감쇠장 문서 원본 보기

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'''감쇠장'''(減衰場, {{llang|en|evanescent field}}) 또는 '''소산장'''(消散場)이란 [[전자파]]([[빛]]),가 특정한 조건 하에서 금속 같은 [[반사성]]이 있는 [[매질]] 내부에서 야기하는 [[전자장]]의 변동을 말한다. 감쇠장에서 방출(반사)되는 전자파인 '''소멸파'''(消滅波, {{llang|en|evanescent wave}})는 [[지수함수]]적으로 세기가 감소하는 [[전자기파]]로 근접장파의 일종이다.

== 도체 속에서의 전자기파<ref>David J. Griffiths(2008), ''Introduction to Electrodynamics''(영어).</ref> ==

일반적으로 [[도체]] 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 <math>\vec{J_{free}} \ne 0</math>이다. [[옴의 법칙]]에 따르면, <math>\vec{J_{free}}=\sigma\vec{E}</math>이다. 따라서 [[맥스웰 방정식]]은 다음과 같이 정리된다.

<math> \vec{\triangledown}\cdot\vec{E} = \frac{\rho_{free}}{\epsilon} </math>

<math> \vec{\triangledown}\cdot\vec{B} = 0 </math>

<math> \vec{\triangledown}\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} </math>

<math> \vec{\triangledown}\times\vec{B} = \mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} </math>


이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다.

<math> \frac{\partial \rho_{free}}{\partial t} = -\sigma(\vec{\triangledown}\cdot\vec{E})=-\frac{\sigma}{\epsilon}\rho_{free} </math>


따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다.

<math> \rho_{free}(t) = e^{-\frac{\sigma}{\epsilon}t}\rho_{free}(0) </math>


이 때, 고유시간 <math> \tau=\epsilon/\sigma </math>는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는 <math> \sigma=\infty </math>이므로 <math> \tau=0 </math>이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다.

<math> \vec{\triangledown}\cdot\vec{E} = 0 </math>

<math> \vec{\triangledown}\cdot\vec{B} = 0 </math>

<math> \vec{\triangledown}\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} </math>

<math> \vec{\triangledown}\times\vec{B} = \mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} </math>


이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다.

<math> \triangledown^2\vec{E} = \mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}+\mu\sigma\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}</math>

<math> \triangledown^2\vec{B} = \mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}+\mu\sigma\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}</math>



이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다.

<math> \widetilde{\vec{E}}(z,t) = \widetilde{\vec{E_0}}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)} </math>

<math> \widetilde{\vec{B}}(z,t) = \widetilde{\vec{B_0}}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)} </math>


이 때, <math> \widetilde{k}^2=\mu\epsilon\omega^2+i\mu\sigma\omega </math>이므로, <math> \widetilde{k} </math>는 복소수이고, <math> \widetilde{k} = k+i\kappa </math>라고 할 때,

<math> k = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2}}[\sqrt{1+(\frac{\sigma}{\epsilon\omega})^2}+1]^\frac{1}{2} </math>

<math> \kappa = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2}}[\sqrt{1+(\frac{\sigma}{\epsilon\omega})^2}-1]^\frac{1}{2} </math>



로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, [[실수]] 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다.

<math> \vec{E}(z,t) = E_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta_{E}) </math>

<math> \vec{B}(z,t) = B_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta_{E}+\phi) </math>


이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다.


