거리화 가능 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''거리화 가능 공간'''(距離化可能空間, {{llang|en|metrizable space}})은 어떤 [[거리 공간]]과 [[위상동형]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 어떤 위상 공간이 거리화 가능 공간인지를 구별하는 것은 일반위상수학의 중요한 문제이다.

== 정의 ==
=== 거리화 ===
'''거리화 가능 공간'''은 다음 조건을 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이다.
* <math>(X,\mathcal T)</math>는 <math>X</math> 위의 어떤 [[거리 함수]] <math>d</math>로부터 유도되는 [[거리 위상]]과 일치한다.

어떤 위상 공간이 거리화 가능 공간인지를 구하는 문제를 '''거리화 문제'''라고 한다. 이 문제는 [[일반위상수학]]의 중요한 문제 중 하나이다.

'''국소 거리화 가능 공간'''(局所距離化可能空間, {{llang|en|locally metrizable space}})은 다음 조건을 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이다.
* 모든 점 <math>x</math>에 대하여, 거리화 가능 공간인 [[열린 근방]] <math>U_x\ni x</math>가 존재한다.
모든 거리화 가능 공간은 국소 거리화 가능 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

=== 유사 거리화 ===
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''[[유사 거리 함수]]'''({{llang|en|pseudometric}}) <math>d\colon X^2\to[0,\infty)</math>는 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.
* <math>d(x,x)=0\qquad\forall x\in X</math>
* (대칭성) <math>d(x,y)=d(y,x)\qquad\forall x,y\in X</math>
* ([[삼각 부등식]]) <math>d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)\qquad\forall x,y,z\in X</math>
그러나 <math>d(x,y)=0\implies x=y</math>일 필요는 없다. [[유사 거리 공간]]에는 [[거리 공간]]과 유사하게 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여할 수 있다.

위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>의 위상을 유도하는 [[유사 거리 함수]]가 존재한다.
* <math>X</math>의 [[콜모고로프 몫공간]]은 거리화 가능 공간이다.

=== 완비 거리화 ===
'''완비 거리화 가능 공간'''(完備距離化可能空間, {{llang|en|completely metrizable space}})은 다음 조건을 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이다.
* <math>(X,\mathcal T)</math>는 <math>X</math> 위의 어떤 [[완비 거리 공간|완비]] [[거리 함수]] <math>d</math>로부터 유도되는 [[거리 위상]]과 일치한다.
'''국소 완비 거리화 가능 공간'''(局所完備距離化可能空間, {{llang|en|locally completely metrizable space}})은 다음 조건을 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이다.
* 모든 점 <math>x</math>에 대하여, 완비 거리화 가능 공간인 열린 근방 <math>U_x\ni x</math>가 존재한다.

== 성질 ==
거리화 가능성의 필요 조건 및 충분 조건들은 다음과 같다. 이렇게 거리화에 관련된 조건을 제시하는 정리를 '''거리화 정리'''(距離化定理, {{llang|en|metrization theorem}})라고 한다.

=== 필요 조건 ===
모든 거리화 가능 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
* [[완전 정규 공간]]이다.
* [[제1 가산 공간]]이다.
* [[무어 공간]]이다.
* ('''스톤의 정리''' {{llang|en|Stone’s theorem}}) [[파라콤팩트 공간]]이다.

모든 유사 거리화 가능 공간은 [[완비 정칙 공간]]이며, [[완전 정규 공간]]이며, [[제1 가산 공간]]이며, [[파라콤팩트 공간]]이다. (그러나 [[콜모고로프 공간]]이 아닐 수 있다.)

