갈루아 확대 문서 원본 보기

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[[갈루아 이론]]에서 '''갈루아 확대'''(Galois擴大, {{llang|en|Galois extension}})는 [[갈루아 군]]이 잘 정의될 수 있는 [[체의 확대]]이다.

== 정의 ==
'''갈루아 확대'''는 다음 세 조건을 만족시키는 [[체의 확대]]이다.
* [[대수적 확대]]이다.
* [[정규 확대]]이다. 즉, [[기약 다항식]] <math>p\in K[x]</math>의 근 가운데 적어도 하나가 <math>L</math>에 포함된다면, <math>p</math>의 모든 근들이 <math>L</math>에 포함된다.
* [[분해 가능 확대]]이다. 즉, 모든 <math>a\in L</math>에 대한 [[최소 다항식]]의 각 [[기약 다항식|기약 인자]]들의 근들이 서로 겹치지 않는다.

== 성질 ==
[[유한 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이 정리는 [[에밀 아르틴]]이 증명하였다.
* <math>L/K</math>는 갈루아 확대이다.
* <math>L/K</math>는 [[정규 확대|정규]] [[분해 가능 확대]]이다.
* <math>L</math>은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해 가능한) 어떤 다항식 <math>p\in K[x]</math>의 [[분해체]]이다.
* <math>[L:K]=|\operatorname{Aut}(L/K)|</math>이다. 즉, 체의 확대의 차수 <math>[L:K]=\dim_KL</math>는 체의 확대의 [[자기동형군]]의 크기와 같다.

== 예 ==
[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>의 확대들을 생각하자.
* <math>\mathbb Q(\sqrt2)</math>는 갈루아 확대이다.
* <math>\mathbb Q(\sqrt[3]2)</math>는 [[정규 확대]]가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 <math>x^3-2\in\mathbb Q[x]</math>의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함한다.
* <math>\mathbb Q(\pi)</math>는 [[대수적 확대]]가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 [[원주율]] <math>\pi</math>가 [[초월수]]이기 때문이다.
(유리수체는 [[완전체]]이므로, 유리수의 모든 [[대수적 확대]]는 [[분해 가능 확대]]이다.)

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| 이름=Jörg |성=Bewersdorff | title=Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective| url=https://archive.org/details/galoistheoryforb0000bewe | publisher=American Mathematical Society | year=2006 | isbn=0-8218-3817-2 | 언어=en}}
* {{서적 인용| last=Lang | first=Serge | authorlink=서지 랭| title=Algebraic Number Theory | publisher=Springer-Verlag  | isbn=978-0-387-94225-4 | 날짜=1994 | 언어=en }}
* {{서적 인용|이름=Joseph |성=Rotman | title=Galois Theory|판=2판| publisher=Springer| 날짜=1998 | isbn=0-387-98541-7 | 언어=en}}
* {{서적 인용| last=Völklein | first=Helmut | title=Groups as Galois groups: an introduction | url=https://archive.org/details/groupsasgaloisgr0000volk | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-56280-5 | year=1996 | 언어=en}}
* {{저널 인용| first= H. Gray | last=Funkhouser | title=A short account of the history of symmetric functions of roots of equations | 저널=American Mathematical Monthly | year=1930 | volume= 37 | issue=7 | pages=357–365 | doi=10.2307/2299273 | jstor= 2299273 | 언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Galois theory|first=M.M.|last=Postnikov}}
* {{eom|title=Galois extension}}
* {{매스월드|id=GaloisExtensionField|title=Galois extension field}}
* {{nlab|id=Galois extension}}

[[분류:갈루아 이론]]
[[분류:대수적 수론]]