감김 수 문서 원본 보기

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[[파일:Winding_Number_Around_Point.svg|오른쪽|섬네일|250x250픽셀| 이 곡선은 점 ''p'' 주위를 두 번 감는다.]]

[[수학]]에서 [[평면]]에 주어진 [[점 (기하학)|점]]과 같은 평면에 있는 닫힌 [[곡선]]의 '''감김 수'''({{llang|en|Winding number}}) 또는 '''감김 지수'''({{llang|en|winding index}})는 곡선이 점 주위에서 시계 반대 방향으로 감는 총 횟수를 나타내는 정수다. 즉, 곡선이 주어진 점 주위를 몇 번 회전하였는지를 나타낸다. 김김 수는 곡선이 점을 감는 방향에 따라 다르다. 시계 반대 방향으로 감는 경우를 양수를 부여하고, 시계 방향으로 점 주위를 감는 경우 [[음수]]를 부여한다.

감김 수는 [[대수적 위상수학]]의 기본적 대상이며 [[벡터 미적분학]], [[복소해석학]], [[기하학적 위상수학]], [[미분기하학]]뿐만 아니라, [[수리물리학]], [[이론물리학]](예: [[끈 이론]])에서도 중요한 역할을 한다.

== 직관적인 설명 ==
[[파일:Winding_Number_Animation_Small.gif|오른쪽|섬네일|300x300픽셀| 빨간색 곡선을 따라 이동하는 물체는 원점에 있는 사람을 중심으로 시계 반대 방향으로 두 번 회전한다.]]
평면에 방향이 주어진 닫힌 곡선이 있다고 가정하자. 곡선을 한 점 <math>A</math>가 이동하는 자취라고 생각하자. 그러면, 곡선의 감김 수는 점이 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 총 수와 같다.

총 회전 수를 계산할 때 시계 반대 방향은 양수로, 시계 방향은 음수로 계산한다. 예를 들어 점 <math>A</math>가 처음에 시계 반대 방향으로 원점을 네 번 돌고 그 다음 시계 방향으로 원점을 한 번 돌면 곡선이 점을 감은 횟수는 세 번이다.

이 방식에 따르면, 원점 주위를 전혀 이동하지 않는 곡선은 감김 횟수가 0인 반면, 원점 주위를 시계 방향으로 이동하는 곡선은 음의 감김 횟수를 갖는다. 따라서 곡선의 감김 수는 [[정수]]가 될 수 있다. 다음 그림은 &#x2212;2와 3 사이의 감김 수가 있는 곡선을 보여준다.
{| align="center" border="0" cellpadding="0"
|<math>\cdots</math>
| align="center" |[[파일:Winding_Number_-2.svg|80x80픽셀]]
| align="center" |[[파일:Winding_Number_-1.svg|80x80픽셀]]
| align="center" |[[파일:Winding_Number_0.svg|80x80픽셀]]
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|- style="height:3em" valign="top"
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|<math>\cdots</math>
|- valign="top"
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| align="center" | 1
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|}

== 정의 ==
<math>\gamma:[0,1] \to \Complex \setminus \{a\}</math>를 한 점 <math>a</math>를 뺀 평면 위에 있는 닫힌 곡선이라 하자. <math>\gamma</math>가 <math>a</math> 주위를 감는 수는

: <math>\text{wind}(\gamma,a) = s(1) - s(0)</math>

이다. 여기서 <math>(\rho,s)</math>는 극좌표로 표현된 곡선, 즉, 다음 [[피복 공간|덮개 사상]]을 통해 들어올려진 곡선이다.

: <math>p:\Reals_{>0} \times \Reals \to \Complex \setminus \{a\}: (\rho_0,s_0) \mapsto a+\rho_0 e^{i2\pi s_0}.</math>

감김 수는 [[피복 공간|들어 올려진 경로의 존재성과 유일성]](덮개 공간의 시작점 지정)과 모든 올이 <math>p</math> 형식이다 <math>\rho_0 \times (s_0 + \Z)</math> (따라서 위의 표현은 시작점의 선택에 의존하지 않는다). 곡선이 닫혀 있기 때문에 정수이다.

== 다른 정의들 ==
감김 수는 종종 수학의 다양한 부분에서 다른 방식들으로 정의된다. 아래의 모든 정의는 위에 주어진 정의와 동일하다.

