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1212.4220|bibcode=2012arXiv1212.4220G|이름=Mark|성=Gross|언어=en|제목=Mirror symmetry and the Strominger–Yau–Zaslow conjecture}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Mirror symmetry: a geometric survey|arxiv=math/0512412
|이름=R. P.|성=Thomas|날짜=2006|bibcode=2005math.....12412T|제목=Encyclopaedia of Mathematical Physics|쪽= 439–448|출판사=Elsevier|doi=10.1016/B0-12-512666-2/00037-7|isbn=978-0-12-512666-3|언어=en}}</ref><ref name="Yau">{{저널 인용|제목=Calabi-Yau manifold|이름=Shing-Tung|성=Yau|저자링크=야우싱퉁|연도=2009|저널=Scholarpedia|권=4|호=8|쪽=6524|doi=10.4249/scholarpedia.6524|mr=2537089|issn=1941-6016|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001|기타=Universitext|성1=Gross|이름1=Mark|성2=Huybrechts|이름2=Daniel|성3=Joyce|이름3=Dominic|isbn=978-3-540-44059-8|doi=10.1007/978-3-642-19004-9|mr=1963559|zbl=1001.00028|위치=[[베를린|Berlin]]|출판사=Springer|연도=2003|issn=0172-5939|언어=en}}</ref> SYZ 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 모든 복소 ''n''차원 [[칼라비-야우 다양체]]는 T<sup>''n''</sup> (실수 ''n''차원 [[원환면]]) 올화({{llang|en|fibration}})를 가지며, 이 올들은 [[특수 라그랑주 부분 다양체]]를 이룬다. 거울 대칭쌍 <math>X,Y</math>는 같은 공간 <math>B</math> 위의 원환면 [[올다발]] <math>\pi_X\colon X\to B</math>, <math>\pi_Y\colon Y\to B</math>를 이루며, 임의의 올 <math>b\in B</math>에 대하여 <math>X_b=\pi_X^{-1}(b)</math>와 <math>Y_b=\pi_Y^{-1}(b)</math>는
:<math>X_b=H^1(Y_b;\mathbb R/\mathbb Z)</math>
:<math>Y_b=H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)</math>
의 관계를 가진다. 이는 ''n''차원 원환면 올에 [[T-이중성]]을 가하는 것으로 해석할 수 있다.

SYZ 가설(보다 일반적으로, 거울 대칭 자체)은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다.<ref name="Yau"/><ref>{{저널 인용|arxiv=math/0011179|이름=Dominic|성=Joyce|제목=Singularities of special Lagrangian fibrations and the SYZ Conjecture|bibcode=2000math.....11179J|mr=2032503|저널=Communications in Analysis and Geometry|issn=1019-8385|url=http://intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/cag/content/vols/0011/0005/00025030/index.html|권=11|날짜=2003|호=5|쪽=859–907|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/cag/content/vols/0011/0005/00025030/index.html }}</ref> 이는 '''큰 복소 구조 극한'''({{llang|en|large complex structure limit}})인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 예를 들어, 복소 구조와 켈러 구조를 갖춘 실수2차원 [[원환면]]([[타원 곡선]]) <math>\mathbb C/(0\sim 1\sim\tau)</math>의 경우, 원환면의 넓이를 고정시키며 복소 구조 <math>\tau</math>의 극한 <math>\tau\to i\infty</math>를 취하면 원환면은 길쭉하고 가는 직선으로 수렴하게 된다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 '''큰 부피 극한'''({{llang|en|large volume limit}})에 대응한다.

물리학적으로, SYZ 가설은 IIB종 [[초끈 이론]]의 BPS D3-막의 모듈러스 공간을 사용하여 유도된다. D3-막이 BPS이려면, 막은 3차원 [[특수 라그랑주 부분 다양체]]를 이루어야 한다. 따라서, D3-막의 모듈러스 공간은 D3-막의 가능한 위치들의 공간 <math>B</math>와, 주어진 위치에서 D3-막의 순수 게이지 [[윌슨 고리]]들의 공간으로 이루어진다. 후자는 수학적으로 평탄한 U(1) 접속들의 집합이며, D3-막의 모양이 <math>X_b</math>라면 [[코호몰로지]] <math>H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)</math>에 의하여 주어진다. <math>X</math>에 축소화한 IIB종 [[초끈 이론]]의 D3-막은 거울 대칭을 통해 <math>Y</math>에 축소화한 IIA종 [[초끈 이론]]의 D0-막과 같아야 한다. 즉, <math>X</math>에서의 D3-막의 모듈러스 공간은 <math>Y</math>에서의 D0-막의 모듈러스 공간과 같아야 한다. 그러나 후자는 <math>Y</math>이다. 즉, <math>Y</math>는 [[올다발]] <math>Y\to B</math> 구조를 가지며, 그 올은 <math>Y_b=H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)</math>가 된다.

