강콤팩트 기수 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''강콤팩트 기수'''(强compact基數, {{llang|en|strongly compact cardinal}})는 [[티호노프 정리]]와 유사한 성질을 만족시키는 [[무한 기수]]이다. [[큰 기수]]의 하나이다.

== 정의 ==
기수 <math>\kappa</math>에 대하여, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 다음 성질을 만족시키면, <math>X</math>가 '''<math>\kappa</math>-콤팩트'''하다고 한다.
* <math>X</math>의 모든 [[열린 덮개]]는 크기가 <math>\kappa</math> 미만인 부분 덮개를 갖는다.
일반적인 [[콤팩트 공간]]의 개념은 <math>\aleph_0</math>-콤팩트 공간이다.

두 무한 기수 <math>\kappa,\lambda</math>가 주어졌을 때, '''[[무한 논리]]''' <math>L_{\kappa,\lambda}</math>는 <math>\kappa</math>개 미만의 항들의 [[논리합]]·[[논리곱]]과 <math>\lambda</math>개 미만의 변수들에 대한 한정 기호 ∀및  ∃를 적용할 수 있는 논리이다.

[[무한 기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[무한 기수]]를 '''강콤팩트 기수'''라고 한다.
* 임의의 개수의 <math>\kappa</math>-콤팩트 [[하우스도르프 공간]]들의 [[곱공간]]은 <math>\kappa</math>-콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref>{{저널 인용|성=Mycielski|이름=Jan|저자링크=얀 미치엘스키|제목=Two remarks on Tychonoff’s product theorem|zbl=0138.17703|저널=Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys.|권=12|쪽=439–441|날짜=1964|언어=en}}</ref>
* 임의의 집합 위의 <math>\kappa</math>-완비 [[필터 (수학)|필터]]는 <math>\kappa</math>-완비 [[극대 필터]]의 부분 필터이다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|37}}
* [[무한 논리]] <math>L_{\kappa,\kappa}</math>는 [[콤팩트성 정리]]를 만족시킨다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|36–37}} 즉, 임의의 명제들의 집합 <math>\mathcal T\subset L_{\kappa,\kappa}</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
** <math>M\models\mathcal T</math>인 [[구조 (논리학)|구조]] <math>M</math>이 존재한다.
** 크기가 <math>\kappa</math> 미만인 임의의 부분집합 <math>\mathcal S\subset\mathcal T</math>에 대하여, <math>M\models\mathcal S</math>인 [[구조 (논리학)|구조]] <math>M_{\mathcal S}</math>가 존재한다.

== 성질 ==
모든 비가산 강콤팩트 기수는 [[가측 기수]]이다.<ref name="Kanamori">{{서적 인용 | last=Kanamori | first=Akihiro | 저자링크=가나모리 아키히로 | 날짜=2003 | 출판사=Springer | 제목=The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings | 판=2판 | isbn=978-3-540-88866-6 | zbl = 1022.03033 | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | issn = 1439-7382 | doi = 10.1007/978-3-540-88867-3 | 언어=en}}</ref>{{rp|38}} (가측 기수는 정의에 따라 비가산 기수이므로, <math>\aleph_0</math>는 강콤팩트 기수이지만 가측 기수가 아니다.) 모든 [[초콤팩트 기수]]는 강콤팩트 기수이다.

== 예 ==
[[선택 공리]]를 가정하면, [[티호노프 정리]]에 따라서, <math>\aleph_0</math>은 강콤팩트 기수이다. [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 이 밖의 다른 강콤팩트 기수의 존재를 증명할 수 없다.

== 역사 ==
하워드 제롬 카이슬러({{llang|de|Howard Jerome Keisler}})와 [[알프레트 타르스키]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Keisler|성=H. J.|공저자=[[알프레트 타르스키|A. Tarski]]|제목=From accessible to inaccessible cardinals (Results holding for all accessible cardinal numbers and the problem of their extension to inaccessible ones)|저널=Fundamenta Mathematicae|권=53|호=3|날짜=1964|쪽=225–308|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv53i1p21bwm|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=A system of axioms of set theory for the rationalists|이름=Jan|성=Mycielski|저자링크=얀 미치엘스키|url=http://www.ams.org/notices/200602/fea-mycielski.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2006-02|권=53|호=2|쪽=206–213|zbl=1102.03050|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Strongly_compact|제목=Strongly compact cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|언어=en|확인날짜=2014-12-25|보존url=https://web.archive.org/web/20141225122248/http://cantorsattic.info/Strongly_compact|보존날짜=2014-12-25|url-status=dead}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:큰 기수]]