갈루아 이론 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''갈루아 이론'''(Galois理論, {{llang|en|Galois theory}})은 [[체의 확대]]를 그 [[자기동형군]]을 통해 연구하는 이론이다. [[체의 확대]] 가운데 [[갈루아 확대]]들은 그 자기동형군에 의하여 완전히 결정되며, 이 경우 자기동형군을 [[갈루아 군]]이라고 한다.

== 전개 ==
갈루아 이론은 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 [[갈루아 확대]]를 다룬다. 가장 큰 갈루아 확대는 [[분해 가능 폐포]] <math>K^{\operatorname{sep}}</math>이며, 모든 갈루아 확대는 <math>K^{\operatorname{sep}}</math>의 부분 확대이다.

갈루아 확대 <math>L/K</math>에 대하여, 그 부분 확대들의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Sub}(L/K)</math> 및 갈루아 부분 확대들의 격자
:<math>\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)\subset\operatorname{Sub}(L/K)</math>
를 정의할 수 있다. 또한, [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>는 [[사유한군]]
:<math>\operatorname{Gal}(L/K)=\varprojlim_{M\in\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)}^{[M:K]<\aleph_0}\operatorname{Gal}(M/K)</math>
이므로, 사유한 위상을 주어 [[위상군]]으로 만들 수 있다. 갈루아 군의 사유한 위상을 '''크룰 위상'''({{llang|en|Krull topology}})이라고 한다. 그렇다면, <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>의 [[닫힌 집합|닫힌]] [[부분군]]들의  [[격자 (순서론)|격자]]
:<math>\operatorname{Sub}(\operatorname{Gal}(L/K))</math>
및 닫힌 [[정규 부분군]]들의 격자
:<math>\operatorname{Sub}_{\vartriangleleft}(\operatorname{Gal}(L/K))\subset\operatorname{Sub}(\operatorname{Gal}(L/K))</math>
를 정의할 수 있다.

'''갈루아 이론의 기본 정리'''({{llang|en|fundamental theorem of Galois theory}})에 따르면, 다음과 같은 [[격자 (순서론)|격자]]의 [[동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{Sub}(L/K)\cong\left(\operatorname{Sub}(\operatorname{Gal}(L/K)\right)^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)\cong\left(\operatorname{Sub}_{\vartriangleleft}(\operatorname{Gal}(L/K)\right)^{\operatorname{op}}</math>
또한, 둘째 동형사상은 첫째 동형사상의 국한이다. 이 동형사상을 '''갈루아 접속'''({{llang|en|Galois connection}})이라고 하며, 구체적으로
:<math>\operatorname{Aut}(L/\cdot)\colon\operatorname{Sub}(L/K)\to\left(\operatorname{Sub}(\operatorname{Gal}(L/K)\right)^{\operatorname{op}}</math>
:<math>M\mapsto\operatorname{Aut}(L/M)</math>
에 의하여 주어진다. 또한, 모든 <math>K\subset M'\subset M\subset L</math>에 대하여
:<math>[M:M']=|\operatorname{Aut}(L/M'):\operatorname{Aut}(L/M)|</math>
이다.

=== 절대 갈루아 이론 ===
모든 갈루아 확대는 [[분해 가능 폐포]] <math>K^{\operatorname{sep}}</math>의 부분 확대이므로, 모든 갈루아 군은 분해 가능 폐포의 갈루아 군
:<math>\operatorname{Gal}(K)=\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)</math>
의 부분군이다. 이를 '''절대 갈루아 군'''({{llang|en|absolute Galois group}})이라고 한다.

== 예 ==
=== 아벨 갈루아 군의 예 ===
유리수체의 [[갈루아 확대]] <math>\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)</math>을 생각해 보자. 이 확대의 [[갈루아 군]]은 [[클라인 4원군]]이다.
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q)\cong\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2\cong\langle f,g|[f,g],f^2,g^2\rangle</math>
이 경우, 두 생성원 <math>f,g</math>는 <math>\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)</math>에 다음과 같이 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>f\colon a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6\mapsto  a-b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt2\sqrt3</math>
:<math>g\colon a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6\mapsto  a+b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt2\sqrt3</math>
이 경우, 부분 확대들의 격자와 갈루아 군의 부분군의 반대 격자는 다음과 같다. 두 격자가 서로 [[동형]]인 것을 알 수 있다.
:[[파일:Lattice diagram of Q adjoin the positive square roots of 2 and 3, its subfields, and Galois groups.svg]]