=== 알렉산더의 감김 수 셈법 ===
1865년 [[아우구스트 페르디난트 뫼비우스]]는 감김 수를 정의하기 위한 간단한 [[조합론|조합]] 규칙을 제안했으며<ref>{{저널 인용|제목=Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders|저널=Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse|성=Möbius|이름=August|저자링크=August Ferdinand Möbius|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994243/f482|날짜=1865|권=17|쪽=31–68}}</ref> 1928년 [[제임스 워델 알렉산더]]가 다시 독립적으로 제안했다.<ref>{{저널 인용|제목=Topological Invariants of Knots and Links|저널=Transactions of the American Mathematical Society|성=Alexander|이름=J. W.|저자링크=James Waddell Alexander II|날짜=April 1928|권=30|호=2|쪽=275–306|doi=10.2307/1989123|jstor=1989123}}</ref> 모든 곡선은 평면을 여러 연결 성분들로 분할하며, 그 중 하나는 유계가 아니다. 같은 연결 성분에 있는 두 점 주위의 곡선의 감김 수는 동일하다. 유계가 아닌 [[연결 공간|연결 성분]] 안의 임의의 점에 대한 감김 수는 0이다. 마지막으로, 인접한 두 연결 성분의 감김 수는 정확히 1만큼 다르다. 더 큰 감김 수를 가진 연결 성분이 곡선의 왼쪽에 나타난다.

=== 미분기하학 ===
[[미분기하학]]에서 매개변수 방정식은 일반적으로 [[미분 가능 함수|미분 가능]](또는 적어도 부분적으로 미분 가능)하다고 가정한다. 이 경우 극좌표 ''<math>\theta</math>''는 다음 방정식에 의해 [[르네 데카르트|데카르트]] 좌표 ''<math>x,y</math>''와 관련된다.

: <math>d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\quad\text{where }r^2 = x^2 + y^2.</math>

이는 ''<math>\theta</math>''에 대한 다음 정의를 미분하여 찾을 수 있다.

: <math> \theta(t)=\arctan\bigg(\frac{y(t)}{x(t)}\bigg)</math>

[[미적분학의 기본정리]]에 의해 ''<math>\theta</math>''의 전체 변화는 ''<math>d\theta</math>''의 [[적분]]과 같다. 따라서 미분 가능한 곡선의 감김 수를 [[선적분]]으로 표현할 수 있다.

: <math>\text{wind}(\gamma,0) = \frac{1}{2\pi} \oint_{\gamma} \,\left(\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2}\,dx\right).</math>

제 1형식 <math>d\theta</math>(원점의 여집합에서 정의됨)는 닫힌 형식이지만 완전 형식은 아니며 구멍이 뚫린 평면의 첫 번째 [[드람 코호몰로지]] 군을 생성한다. 특히, ''<math>\omega</math>''가 원점의 여집합에 정의된 닫힌 제 1미분형식인 경우 폐곡선을 따라 ''<math>\omega</math>''를 적분하면 감김 수의 배수가 된다.

=== 복소해석학 ===
감김 수는 복소해석학에서 아주 중요한 역할을 한다(유수 정리 설명 참조). [[복소해석학]]의 맥락에서 [[곡선|폐곡선]] <math>\gamma</math>의 감김 수를 [[복소평면]]에서 복소 좌표 <math>z=x+yi</math>로 표현 할 수 있다. 구체적으로,  <math>z=re^{i\theta}</math>라고 쓰면,

: <math>dz = e^{i\theta} dr + ire^{i\theta} d\theta</math>

따라서,

: <math>\frac{dz}{z} = \frac{dr}{r} + i\,d\theta = d[ \ln r ] + i\,d\theta.</math>

<math>\gamma</math>가 폐곡선이고 총 변화량은 <math>\ln (r)</math> 0이므로  <math display="inline">\frac{dz}{z}</math>를 적분한 값은 <math>i</math>에 <math>\theta</math>의 총 변화량을 곱한 값과 같다. 따라서, 원점에 대한 폐곡선 <math>\gamma</math>의 감김 수는<ref>{{매스월드|id=ContourWindingNumber|제목=Contour Winding Number}}</ref>

: <math>\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{dz}{z} \, .</math>

일반적으로, <math>\gamma</math>가 <math>t\in[\alpha,\beta]</math>에 의해 매개변수화된 닫힌 곡선이라 하자. <math>z_0</math>에 대한 <math>\gamma</math> 의 감김 수 또는 <math>z_0</math> 대한 <math>\gamma</math>의 지표는 복소수<math>z_0\notin \gamma([\alpha, \beta])</math>에 대해 다음과 같이 정의된다:<ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/1979RudinW|제목=Principles of Mathematical Analysis|성=Rudin|이름=Walter|연도=1976|출판사=McGraw-Hill|쪽=201|isbn=0-07-054235-X}}</ref>

: <math>\mathrm{Ind}_\gamma(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta - z_0} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t) - z_0} dt.</math>

이것은 유명한 [[코시 적분 공식]]의 특별한 경우이다.

