개복소다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''개복소다양체'''(槪複素多樣體, {{llang|en|almost complex manifold}})는 그 [[접다발]]이 제곱하여 −1이 되는 [[자기 동형 사상]]을 갖는 [[매끄러운 다양체]]이다. [[복소다양체]]의 개념의 일반화이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>E \twoheadrightarrow M</math> 위의 '''개복소구조'''는 [[벡터 다발 사상]] <math>J \colon E\ to E</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.
:<math>J^2 = -1 \colon E \to E</math>
개복소구조가 존재하려면 <math>E</math>는 물론 짝수 차원이어야 한다.

'''개복소다양체''' <math>(M,J)</math>는 [[접다발]] 위에 개복소구조 <math>J</math>가 주어진 [[매끄러운 다양체]]이다.

== 성질 ==
개복소다양체 <math>M</math> 위의 임의의 [[벡터장]] <math>X,Y\in\Gamma(TM)</math>에 대하여, 다음 항등식을 통하여 반대칭 (1,2)차 텐서장
:<math>N_J \in \Omega^2(M;\mathrm TM)</math>
를 정의할 수 있다.
:<math> N_J(X,Y) \equiv [X,Y] + J[JX,Y] + J[X,JY] - [JX, JY] = 0</math>
이 <math>N_J</math>를 '''네이엔하위스 텐서'''({{llang|en|Nijenhuis tensor}})라고 하며, [[네덜란드]]의 수학자 알버르트 네이엔하위스({{llang|nl|Albert Nijenhuis}})가 1951년 도입하였다.<ref>{{저널 인용|
이름=Albert|성=Nijenhuis|제목=''X''<sub>''n''−1</sub>-forming sets of eigenvectors|저널=Indagationes Mathematicae
|권=13|날짜=1951|쪽=200–212|mr=0043540|zbl=0042.16001}}</ref>

== 예 ==
모든 [[복소수 벡터 다발]]은 개복소구조를 가지며, 이는 허수 <math>\mathrm i</math>에 대한 곱셈이다. 특히, 모든 [[복소다양체]]는 개복소다양체이며, 복소다양체의 경우 네이엔하위스 텐서가 0이다. 그러나 복소다양체가 아닌 개복소다양체가 존재하며, 이 경우 네이엔하위스 텐서가 0이 아니다.

== 역사 ==
개복소다양체의 개념은 [[샤를 에레스만]]과 [[하인츠 호프]]가 1940년대에 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Almost-complex structure}}
* {{nlab|id=complex structure|title=Complex structure}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:매끄러운 다양체]]