== 이방성(anisotropic) 매질에서의 전자기파<ref>Aki, K. and Richards, P. G., 1980. Quantitative Seismology. Theory and Methods.W. N. Freeman & Co.</ref><ref>Alkhalifah, T. and Tsvankin, I., 1995. Velocity analysis in transversely isotropic media. Geophysics, 60: 1550-1566.</ref><ref>Brekhovskikh, L. M., 1980. Waves in Layered Media. Academic Press.</ref><ref>Carcione, J. M., 2001. Wave Fields in Real Media: Wave propagation in Anisotropic, Anelastic, and Porous media. Pergamon Press.</ref><ref>�Cerven�y, V. and Aranha, P. R. A., 1992. Tunneling of seismic body waves through thin high-velocity layers in complex structures. Studia Geophys. and Geod.,36: 115-138.</ref><ref>Crampin, S., 1975. Distinctive particle motion of surface waves as a diagnostic of anisotropic layering. Geophys. J. R. Astr. Soc., 40: 177-186.</ref><ref>Crampin, S. and Taylor, D. B., 1971. The propagation of surface waves in anisotropic media. Geophys. J. R. Astr. Soc., 25: 71-87.</ref><ref>Helbig, K., 1994. Foundations of Elastic Anisotropy for Exploration Seismics. Pergamon Press.</ref><ref>Hron, F. and Mikhailenko, B. G., 1981. Numerical modeling of nongeometricale�ects by the Alekseev-Mikhailenko method. Bull. Seismol. Soc. Amer., 71:1011-1029.</ref><ref>Phinney, R. A., 1961. Propagation of leaking interface waves. Bull. Seismol. Soc. Amer., 51: 527-555.</ref><ref>Ruger, A., 2001. Reflection Coe�cients and Azimuthal AVO Analysis in Anisotropic Media. Society of Exploration Geophysicists.</ref><ref>Thomsen, L., 1986. Weak elastic anisotropy. Geophysics, 51: 1954-1966.</ref><ref>Tsvankin, I., 1995. Seismic Wave�elds in Layered Isotropic Media. Samizdat Press, Colorado School of Mines.</ref><ref>Tsvankin, I., 2005. Seismic Signatures and Analysis of Reflection Data in Anisotropic Media, 2nd Edition. Elsevier Science Publ. Co., Inc.</ref><ref>Tsvankin, I. and Chesnokov, E. M., 1990. Synthesis of body wave seismograms from point sources in anisotropic media. J. Geophys. Res., 95(B7): 11317-11331.</ref><ref>Wang, Z., 2002. Seismic anisotropy in sedimentary rocks, part 2: Laboratory data. Geophysics, 67: 1423-1440.</ref><ref>Zhu, Y. and Tsvankin, I., 2006. Plane-wave propagation in attenuative transversely
isotropic media. Geophysics, 71: T17-T30.</ref>==

=== 소개 ===

 평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다.

=== 소멸파에 대한 Christoffel equation ===

조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다.

<math> u_{n} = U_{n}e^{i\omega(m_{j}x_{j}-t)} </math>

(이 때, <math> \vec{u} </math>는 변위벡터, <math> \vec{U} </math>는 단위 편광 벡터, <math> \omega </math>는 각속도 <math> \vec{m} </math>은 slowness 벡터이다. 그리고 우리가 알고 있듯이 일반적으로 <math> \vec{k}=\omega\vec{m} </math>이다.)



이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자.

<math> m_{j} = m_{j}^{re} +im_{j}^{im} </math>

<math> u_{n}=U_{n}e^{i\omega(m_{j}^{re}x_{j}-t)-\omega m_{j}^{im}x_{j}} </math>


이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다.

<math> \rho\frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}-c_{ijkl}\frac{\partial^{2}u_{k}}{\partial x_{j} \partial x{l}}=0 </math>

(일반적으로 <math>c_{ijkl}</math>은 christoffel matrix라고 물리우며, <math> G_{ik} </math>로 쓰인다. 여기서 <math> \delta_{ik} </math>는 Kronecker symbol이다.)



소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 [[변위]] 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는 <math>\ vec{m}, \vec{U} </math>에 대한 coupled equation을 준다.

지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor <math> c_{ijkl} </math>는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다.

<math> |\vec{m}^{re}|^{2} = \frac{1}{V^2}+|\vec{m}^{im}|^2 </math>

<math> \vec{m}^{re} \cdot \vec{m}^{im}=0 </math>

(이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고, <math> \vec{m}^{im} </math>에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과 <math> \vec{m}^{re} </math>에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다.


<math> \vec{m}^{im} </math>의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도(<math> \frac{1}{|\vec{m}^{re}|} </math>)는 <math> |\vec{m}^{im}| </math>의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다.

이 때, 소멸파는 [<math> x_{1} </math>, <math> x_{2} </math>] plane으로 진행하며, <math> x_{3} </math> 방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [<math> x_{1} </math> , <math> x_{3} </math>]에서 다루기에 충분하다. 따라서 <math> m_{2}=0 </math>이다.

<math> \vec{m}^{re}=\{m_{1}^{re},0,0\}, \vec{m}^{im}=\{0,0,m_{3}^{im}\} </math>


따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다.

<math> u_{n} = U_{n}e^{i\omega(m_{1}x_{1}-t)-\omega m_{3}x_{3}} </math>


그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를 <math> c_{ijkl}m_{j}m_{l}-\rho\delta_{ik}=0 </math>에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다.

<math> [c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0  </math>

<math> [c_{66}(m_{1}^{re})^2-c_{55}(m_{3}^{im})^2-\rho]U_2=0 </math>

<math> i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{3}=0 </math>


여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다.

=== SH-wave에 대한 정확한 해 ===

SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [<math>x_{1}</math>, <math>x_{3}</math>]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다.

