거듭제곱 문서 원본 보기

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[[파일:Root graphs.svg|오른쪽|섬네일|300px|위에서 아래로: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.]]
[[수학]]에서 '''거듭제곱'''({{llang|en|exponentiation}}) 또는 '''승멱'''(乘冪) 또는 '''멱'''(冪)은 같은 수를 주어진 횟수만큼 여러 번 [[곱셈|곱하는]] [[이항 연산]]이다. 여러 번 곱하는 수를 '''밑'''({{llang|en|base}})이라고 하고, 곱하는 횟수를 '''지수'''(指數, {{문화어|어깨수}}, {{llang|en|exponent, power}})라고 한다. 밑이 <math>a</math>, 지수가 <math>n</math>인 거듭제곱을 '''<math>a</math>의 <math>n</math>제곱'''이라고 하고, 그 기호는 <math>a^n</math>이다. 때로는 거듭제곱의 밑을 [[기저]]로 부르기도 한다.

== [[정의]] ==
=== 정수 제곱 ===
[[실수]] <math>a</math> 및 [[자연수]] <math>n</math>에 대하여, <math>a</math>의 <math>n</math>제곱은 다음과 같다.
:<math>a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_n</math>
즉, <math>a</math>를 <math>n</math>번 반복하여 곱한 결과이다. 이는 다음의 [[재귀적 정의]]와 [[동치]]이다.
:<math>a^1=a</math>
:<math>a^{k+1}=a^k\times a\qquad(k\in\mathbb N)</math>

0이 아닌 [[실수]] <math>a</math>에 대하여, <math>a</math>의 0제곱은 다음과 같다.
:<math>a^0=1</math>
즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱 0<sup>0</sup>은 정의하지 않는다.

0이 아닌 [[실수]] <math>a</math> 및 [[음의 정수]] <math>-n</math>(즉, <math>n</math>은 양의 정수)에 대하여, <math>a</math>의 <math>-n</math>제곱은 다음과 같다.
:<math>a^{-n}=\frac1{a^n}</math>
즉, 0이 아닌 실수의 음의 정수 제곱은, 우선 그 음의 정수의 [[절댓값]]인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 [[역수]]를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의하지 않는다.

=== 유리수 제곱 ===
지수가 유리수인 거듭제곱을 [[거듭제곱근]]을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 <math>a</math> 및 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>\sqrt[n]a</math>를 정의하자. 이를 위해 방정식 <math>x^n=a</math>의 근을 생각하자. 자명하게, <math>a</math>가 0일 경우 복소수 범위에서의 근이 <math>x=0</math>뿐이며, 그 중복도는 <math>n</math>이다. <math>a</math>가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 <math>n</math>개 존재한다. <math>n</math>이 [[홀수]]일 경우나, <math>n</math>이 [[짝수]]이며 <math>a</math>가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 [[반수 (수학)|반수]]인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을 <math>\sqrt[n]a</math>라 정의한다. <math>n</math>이 짝수이며 <math>a</math>가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로, <math>\sqrt[n]a</math>를 정의하지 않는다.

이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 [[기약 분수]]의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를
:<math>\frac mn\qquad(m,n\in\mathbb Z;\;n>0;\;\gcd\{m,n\}=1)</math>
라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.
:<math>a^\frac mn=\sqrt[n]{a^m}</math>
즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 [[거듭제곱근]]을 취한 결과이다. 분모 <math>n</math>이 [[홀수]]일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 <math>a</math>에 대하여 정의된다. [[짝수]]일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 <math>a</math>에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다. 물론 모든 정수는 유리수이므로 정수 제곱의 앞선 두 정의가 일치하는지 검증하여야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉, <math>a^\frac mn</math>은 단지 [[방정식]] <math>x^n=a^m</math>의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식 <math>x^n=a^m</math>의 모든 복소근을 찾는 [[다가 함수]]로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 [[복소수]] 밑 <math>a</math>에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 <math>n</math>개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다.

=== 실수 제곱 ===
거듭제곱의 지수를 [[무리수]]의 범위까지 확장하는 방법은 다음과 같은 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 경우에 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 살펴야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

==== 유리수 제곱 근사를 통한 정의 ====
양의 실수 <math>a</math>와 <math>x</math>에 대하여, <math>a</math>의 <math>x</math>제곱을 다음과 같이 유리수 제곱의 근사를 통해 정의할 수 있다.
:<math>a^x=\lim_{\mathbb Q\ni q\to x}a^q</math>
즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 [[함수의 극한|극한]]이다. 이는 다음 정의와 [[동치]]이다.
:<math>a^x=\sup_{q\in\mathbb Q\colon q<x}a^q</math>
즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 [[상한과 하한|상한]]이다.