=== 충분 조건 ===
다음 공간들은 항상 거리화 가능 공간이다.
* ('''우리손 거리화 정리''' {{llang|en|Urysohn metrization theorem}}) [[제2 가산 공간|제2 가산]] [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]
* [[가산 생성 공간|가산 생성]] 이진 콤팩트 공간({{llang|en|dyadic compactum}}, 이진 콤팩트 공간 = 곱공간 <math>\{0,1\}^\kappa</math>의 연속적 상인 위상 공간)<ref name="TkachukI">{{서적 인용
|이름1=Vladimir V.
|성1=Tkachuk
|제목=A Cp-Theory Problem Book: Topological and Function Spaces
|언어=en
|총서=Problem Books in Mathematics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2011
|isbn=978-1-4419-7441-9
|issn=0941-3502
|doi=10.1007/978-1-4419-7442-6
|mr=3024898
|zbl=1222.54002
|lccn=2011923537
}}</ref>{{rp|39, Problem 359}}

=== 필요 충분 조건 ===
어떤 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 거리화 가능 공간이다.
* ('''스미르노프 거리화 정리''' {{llang|en|Smirnoff metrization theorem}}) <math>X</math>는 [[파라콤팩트 공간]]이며, [[하우스도르프 공간]]이며, 국소 거리화 가능 공간이다.
* ('''빙 거리화 정리''' {{llang|en|Bing metrization theorem}}) <math>X</math>는 [[정칙 공간]]이며, σ-국소 이산 기저를 갖는다.
* ('''나가타-스미르노프 거리화 정리''' {{llang|en|Nagata–Smirnoff metrization theorem}}) <math>X</math>는 [[정칙 공간]]이며, σ-국소 유한 기저를 갖는다.

우리손 거리화 정리를 다음과 같이 강화시킬 수 있다. 임의의 [[분해 가능 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 거리화 가능 공간이다.
* <math>X</math>는 [[제2 가산 공간]]이며 [[정칙 공간]]이다.
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. [[제2 가산 공간]]인 [[정칙 공간]]은 힐베르트 공간의 부분공간과 위상적으로 동형이다. 또 힐베르트 공간은 [[거리 공간]]이며 제2 가산 공간이다. 따라서 힐베르트 공간의 어떤 부분공간도 [[제2 가산 공간]]이므로, [[분해 가능 공간]]이다. 마지막으로 [[거리 공간]]은 [[정규 공간]]이며, [[정규 공간]]은 [[정칙 공간]]이고, 거리화 가능 공간 위에서 [[분해 가능 공간|분해 가능성]]과 [[제2 가산 공간|제2 가산성]]은 동치이므로 결론을 얻는다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 거리화 가능 공간이다.
* <math>X</math>는 [[제2 가산 공간]]이다.

== 예 ==
[[이산 공간]]은 [[이산 거리 함수]]
:<math>d(x,y)=\begin{cases}1&x\ne y\\0&x=y\end{cases}</math>
에 의하여 거리화 가능 공간이다.

크기 2 이상의 [[비이산 공간]]은 거리화 가능 공간이 아니지만, 다음과 같은 [[유사 거리 함수]]에 의하여 유사 거리화 가능 공간이다.
:<math>d(x,y)=0</math>

모든 [[파라콤팩트]] [[국소 유클리드 공간]]은 유사 거리화 가능 공간이며, 모든 [[다양체]](=[[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 유클리드 공간]])은 거리화 가능 공간이다. 그러나 [[다양체]]가 완비 거리화 가능 공간일 필요는 없다.

== 역사 ==
우리손 거리화 정리는 우리손이 아니라 [[안드레이 티호노프 (수학자)|안드레이 티호노프]]가 증명했지만, 관련 주제에 대한 업적을 기려 우리손의 이름이 붙어 있다. 실제로 우리손이 증명한 것은 '어떤 위상 공간이 [[제2 가산 공간]]이고 동시에 [[정규 공간]]일 때 거리화 가능'하다는 정리였고, 티호노프는 이를 일반화하였다.

스톤의 정리는 [[미국]]의 수학자 [[마셜 하비 스톤]]이 증명하였다.

나가타-스미르노프 거리화 정리는 [[러시아]]의 유리 미하일로비치 스미르노프({{llang|ru|Ю́рий Миха́йлович Смирно́в}})와 [[일본]]의 [[나가타 준이치]]가 증명하였다. 이들은 우리손의 거리화 정리의 역 형식에서 [[분해 가능]]성 조건을 빼고 필요 충분 조건을 일반화하였다. 이 정리의 증명은 몇 단계로 이루어질 수 있는데, 그 중 중요한 수순으로 [[무어 공간]]의 개념을 이용하는 경우가 있다.

