강력수 문서 원본 보기

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[[파일:Powerful numbers up to 100.svg|200px|섬네일|강력수의 예]]
[[수론]]에서, '''강력수'''({{llang|en|powerful number}})는 모든 [[소인수]]에 [[거듭제곱]]이 포함된 [[양의 정수]]다. 즉, 강력수는 [[제곱수]]와 [[세제곱수]]의 곱으로 나타낼 수 있다.

== 정의 ==
양의 정수 <math>n</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>n</math>을 '''강력수'''라고 한다.
* 임의의 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여, 만약 <math>p</math>가 <math>n</math>의 [[약수]]라면, <math>p^2</math> 역시 <math>n</math>의 약수이다.
* <math>n=a^2b^3</math>인 양의 정수 <math>a,b</math>가 존재한다.
* <math>\textstyle\sum_{d\mid n}\phi(d)\phi(n/d)\mu(d)>0</math>. 여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]], <math>\mu</math>는 [[뫼비우스 함수]]이다.

== 성질 ==
처음 몇 강력수는 다음과 같다.
:1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... {{OEIS|A001694}}
양의 실수 <math>x</math> 이하의 강력수의 수는 다음과 같이 점근적으로 근사할 수 있다.
:<math>(\zeta(3/2)/\zeta(3))x^{1/2}+(\zeta(2/3)/\zeta(2))x^{1/3}+o(x^{1/6})</math>
여기서 <math>\zeta</math>는 [[리만 제타 함수]]이다. 10, 100, 1000, ... 이하의 강력수의 수는 다음과 같다.
:4, 14, 54, 185, 619, 2027, 6553, 21044, 67231, 214122, 680330, 2158391, ... {{OEIS|A118896}}
강력수의 역수의 합은 <math>\zeta(2)\zeta(3)/\zeta(6)</math>으로 수렴한다.

== 같이 보기 ==
* [[아킬레스 수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Power-full_number}}
* {{매스월드|id=PowerfulNumber|title=Powerful number}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론]]
[[분류:정수열]]