==== 로그를 통한 정의 ====
양의 실수의 실수 제곱을 [[지수 함수]]와 [[로그 함수]]를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 실수 지수 함수
:<math>\mathbb R\to(0,+\infty)</math>
:<math>x\mapsto e^x</math>
는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 [[동치]]이다.
:([[수열의 극한]]) <math>e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n</math>
:([[거듭제곱 급수]]) <math>e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>
또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 [[역함수]]이다.
:<math>\ln=\exp^{-1}</math>
이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의하자. 양의 실수 <math>a</math>와 실수 <math>x</math>에 대하여, <math>a</math>의 <math>x</math>제곱은 다음과 같다.
:<math>a^x=e^{x\ln a}</math>

=== 복소수 제곱 ===
거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 [[다가 함수|여러 값]]이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수
:<math>\mathbb C\to\mathbb C\setminus\{0\}</math>
:<math>z\mapsto e^z</math>
는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 [[동치]]이다.
:(수열의 극한) <math>e^z=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac zn\right)^n</math>
:(거듭제곱 급수) <math>e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}</math>
실수의 경우 이는 실수 지수 함수와 일치한다. [[오일러의 공식]]
:<math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\qquad(\theta\in\mathbb R)</math>
과 지수 함수 법칙에 따라 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>e^z=e^{\operatorname{Re}z}(\cos\operatorname{Im}z+i\sin\operatorname{Im}z)\qquad(z\in\mathbb C)</math>
또한 복소수 로그 함수는 복소수 지수 함수의 '역함수'이다.
:<math>\operatorname{Ln}=\exp^{-1}</math>
그러나 이는 복소수 지수 함수가 [[가역 함수]]가 아니므로 [[다가 함수]]이다. 이를 복소수에 복소수 집합을 대응시키는 함수라 여기자. 그러면 이는 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{Ln}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{0\})</math>
이제 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱을 정의하자. 0이 아닌 복소수 <math>z</math>와 복소수 <math>w</math>에 대하여, <math>z</math>의 <math>w</math>제곱은 다음과 같다.
:<math>z^w=e^{w\operatorname{Ln}z}</math>
복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 이 거듭제곱 역시 다가 함수이다. ([[거듭제곱#다가성|자세히...]])

== 성질 ==
=== 연산 법칙 ===
[[자연수]] <math>n</math>에 대해, 거듭제곱 <math>a^n</math>(a는 실수)은 다음과 같이 정의된다.
:<math>{{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n}</math>
이것은 [[곱셈]] 연산이 [[덧셈]]을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.
* <math>a^1 = a</math>
* <math>{a^b}{a^c} = a^{b+c}</math>
* <math>(a^n)^m = a^{nm}</math>
* <math>(a^b)^c = (a^c)^b</math>
* <math>{a^c}{b^c} = (ab)^c</math>
* <math>a^m \div a^n = a^{m-n}</math>
:<math> {{a^5} } ={a \times a\times a\times a\times a }=({a \times a\times a })\times({a \times a})=a^3 \times a^2 =a^{3+2}=a^5=({a \times a}) \times ({a \times a\times a })=a^{2+3}=a^5</math>
:<math> {{a^5} \over {a^5}} = {{a \times a\times a\times a\times a } \over {a \times a\times a\times a\times a }}= {{\cancel{a} \times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a} } \over {\cancel{a} \times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}} }={1 \over 1}=1</math>
:<math> {{a^5} \over {a^5}} = a^{5-5}=a^0 =1 </math>
* <math>(-a)^1 = -a</math>
* <math>(-a)^2 = -a \cdot -a = +a^2</math>
* <math>(-a)^3 = -a \cdot -a \cdot -a= -a^3</math>
* <math>(-a)^0 ={ -a \over -a} = +1</math>

다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다.
* <math>a^1 = a</math>

* <math>a^{n+1} = a \times a^n,\ n=1, 2, 3, \cdots</math>

=== 다가성 ===

== 응용 ==

=== 기수법 ===
거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다.
:<math>\;\;a^n = x </math>일때,
:<math>a^n</math>의 밑은 <math>a</math>이고, 지수는 <math>n</math>, [[기수법#진수|진수]]는 <math>x</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[커누스 윗화살표 표기법]]
* [[지수 함수|지수함수]]
* [[로그]]
* [[기수법#진수|진수]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Exponentiation|title=Exponentiation}}
* {{매스월드|id=ComplexExponentiation|title=Complex exponentiation}}
* {{플래닛매스|urlname=exponentiation|title=Exponentiation}}
* {{플래닛매스|urlname=exponential|title=Exponential}}
* {{플래닛매스|urlname=fractionpower|title=Fraction power}}
* {{플래닛매스|urlname=generalpower|title=General power}}

{{전거 통제}}

[[분류:거듭제곱| ]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:단항 연산]]