<math> c_{66}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho =0 </math>


이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

<math> m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{hor,SH}^{2}}+\frac{c_{55}}{c_{66}}m_{3}^{2} = \frac{1}{1+2\gamma}(\frac{1}{V_{S0}^{2}+m_{3}^{2}}) </math>

<math> V_{hor,SH} = \sqrt{\frac{c_{66}}{\rho}} = V_{S0}\sqrt{1+2\gamma} </math>

(여기서 <math> \gamma </math>는 Thomsen anisotropy parameter이며, <math> \gamma=\frac{c_{66}-c_{55}}{2c_{55}} </math>이고, <math> V_{S0} </math>는 shear-wave vertical velocity로 <math> V_{S0}=\sqrt{\frac{c_{55}}{\rho}} </math>이다. 또한 <math> V_{hor,SH} </math>는 homogeneous SH-wave의 수평 속도이다.)


등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는 <math> V_{hor,SH} </math> 보다 <math> |m_{3}| </math>만큼 작았다. 일반적으로 <math> \gamma </math>는 0보다 크기 때문에 이는 주어진 <math> m_{1} </math> 값에 대해 <math> m_{3}^{2} </math>값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다.


=== P-wave와 SV-wave의 정확한 해 ===

P-wave와 SV-wave는 각각

<math> [c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0  </math>

<math> i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{3}=0 </math>

에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터 <math> \vec{U} </math>에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다.

[[등방성]] 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해 <math> U_{1}, U_{3} </math>를 각각 실수, 허수로 정하였다.

(단, 위의 두 식에선 편광 성분들 사이의 비율만이 주어져 있기 때문에 <math> U_{1}, U_{3} </math>는 언제든지 complex로 정할 수 있다.)

만일 <math> U_{1} </math>이 실수이고, <math> U_{3}=i|U_{3}| </math>라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다.

<math> (c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho)U_{1}-(c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}|U_{3}|=0 </math>

<math> (c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}U_{1}+(c_{55}m_{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho)|U_{3}|=0 </math>


위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는 <math> U_{1} </math>과 <math> |U_{3}| </math>에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로,

<math> (c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho)(c_{55}m{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho)+(c_{13}+c_{55})^{2}m_{1}^{2}m_{3}^{2}=0 </math>


=== P-wave에 대한 약한 이방성 근사 ===

<math> m_{1} </math>과 <math> m_{3} </math>에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다.하지만 P-wave에서 <math> |m_{1}| </math>이 <math> |m_{3}| </math>보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

<math> m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{hor}^{2}}+m_{3}^{2}(1-4\epsilon+2\delta)-2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta) </math>

(단, <math> V_{hor} = V_{P0}\sqrt{1+2\epsilon} </math>)


만일 <math> \epsilon=\delta=0 </math>이라면 <math> m_{1}^{2}=\frac{1}{V_{P0}^{2}}+m_{3}^{2} </math>이므로,

<math> m_{1} </math>은 <math> m_{3} </math>가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다.

만일 <math> \epsilon </math>과 <math> \delta </math>가 <math> V_{hor} </math>과 <math> m_{3}^{2} </math>항에 대해 큰 변화를 주고, <math> m_{3}^{4} </math>항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

<math> \frac{m_{1}^{2}}{\frac{1}{V_{P0}^{2}}+m_{3}^{2}} = 1-2\epsilon-2m_{3}^{2}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta) </math>


<math> m_{3}V_{P0} </math>의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로 <math> \epsilon </math>에 의해서 조정된다.

일반적인 TI 모델은 <math> \epsilon > 0, \epsilon > \delta </math>인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진 <math> m_{3} </math>에 대해 <math> m_{1} </math>를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인 <math> m_{1} </math>에 대해서 이방성 성분이 <math> m_{3} </math>을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다.


=== SV-wave에 대한 약한 이방성 근사 ===

P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다.

<math> m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{S0}^{2}}+m_{3}^{2}(1+2\sigma)+2m_{3}^{4}V_{S0}^{2}\sigma </math>


그리고 <math> \rho = (V_{P0}^{2}/V_{S0}^{2})(\epsilon-\delta) </math> 이므로,

<math> m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{S0}^{2}}+m_{3}^{2}(1+2\sigma)+2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta) </math>


이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도 <math> V_{S0} </math>와 같다.

일반적으로 <math> \sigma </math>는 0보다 크기 때문에 이는 <math> m_{3} </math>를 줄이기 때문에, 고정된 <math> m_{1} </math> 에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다.

== 같이 보기 ==
* [[스넬의 법칙]]
* [[전반사]]
* [[내부전반사형광현미경]]
* [[도파관]]
== 각주 ==
<references/>

{{전거 통제}}

[[분류:전자기학]]
[[분류:광학]]
[[분류:재료과학]]
[[분류:나노기술]]
[[분류:양자역학]]