거스틴해버 대수 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]과 [[대수적 위상수학]] 및 [[양자장론]]에서 '''거스틴해버 대수'''({{llang|en|Gerstenhaber algebra}})는 결합 법칙을 만족시키는 대수와 [[리 대수]]의 구조를 합친 [[대수 구조]]의 하나이다.

== 정의 ==
거스틴해버 대수 <math>A</math>는 <math>\mathbb Z</math> 등급을 갖는 대수이다.
:<math>A=\bigoplus_{p\in\mathbb Z}(A^p_+\oplus A^p_-)</math>
이 위에 정의된 연산들은 다음과 같다.
* 곱 <math>\cdot</math>은 초[[교환 법칙]] · [[결합 법칙]]을 만족시키는, 등급 0의 [[이항 연산]]이다.
* 리 괄호 <math>[,]</math>은 등급 −1의 이항 연산이며, 이는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
** (초교환 법칙) <math>[a,b]=-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}[b,a]</math>
** ([[야코비 항등식]]) <math>[a,[b,c]]=[[a,b],c]+(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}[b,[a,c]]</math>
* 곱과 리 괄호는 다음과 같은 푸아송 항등식을 만족시킨다.
** <math>[a,bc]=[a,b]c+(-1)^{(\deg a-1)\deg b}b[a,c]</math>

== 호모토피 거스틴해버 대수 ==
'''호모토피 거스틴해버 대수'''({{llang|en|homotopy Gerstenhaber algebra}}, {{lang|en|G<sub>∞</sub>-algebra}}, {{lang|en|braid algebra}}, {{lang|en|2-algebra}})는 역시 <math>\mathbb Z</math> 등급을 갖는 대수이다.<ref name="KVZ">{{저널 인용|arxiv=q-alg/9602009|제목=Homotopy Gerstenhaber algebras and topological field theories|이름=Takashi |성=Kimura|공저자= Alexander A. Voronov,  Gregg J. Zuckerman|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9403055|제목=
Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces|이름=Ezra|성=Getzler|공저자=J. D. S. Jones|언어=en}}</ref>{{rp|57}} 이 위에는 모든
:<math>n=n_1+\cdots+n_k\qquad(n_i\ge1,k\ge1)</math>
에 대하여, <math>n</math>항 연산 <math>m_{n_1,\dots,n_k}</math>이 존재하며, 이는 등급 <math>3-n-k</math>을 갖는다.

처음 몇 연산들은 다음과 같다.
* 1항 연산은 하나밖에 없으며, 보통 <math>m_1=d</math>로 쓴다. 이는 등급 1의 연산자이며, [[공사슬 복합체]]의 공경계이다.
* 2항 연산은 두 개가 있다. 보통 <math>m_2=\cdot</math>, <math>m_{1,1}=\circ</math>로 쓴다.
* 3항 연산은 4개가 있으며, <math>m_{1,1,1}</math>, <math>m_{1,2}</math>, <math>m_{2,1}</math>, <math>m_3</math>이다.
이들 사이의 처음 몇 개의 항등식들은 다음과 같다.
* (멱영성) <math>d^2=0</math>
* ([[곱 규칙]]) <math>d(ab)=(da)b+a(db)</math>
* (호모토피 [[결합 법칙]]) <math>a(bc)-(ab)c=m_3(da,b,c)+(-1)^{\deg a}m_3(a,db,c)+(-1)^{\deg a+\deg b}m_3(a,b,dc)</math>
* (호모토피 [[교환 법칙]]) <math>ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba=d(a\circ b)-da\circ b-(-1)^{\deg a-1}a\circ db</math>
* <math>(a\circ b)\circ c-a\circ(b\circ c)+m_{2,1}(a,b;c)-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}m_{2,1}(b,a;c)+(-1)^{(\deg b-1)(\deg c-1)}m_{1,2}(a;c,b)-m_{1,2}(a,b,c)=dm_{1,1,1}(a;b;c)-m_{1,1,1}(da;b;c)-(-1)^{\deg a-1}(a;db;c)-(-1)^{\deg a+\deg b}m_{1,1,1}(a;b;dc)</math>

== 성질 ==
호모토피 거스틴해버 대수는 [[A∞-대수|A<sub>∞</sub>-대수]](결합 대수의 호모토피화)와 호모토피 리 대수의 공통적인 일반화이다.
* 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 <math>m_{n_1,\dots,n_k}</math> 가운데, <math>k=1</math>인 연산들은 [[A∞-대수|A<sub>∞</sub>-대수]]의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 [[A∞-대수|A<sub>∞</sub>-대수]]이다.
* 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 <math>m_{n_1,\dots,n_k}</math> 가운데, <math>k=n</math>인 연산들의 완전 등급 반대칭화는 [[L∞-대수|L<sub>∞</sub>-대수]]의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 [[L∞-대수|L<sub>∞</sub>-대수]]이다.

거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이다. 호모토피 거스틴해버 대수 <math>A</math>에서, 2항 연산이 아닌 모든 연산이 0이며, 또한
:<math>a\circ b-(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=[a,b]</math>
:<math>a\circ b+(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=0</math>
이라면, <math>(A,\cdot,[,])</math>은 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 일반적인 호모토피 거스틴해버 대수의 [[코호몰로지]]는 거스틴해버 대수를 이룬다.

== 예 ==
결합 법칙을 따르는 [[대수 (환론)|대수]] <math>A</math>의 [[호흐실트 코호몰로지]] <math>H^\bullet(A,A)</math>는 거스틴해버 대수를 이루며, 호흐실트 공사슬들의 대수는 호모토피 거스틴해버 대수를 이룬다.<ref name="KVZ"/> 또한, 위상 [[꼭짓점 연산자 대수]] 역시 자연스럽게 호모토피 거스틴해버 대수를 이루며,<ref name="KVZ"/> 여기에 [[BRST 양자화]]로 물리적인 상태들로 구성된 코호몰로지를 취하면 이 위에는 거스틴해버 대수의 구조가 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory|이름=Bong H.|성= Lian |공저자= Gregg J. Zuckerman|저널=Communications in Mathematical Physics|권=154|호=3|쪽=613–646|mr=1224094|zbl=0780.17029|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF02102111|날짜=1993-06|url=
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253081|언어=en}}</ref>

[[바탈린-빌코비스키 대수]]는 추가 구조 (<math>\Delta</math> 연산자)를 갖춘 거스틴해버 대수이다.

리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[외대수]] <math>\bigwedge^\bullet\mathfrak g</math>는 자연스럽게 거스틴해버 대수의 구조를 갖는다.

== 역사 ==
[[파일:Gerstenhaber.jpg|220픽셀|섬네일|[[머리 거스틴해버]]]]
[[머리 거스틴해버]]({{llang|en|Murray Gerstenhaber}})가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|last=Gerstenhaber |first=Murray |title=The cohomology structure of an associative ring |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1963-09_78_2/page/n64 |jstor=1970343 |journal=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] |volume=78 |year=1963 |issue=2 |pages=267–288 |doi=10.2307/1970343 }}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Poisson algebra}}

== 같이 보기 ==
* [[바탈린-빌코비스키 대수]]
* [[A∞-대수]]

[[분류:대수]]
[[분류:이론물리학]]
[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]