=== 호몰로지 거울 대칭 ===
이 주제 또한 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, [[막심 콘체비치]]는 [[호몰로지 대수학]]을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이를 '''호몰로지 거울 대칭'''({{llang|en|homological mirror symmetry}})<ref name="Kontsevich94">{{서적 인용|장=Homological Algebra of Mirror Symmetry
|이름=Maxim|성=Kontsevich|저자링크=막심 콘체비치|arxiv=alg-geom/9411018|bibcode=1994alg.geom.11018K|zbl=0846.53021|제목=Proceedings of the international congress of mathematicians, ICM '94, August 3-11, 1994, Zürich, Switzerland. Volume 1|위치=[[바젤|Basel]]|출판사=Birkhäuser|쪽=120–139|날짜=1995|isbn=3-7643-5153-5}}</ref><ref>{{서적 인용|doi=10.1142/9789812799821_0007|장=Homological mirror symmetry and torus fibrations|제목=Symplectic Geometry And Mirror Symmetry: Proceedings of the 4th KIAS Annual International Conference, Seoul, South Korea, 14 – 18 August 2000|이름=Maxim|성=Kontsevich|저자링크=막심 콘체비치|이름2=Yan|성2=Soibelman|쪽=203–263|출판사=World Scientific|isbn=978-981-02-4714-0|연도=2001|월=11|arxiv=math/0011041|bibcode=2000math.....11041K|zbl=1072.14046}}</ref>

호몰로지 거울 대칭의 여러 특수한 경우가 증명되었다.
* [[타원곡선]]의 경우는 1998년에 증명되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Categorical mirror symmetry: the elliptic curve|이름=Alexander|성=Polishchuk|이름2=Eric|성2=Zaslow|bibcode=1998math......1119P|arxiv=math/9801119|언어=en}}</ref>
* 4차 곡면(quartic surface)의 경우는 2003년에 증명되었다.<ref>{{저널 인용 |last=Seidel |first=Paul |title=Homological mirror symmetry for the quartic surface|날짜=2003-10|arxiv=math/0310414|bibcode=2003math.....10414S|언어=en}}</ref>
하지만 호몰로지 거울 대칭의 일반적인 증명은 아직 존재하지 않는다.

호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍 <math>(M,W)</math> 사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.
:<math>M</math>의 [[연접층]]의 범주의 [[유도 범주]](derived category) = <math>W</math>의 [[후카야 범주]](Fukaya category)의 [[유도 범주]]
여기서 양변은 다음과 같다.
* 후카야 범주는 [[특수 라그랑주 부분 다양체]]를 대상으로 하고, [[플뢰어 호몰로지|플뢰어 사슬]]을 사상으로 하는 범주로, '''A-모형'''({{llang|en|A-model}})을 나타낸다. 3차원 칼라비-야우의 경우, BPS(초대칭) D3-막은 [[특수 라그랑주 부분 다양체]]를 감는다.
* [[연접층]]의 범주는 '''B-모형'''({{llang|en|B-model}})을 나타낸다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0307245|제목=Lectures on D-branes and sheaves|이름=Eric|성=Sharpe|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0403166|title= D-Branes on Calabi-Yau Manifolds|이름=Paul|성=Aspinwall|언어=en|bibcode=2004hep.th....3166A}}</ref>
이 A/B-모형은 '''[[위상 끈 이론]]'''의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 장난감 모형이다.

== 예 ==
=== 타원 곡선 ===
거울 대칭의 가장 기본적인 경우는 (복소) [[타원 곡선]]이다. [[타원 곡선]] <math>E</math>는 위상수학적으로 2차원 [[원환면]]이다. 그 복소구조의 [[모듈라이 공간]]은
:<math>\mathbb H/\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)</math>
이다. 여기서 <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}</math>는 [[열린 상반평면]]이며, <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)</math>는 [[모듈러 군]]이다. 만약 타원 곡선 대신 [[방향 (다양체)|방향]]이 주어진 타원 곡선을 고려하면, [[모듈러 군]]의 두 생성원
:<math>S\colon z\mapsto-1/z</math>
:<math>T\colon z\mapsto z+1</math>
가운데 <math>T</math>만이 허용되고, 따라서 [[복소구조]] [[모듈라이 공간]]은
:<math>\mathbb H/\mathbb Z = \mathrm i\mathbb R^+ + (\mathbb R/\mathbb Z)</math>
이다.