복소 평면에서 감김 수의 기본 성질들 중 일부는 다음 정리에 의해 제공된다.<ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/RudinW.RealAndComplexAnalysis3e1987|제목=Real and Complex Analysis|성=Rudin|이름=Walter|연도=1987|판=3rd|출판사=McGraw-Hill|쪽=203|isbn=0-07-054234-1}}</ref>

'''정리.''' ''<math>\gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}</math>가 닫힌 곡선이고 <math>\Omega</math>가 . <math>\gamma</math>의 여집합이라고 하자. 즉, <math>\Omega:=\mathbb{C}\setminus\gamma([\alpha,\beta])</math>.'' ''그러면 <math>z</math>의 지수는 <math>\gamma</math>에 대하여,''<math display="block">\mathrm{Ind}_\gamma:\Omega\to \mathbb{C},\ \ z\mapsto \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta-z},</math><math display="block">\mathrm{Ind}_\gamma:\Omega\to \mathbb{C},\ \ z\mapsto \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta-z}</math>는 (i) 정수 값, 즉, 모든 <math>z\in\Omega</math>에 대해 <math>\mathrm{Ind}_\gamma(z)\in\mathbb{Z}</math>; (ii) <math>\Omega</math>의 각 연결 성분에 대해 상수; (iii) <math>z</math>가 유계가 아닌 <math>\Omega</math>의 연결 성분에 있으면 0.

즉각적인 결과로서 이 정리는 점 <math>z</math>에 대한 원형 곡선 <math>\gamma</math>의 감김 수를 제공한다. 예상대로 감김 횟수는 시계 반대 방향으로 <math>z</math> 주위를 도는 고리 <math>\gamma</math>들의 수를 세는 것이다:

'''따름정리.''' ''<math>\gamma</math>가 <math>\gamma(t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi, \ \ n\in\mathbb{Z}</math>로 정의된 곡선이라 하자. 그러면,'' <math>\mathrm{Ind}_\gamma(z) = \begin{cases} n, & |z-a|< r; \\ 0, & |z-a|> r. \end{cases}</math>

=== 위상수학 ===
[[위상수학]]에서 감김 수는 [[브라우어르 차수]]의 다른 이름이다.

위의 한 점을 중심으로 하는 곡선의 예는 간단한 위상수학적 의미를 갖는다. 평면에서 한 점의 여집합은 [[원 (기하학)|원]]과 동등한 [[호모토피]]이므로 원에서 그 자체로의 사상이 실제로 고려해야 할 전부이다. 그러한 각각의 사상은 표준 사상 <math>S^1 \to S^1 : s \mapsto s^n</math>들 중 하나로 연속적으로 변형될 수 있음을 보여줄 수 있다(호모토픽하다). 여기서 원의 곱셈은 복소 평면에서 단위 원 상의 복소수 <math>e^{i\theta}</math>들의 곱으로 정의된다. 원에서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 가는 사상의 [[호모토피|호모토피 동치류]] 집합은 [[군 (수학)|군]]을 형성하며, 이를 첫 번째 [[호모토피 군]] 또는 해당 공간의 [[기본군]]이라고 한다. 원의 기본군은 [[정수]] 군 <math>\mathbb Z</math>이다. 일반적 곡선의 감김 수는 이의 호모토피 동치류일 뿐이다.

3차원 구면에서 그 자체로의 사상은 감김 수 또는 때때로 [[폰트랴긴 특성류|폰트랴긴 지수]]라고도 하는 정수로 분류된다.

== 회전 수 ==
[[파일:Winding_Number_Around_Point.svg|섬네일|200x200픽셀| 이 곡선의 전곡률은 6{{Pi}} 이고 ''회전 횟수''는 3이지만 회전 ''횟수''는 {{수학 변수|p}} 에 대해서만 2이다.]]
또한 곡선의 접벡터와 관련하여 곡선의 감김 수를 고려할 수 있다. 이는 곡선의 접벡터가 만드는 곡선의 원점에 대한 감김 수이다. 이 경우 이 문서의 시작 부분에 설명된 예에서는 작은 고리가 계산되기 때문에 감김 번호가 3이다.

이것은 [[몰입 (수학)|몰입]]된 곡선에 대해서만 정의되며(즉, 도함수가 사라지지 않는 미분 가능한 경로에 대해) 접선 가우스 사상의 차수이다.