나가타-스미르노프 거리화 정리의 발표와 유사한 시기에 미국의 수학자 [[아르에이치 빙]]이 유사한 형식의 빙 거리화 정리를 발표하였다. 이 두 정리를 통칭하여 빙-나가타-스미르노프 거리화 정리라고도 한다. 증명 도중에 [[무어 공간]]을 사용하는 경우가 있다는 점에서 나가타-스미르노프 거리화 정리와 유사하다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=박대희|공저자=안승호|제목=위상수학|판=3판|출판사=경문사|날짜=2013|isbn=978-89-6105-668-7|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6600|언어=ko|access-date=2014-11-15|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129022346/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6600|url-status=}}
* {{서적 인용|저자=김승욱|제목=위상수학: 집합론을 중심으로|출판사=경문사|판=2판|날짜=2004|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2604|isbn=89-7282-587-5|언어=ko|access-date=2014-11-15|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129022435/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2604|url-status=}}
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}
* {{서적 인용|장=A survey of metrization theory|제목=Aspects of topology: in memory of Hugh Dowker 1912–1982|url=https://archive.org/details/aspectsoftopolog0000unse|editor1-first= I. M.|editor1-last=James |editor2-first=E. H. |editor2-last=Kronheimer|이름=Jun-iti|성=Nagata|저자링크=나가타 준이치|doi=10.1017/CBO9781107359925.005|isbn=978-052127815-7|날짜=1985|출판사=Cambridge University Press|쪽=[https://archive.org/details/aspectsoftopolog0000unse/page/n130 113]–126|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Some results in metrization theory, 1950–1972|제목=Topology conference, Virginia Polytechnic Institute and State University, March 22–24, 1973|editor1-first=Raymond F., Jr. |editor1-last=Dickman |editor2-first=Peter|editor2-last=Fletcher|쪽=120–136|총서= Lecture Notes in Mathematics |권=375|이름=R. E.|성=Hodel|doi=10.1007/BFb0064018|날짜=1974|isbn=978-3-540-06684-2|출판사=Springer-Verlag|issn=0075-8434|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Generalized metrizable spaces|이름=Gary|성=Gruehage|장url=http://www.auburn.edu/~gruengf/papers/genmetricfinalb.pdf|제목=Recent progress in general topology III|출판사=Atlantis Press|isbn=978-94-6239-023-2|zbl=1314.54001|날짜=2014|쪽=471–505|editor1-first=K. P.|editor1-last=Hart|editor2-first=Jaroslav|editor2-last=Hušek|editor3-first=Jan|editor3-last=van Mill|doi=10.2991/978-94-6239-024-9_10|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Metrizable spaces and generalizations|이름=Gary|성=Gruehage|장url=http://www.auburn.edu/~gruengf/papers/recprogl3.pdf|제목=Recent progress in general topology II|쪽=201–225|날짜=2002|출판사=North-Holland|zbl=1029.54036|isbn=978-044450980-2|editor1-first=Jaroslav|editor1-last=Hušek|editor2-first=Jan|editor2-last=van Mill|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[알렉산드로프 콤팩트화]]
* [[파라콤팩트 공간]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Metrizable space}}
* {{eom|title=Urysohn metrization theorem}}
* {{매스월드|id=MetrizableTopology|title=Metrizable topology}}
* {{매스월드|id=UrysohnsMetrizationTheorem|title=Urysohn's metrization theorem}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Metrizable_space|제목=Metrizable space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Metrizable_space|제목=Metrizable space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Metrizable_Topology|제목=Definition: metrizable topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Pseudometrizable_Topology|제목=Definition: pseudometrizable topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.cheenta.com/a-survey-of-urysohns-metrization-theorem/|제목=A survey of Urysohn’s metrization theorem|출판사=Cheenta|날짜=2016-04-30|언어=en}}

[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:위상수학 정리]]
[[분류:거리 공간]]