반면, 그 켈러 구조는 켈러 형식 <math>K\in H^2(E;\mathbb R)\cong\mathbb R</math>에 의하여 결정된다. 그 모듈라이 공간은 [[타원 곡선]]의 넓이
:<math>\langle[E],K\rangle\in\mathbb R^+</math>
으로 나타낼 수 있다. (여기서 <math>[E]</math>는 타원 곡선의 [[기본류]]이다.) 켈러 구조 <math>K</math>에 [[끈 이론]]에서 등장하는 [[캘브-라몽 장]] <math>B\in\operatorname H^2(E;\mathbb R/2\pi\mathbb Z)</math>를 더하여 다음과 같은 '''복소화 켈러 구조'''({{llang|en|complexified Kähler structure}}) <math>\mathcal K</math>를 생각할 수 있다.
:<math>\mathcal K=\mathrm iK+\frac1{2\pi}B\in\frac{\operatorname H^2(E;\mathbb C)}{\operatorname H^2(E;\mathbb Z)}</math>
복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간은 타원 곡선의 ‘복소화 넓이’에 의하여 분류된다.
:<math>\langle[E],\mathcal K\rangle\in\mathbb H/\mathbb Z = \mathrm i\mathbb R^+ + (\mathbb R/\mathbb Z)</math>
즉, 복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간('''복소화 켈러 뿔''' {{llang|en|complexified Kähler cone}})은 <math>\mathbb H/\mathbb Z</math>이다. 따라서 유향 타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간과 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간이 <math>\mathbb H/\mathbb Z</math>로 일치함을 알 수 있다.

물리학적으로, 한 타원 곡선 위에 [[축소화]]한 ⅡA종 [[초끈 이론]]이, 그 복소구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 [[타원 곡선]] 위에 [[축소화]]한 ⅡB종 [[초끈 이론]]과 동형이다. 이 경우의 거울 대칭은 단순히 [[T-이중성]]의 특수한 경우이다.

=== K3 곡면 ===
대표적인 예로, [[K3 곡면]] 위의 IIA종 [[끈 이론]]을 생각하자.<ref name="BBS">{{서적 인용|이름=Katrin|성=Becker|이름2=Melanie|성2=Becker|이름3=John H.|성3=Schwarz|저자링크3=존 헨리 슈워츠|doi=10.2277/0511254865|제목=String Theory and M-Theory: A Modern Introduction|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0511254864|연도=2006|월=12|url=http://theory.caltech.edu/~stringbook/|bibcode=2007stmt.book.....B|언어=en|확인날짜=2013-09-01|보존url=https://web.archive.org/web/20150118104448/http://theory.caltech.edu/~stringbook/|보존날짜=2015-01-18|url-status=dead}}</ref>{{rp|425}} K3 곡면의 [[모듈라이 공간]]은 총 58차원이다. 이 가운데 <math>h^{1,1}(K3)=20</math>개는 켈러 모듈라이, 나머지 38개는 [[복소구조]] 모듈라이에 해당한다. 여기에, [[캘브-라몽 장]]에 의하여
:<math>b_2(K3)=h^{1,1}(K3)+2=22</math>
개의 모듈라이가 추가된다. 이 가운데 <math>h^{1,1}=20</math>개의 모듈라이는 K3 곡면 켈러 모듈라이와 함께 복소수 20차원(실수 40차원)의 모듈러스를 이룬다. 나머지 40개의 모듈라이들은 ([[일반화 복소다양체|일반화]]) [[복소다양체|복소구조]] 모듈라이로 간주한다. 이 밖에도, [[딜라톤]]에 의한 하나의 모듈라이가 더 있다. 즉, 총 40+40+1=81개의 모듈라이가 존재한다.

거울 대칭은 40개의 ([[일반화 복소다양체|일반화]]) [[복소다양체|복소구조]] 모듈라이를 40개의 ([[일반화 켈러 다양체|일반화]]) [[켈러 다양체|켈러 구조]] 모듈라이와 맞바꾼다. 즉, K3 곡면에 [[축소화]]한 IIA종 끈 이론은, 복소구조와 켈러 구조 모듈라이를 맞바꾼 K3 곡면에 [[축소화]]한 ⅡA종 끈 이론과 동형이다. 딜라톤 모듈라이(끈 [[결합 상수]])는 바뀌지 않는다.

사실, 이 이론은 4차원 [[원환면]] 위에 [[축소화]]한 [[잡종 끈 이론]]과 동치이다. <math>d</math>차원 원환면 위의 나레인 축소화의 모듈라이의 수는 ([[딜라톤]] 진공 기댓값 = 끈 [[결합 상수]]를 포함하면) <math>(16+d)d+1</math>인데, <math>d=4</math>일 때 이는 ⅡA의 81개의 모듈라이와 대응된다.