이것을 '''선회수''', '''회전수''',<ref>{{서적 인용|제목=Turtle Graphics: The Computer as a Medium for Exploring Mathematics|성=Abelson|이름=Harold|연도=1981|출판사=MIT Press|쪽=24}}</ref> '''회전 지수'''<ref>{{서적 인용|제목=Differential Geometry of Curves and Surfaces|url=https://archive.org/details/differentialgeom0000carm|성=Do Carmo|이름=Manfredo P.|연도=1976|출판사=Prentice-Hall|쪽=[https://archive.org/details/differentialgeom0000carm/page/n400 393]|장=5. Global Differential Geometry|isbn=0-13-212589-7}}</ref> 또는 '''곡선의 지수'''라고 하며, 전곡률을 {{Pi}}로 나눈 값으로 계산할 수 있다.

=== 다각형 ===
[[다각형]]에서 '''회전 수'''는 [[밀도 (다포체)|다각형 밀도]]라고 한다. 볼록 다각형 및 보다 일반적으로 단순한 다각형 (자기 교차하지 않음)의 경우 [[조르당 곡선 정리]]에 따라 밀도는 1이다. 대조적으로 정칙 [[다각별|별 모양 다각형]] {''p''/''q''}의 경우 밀도는 ''q''이다.

=== 3차원 공간 안에서 일반적 곡선 ===
[[브라우어르 차수|각도]]에는 일치하는 치수가 필요하므로 3차원 공간 안에 있는 일반적 곡선에 대해 회전 수를 정의할 수 없다. 그러나 [[국소 볼록 공간|국소적으로 볼록]]하고 닫힌 [[곡선]]의 경우 '''접선 회전 기호'''를 <math>(-1)^d</math>로 정의할 수 있다. 여기서 <math>d</math>는 탄젠트 표시의 입체 사영의 회전 수이다. 그것의 두 값은 [[국소 볼록 공간|국소적으로 볼록한]] 곡선의 두 비퇴화 호모토피 동치류에 해당한다.<ref>{{저널 인용|제목=Deformations of closed space curves|저널=Journal of Differential Geometry|성=Feldman|이름=E. A.|날짜=1968|권=2|호=1|쪽=67–75|언어=en|doi=10.4310/jdg/1214501138}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Nondegenerate homotopy and geometric flows|저널=Homology, Homotopy and Applications|성=Minarčík|이름=Jiří|성2=Beneš|이름2=Michal|url=https://qmro.qmul.ac.uk/xmlui/handle/123456789/79678|날짜=2022|권=24|호=2|쪽=255–264|언어=en|doi=10.4310/HHA.2022.v24.n2.a12}}</ref>

== 감김 수와 하이젠베르크 강자성체 방정식 ==
감김 수는 (2+1) 차원 연속 [[베르너 하이젠베르크|하이젠베르크]] 강자성체 방정식과 이 방정식의 적분가능한 확장: 이시모리 방정식 등 마지막 방정식의 해는 감김 수 또는 위상 전하 (위상 불변량 및 위상 양자 수)로 분류된다.

== 응용 ==
[[파일:Winding_number_algorithm_example.svg|섬네일| 단 선데이의 감김 수 알고리듬 시각화. 감김 수가 0이면 점이 다각형 외부에 있음을 의미한다. 다른 값은 점이 다각형 내부에 있음을 나타낸다.]]

=== 다각형의 점 ===
다각형에 대한 점의 감김 수는 [[다각형 안의 점 문제]]를 해결하는 데 사용할 수 있다. 즉, 점이 다각형 내부에 있는지 여부를 결정하는 데 사용할 수 있다.

일반적으로 레이 캐스팅 알고리듬 은 감김 수 알고리즘과 달리 삼각 함수가 필요하지 않기 때문에 PIP 문제에 대한 더 나은 대안이다. 그럼에도 불구하고 감김 수 알고리듬은 삼각 함수와 관련된 계산이 필요하지 않도록 속도를 높일 수 있다.<ref name="sunday">{{웹 인용|url=http://geomalgorithms.com/a03-_inclusion.html|제목=Inclusion of a Point in a Polygon|성=Sunday|이름=Dan|연도=2001|보존url=https://web.archive.org/web/20130126163405/http://geomalgorithms.com/a03-_inclusion.html|보존날짜=26 January 2013|url-status=dead}}</ref> 단순하지 않은 다각형도 고려해야 하는 경우 선데이 알고리듬이라고도 하는 알고리듬의 속도 향상 버전을 권장한다.

== 같이 보기 ==
* [[편각 원리]]
* [[연환수]]
* [[Nonzero Winding Rule]]
* [[밀도 (다포체)]]
* [[슐레플리 기호]]
* [[위상수학적 양자 수]]
* [[윌슨 고리]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:대수적 위상수학]]