감마 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
| 이름 = 감마 분포
| 종류 = 밀도
| pdf 그림 = Gamma distribution pdf.png
| pdf 그림설명 = Probability density plots of gamma distributions
| cdf 그림 = Gamma distribution cdf.png
| cdf 그림설명 = Cumulative distribution plots of gamma distributions
| 매개변수 = <math>k > 0\,</math> [[형상모수]] <br /><math>\theta > 0\,</math> [[척도모수]]
| 받침 = <math>x \in (0; \infty)\!</math>
| pdf = <math>x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}</math>
| cdf = <math>\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}</math>
| 기대값 = <math>k \theta\,</math>
| 중앙값 =
| 최빈값 = <math>(k-1) \theta\,</math> for <math>k \geq 1\,</math>
| 분산 = <math>k \theta^2\,</math>
| 왜도 = <math>\frac{2}{\sqrt{k}}</math>
| 첨도 = <math>\frac{3(k+2)}{k}</math>
| 엔트로피 = <math>k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,</math><br /><math>+(1-k)\psi(k)\,</math>
| mgf = <math>(1 - \theta\,t)^{-k} \mbox{ for } t < \frac 1 \theta</math>
| 특성함수 = <math>(1 - \theta\,i\,t)^{-k}</math>
}}

'''감마 분포'''는 [[연속 확률분포]]로, 두 개의 매개변수를 받으며 양의 실수를 가질 수 있다.

감마 분포는 [[지수 분포]]나 [[푸아송 분포]] 등의 매개변수에 대한 [[켤레 사전 확률]] 분포이며, 이에 따라 [[베이즈 확률론]]에서 [[사전 확률]] 분포로 사용된다.

[[매개변수]] <math>k</math>가 정수인 경우 감마 분포는 [[얼랑 분포]]가 된다.

== 확률 밀도 함수 ==

감마 분포의 [[확률 밀도 함수]]는 [[감마 함수]]를 써서 나타낼 수 있다.
:<math> f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} 
 \ \mathrm{for}\ x > 0 \,\!</math>
여기서 <math>k (> 0)</math>는 [[형상모수]]이고, <math> \theta (> 0)</math>는 [[척도모수]]이다.

== 성질 ==

만약 확률변수 <math>X_1, \cdots, X_n</math>가 독립이며 각각 <math>X_i \sim \mathrm{Gamma}(k_i, \theta)</math>의 분포를 가진다면, 확률변수들의 합은 다음과 같은 분포를 따른다.
:<math>\sum_i X_i \sim \mathrm{Gamma}(\sum_i k_i, \theta)</math>

<math>X \sim \mathrm{Gamma}(k, \theta)</math>인 확률변수 <math>X</math>에 상수를 곱한 경우는 [[척도모수]]에 영향을 준다.
:<math>cX \sim \mathrm{Gamma}(k,  c\theta)</math>

=== 다른 분포와의 관계 ===
* 모양 매개변수 <math>k</math>가 정수인 경우 [[얼랑 분포]]에 포함된다.
* <math>k = 1, \theta = 1/\lambda</math>는 [[지수 분포]]가 된다.
* <math>k = \nu/2, \theta = 2</math>는 [[카이제곱 분포]]가 된다. 이 때 자유도는 <math>\nu</math>이다.

=== 켤레 사전 확률 ===

감마 분포는 [[푸아송 분포]], [[지수 분포]], [[정규 분포]](평균을 알고 있을 경우), [[파레토 분포]], 감마 분포(모양 매개변수를 알 경우)와 [[역감마 분포]](모양 매개변수를 알 경우) 등의 분포와 [[켤레 사전 확률]] 분포를 이룬다.

<!--
A Compendium of Conjugate Priors, Daniel Fink, 1997

감마 분포 <math>X \sim \mathrm{Gamma}(k, \theta)</math>와 켤레 사전 확률 분포를 이루는 분포는 네 개의 매개변수를 가지며, 다음과 같은 식을 갖는다.
:<math>p(k,\theta | p, q, r, s) = \frac{1}{Z} \frac{p^{k-1} e^{-\theta^{-1} q}}{\Gamma(k)^r \theta^{k s}}</math>
여기에서 <math>Z</math>는 정규화 상수이다.

만약 감마 분포 <math>X</math>에서 <math>n</math>개의 관측 <math>x_1, \cdots, x_n \sim X</math>을 얻었다면, 그에 대응하는 <math>p, q, r, s</math>는 다음과 같이 갱신된다.
:<math>p' = p \cdot \prod_i x_i</math>
:<math>q' = q + \sum_i x_i</math>
:<math>r' = r + n</math>
:<math>s' = s + n</math>
-->

== 같이 보기 ==
* [[확률분포]]
** [[지수분포]]
** [[얼랑 분포]](Erlang distribution)
** [[일반화 감마 분포]](Generalized gamma distribution)
** [[카이제곱 분포]]

{{확률분포}}



{{전거 통제}}

[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:생존분석]]
[[분류:연속분포]]
[[분류:확률분포]]
[[분류:감마 함수 및 관련 함수]]