== 역사 ==
거울 대칭은 1990년에 최초로 발견되었다. 1990년에 필립 칸델라스({{llang|en|Philip Candelas}})와 모니카 링커(Monika Lynker), 롤프 심리크(Rolf Schimmrigk)는 4차원 [[끈 이론]] 축소화를 연구하기 위하여 [[가중 사영 공간]] 속의 3차원 [[칼라비-야우 다양체]]들을 [[컴퓨터]]를 사용하여 모두 계산하였는데, 이 경우 오일러 수 <math>\chi = 2h^{1,1} + -2h^{2,1}</math>와 초다중항 수 <math>h^{1,1}+h^{2,1}</math>를 그래프로 표시하였더니 그 그래프가 오일러 수의 부호 <math>\chi\mapsto-\chi</math>에 대하여 거의 대칭이 되는 기적적인 현상을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|날짜=1990-09-10|성=Candelas|이름=Philip|성2=Lynker|이름2=Monika|성3=Schimmrigk|이름3=Rolf|날짜=1990|제목=Calabi–Yau manifolds in weighted ℙ₄|총서=Nuclear Physics B|권=341|호=2|쪽= 383–402|doi=10.1016/0550-3213(90)90185-g |언어=en}}</ref> 거의 동시에, 이와 독자적으로 [[브라이언 그린]] · 로넨 플레세르({{llang|he|מ. רוֹנֶן פְלֶסֶר}})<ref>{{저널 인용|이름=Brian Randolph|성=Greene|저자링크=브라이언 그린|이름2=M. Ronen|성2=Plesser|doi=10.1016/0550-3213(90)90622-K|제목=Duality in Calabi-Yau moduli space|저널=Nuclear Physics B|권=338|호=1|날짜=1990-07-02|쪽=15-37|언어=en}}</ref>와 폴 스티븐 애스핀월({{llang|en|Paul Stephen Aspinwall}}) · 카르스텐 안드레브 뤼트켄({{llang|no|Carsten Andrew Lütken}}) · 그레이엄 갈런드 로스({{llang|en|Graham Garland Ross}})<ref>{{저널 인용|성1=Aspinwall|이름1=Paul Stephen|성2=Lütken|이름2=Carsten Andrew|성3=Ross|이름3=Graham Garland|날짜=1990|제목=Construction and couplings of mirror manifolds|url=https://archive.org/details/sim_physics-letters-b_1990-05-17_241_3/page/n88|저널=Physics Letters B|권=241|호=3|쪽=373–380|doi=10.1016/0370-2693(90)91659-y|언어=en}}</ref> 등은 거울 대칭이 되는 칼라비-야우 다양체의 쌍을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목=An exactly soluble superconformal theory from a mirror pair of Calabi-Yau manifolds|저널=Physics Letters B|권=258|호=1–2|날짜=1991-04-04|쪽=118–126|doi=10.1016/0370-2693(91)91218-K|이름=Philip|성=Candelas|이름2=Xenia C.|성2=de la Ossa|이름3=Paul S. |성3=Green|이름4=Linda|성4=Parkes|bibcode=1991PhLB..258..118C|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|
제목=A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory|이름=Philip|성=Candelas|이름2=Xenia C.|성2=de la Ossa|이름3=Paul S. |성3=Green|이름4=Linda|성4=Parkes|bibcode=1991NuPhB.359...21C|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6
|저널=Nuclear Physics B|권=359|호=1|쪽=21–74|날짜=1991-07-29}}</ref> 

1994년에 [[막심 콘체비치]]는 거울 대칭의 일부분을 수학적으로 공리화한 호몰로지 거울 대칭을 제안하였다.<ref name="Kontsevich94"/> 이후 1996년에 [[앤드루 스트로민저]]와 [[야우싱퉁]], 에릭 재슬로({{lang|en|Eric Zaslow}})가 거울 대칭을 [[T-이중성]]의 특별한 경우로 해석하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0550-3213(96)00434-8|arxiv=hep-th/9606040|bibcode=1996NuPhB.479..243S|zbl=0896.14024|이름=Andrew|성=Strominger|저자링크=앤드루 스트로민저|이름2=Shing-Tung|성2=Yau|저자링크2=야우싱퉁|이름3=Eric|성3=Zaslow|저널=Nuclear Physics B|권=479|호=1–2|날짜=1996-11-11|쪽=243–259|제목=Mirror symmetry is ''T''-duality|언어=en}}</ref>

호몰로지 거울 대칭에 대한 공로로 콘체비치는 [[기본물리학상]]을 2012년에 수상하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1038/nature.2012.11094|저널=[[네이처|Nature]]|제목=Theoretical physicists win massive awards|이름=Geoff|성=Brumfiel|날짜=2012-07-31}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://damtp.cam.ac.uk/user/tong/talks/qgeom.pdf|이름=David|성=Tong|날짜=2007-02-19|제목=Quantum geometry: What the string saw|형식=PDF}} ([[케임브리지 대학교]] 트리니티 칼리지 강의 슬라이드)
* {{nlab|id=mirror symmetry|title=Mirror symmetry}}

[[분류:끈 이론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:수리물리학]]