=== 비아벨 갈루아 군의 예 ===
갈루아 군이 아벨 군이 아닌 가장 단순한 경우는 다음과 같다. <math>\theta^3=2</math>이며 <math>\omega^3=1</math>이라고 하자. 그렇다면 갈루아 확대 <math>\mathbb Q(\theta,\omega)</math>의 [[갈루아 군]]은 3차 [[대칭군 (군론)|대칭군]]과 [[동형]]이며, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\theta,\omega)/\mathbb Q)=\{1,f,f^2,g,gf,gf^2\}\cong\operatorname{Sym}(3)</math>
이 경우, 두 생성원의 작용은 다음과 같다.
:<math>f\colon\theta\mapsto\omega\theta,\quad\omega\mapsto\omega</math>
:<math>g\colon\theta\mapsto\theta,\quad\omega\mapsto\omega^2</math>
이 경우, 부분 확대들의 격자와 갈루아 군의 부분군의 반대 격자는 다음과 같다.
:[[파일:Lattice diagram of Q adjoin a cube root of 2 and a primitive cube root of 1, its subfields, and Galois groups.svg]]
여기서 갈루아 확대들은 <math>\mathbb Q</math>, <math>\mathbb Q(\omega)</math>, <math>\mathbb Q(\theta,\omega)</math>이며, 이들은 갈루아 군의 [[정규 부분군]]에 대응한다. 나머지 확대들은 [[분해 가능 확대]]이지만 [[정규 확대]]가 아니므로 갈루아 확대가 아니며, 이에 대응하는 부분군들은 [[정규 부분군]]이 아닌 부분군이다.

== 응용 ==
=== 방정식의 대수적 해의 존재 ===
갈루아 이론을 통해, 방정식을 거듭 제곱근만을 사용하여 풀 수 있는지 결정할 수 있다. 역사적으로, 갈루아 이론은 이 문제를 해결하기 위해 도입되었다.

유리수체에 대한 다항식 <math>p\in\mathbb Q[x]</math>을 풀 수 있는지 여부는 그 [[분해체]] <math>\mathbb Q[x]/(p)</math>의 구조를 분석하여 알 수 있다. 체 <math>K</math>에 거듭 제곱근 <math>\sqrt[p]a</math>를 추가하여 확장시키는 경우, 그 [[갈루아 군]]은 [[순환군]] <math>\mathbb Z/(p)</math>이다. 즉, 거듭 제곱근을 계속하여 추가하여 얻는 [[체의 확대]]는 그 [[갈루아 군]]을 일련의 [[아벨 군]]들로 분해할 수 있는 경우다. 이렇게, 아벨 군들로 분해할 수 있는 군을 [[가해군]]이라고 하며, 다항식의 근을 거듭 제곱근으로 나타낼 수 있는지 여부는 그 다항식이 [[가해군]]인지와 [[동치]]이다.

유리수체에 대하여, 일반적인 (즉, 해가 겹치지 않는) <math>n</math>차 다항식의 분해체의 [[갈루아 군]]은 <math>n</math>차 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>이다. <math>n\le 4</math>일 경우 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 [[가해군]]이지만, <math>n\ge5</math>일 경우 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 [[가해군]]이 아니다. 즉, 일반적인 5차 이상의 방정식의 근은 거듭제곱근만으로 나타낼 수 없다. 이를 '''아벨-루피니 정리'''({{llang|en|Abel–Ruffini theorem}})라고 한다. 그러나 특수한 5차 이상 방정식의 경우 그 분해체의 갈루아 군이 [[가해군]]일 수 있으며, 이 경우 거듭제곱근으로 풀 수 있다.

=== 작도 가능성 ===
{{본문|작도 가능한 수}}
고전 기하학의 [[작도]]는 오직 직선과 [[원]]만을 사용한다. 원은 이차 곡선이므로, 이는 이차 방정식을 푸는 것과 같다. 기약 이차 방정식의 근을 추가하는 확대는 차수가 2인 확대이므로, 고전적 작도로서 작도할 수 있는 두 선분의 길이의 비는 항상 유리수체의 이차 확대들
:<math>\mathbb Q=K_0\subset K_1\subset K_2\subset\cdots\subset K_n</math>
:<math>[K_{i+1}/K_i]=2</math>
가운데 하나에 속해야 한다. 이러한 수를 [[작도 가능한 수]]라고 한다.

이를 사용하여, 여러 고전적 작도 문제의 (불)가능성을 쉽게 보일 수 있다. 예를 들어, [[입방 배적 문제]]는 <math>\sqrt[3]2</math>가 작도 가능한지 여부인데,
:<math>\mathbb Q(\sqrt[3]2)=\mathbb Q\oplus\sqrt[3]2\mathbb Q\oplus\sqrt[3]4\mathbb Q</math>
이므로
:<math>[\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3</math>
이며, 따라서 <math>\sqrt[3]2</math>는 작도할 수 없다.

마찬가지로, [[원적 문제]]는 <math>\sqrt\pi</math>가 작도 가능한지 여부를 묻는다. [[원주율]]은 [[초월수]]이므로, <math>\sqrt\pi</math> 역시 초월수이다. (이는 두 [[대수적 수]]의 곱은 대수적 수이기 때문이다.) 따라서 [[원적 문제]]는 풀 수 없다.

[[각의 3등분]] 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다. 구체적으로, 60도 각은 작도 가능하지만, 그 3등분인 20도 각은 작도 가능하지 않다. 이는 <math>\cos20^\circ</math>가 [[작도 가능한 수]]가 아니라고 말하는 것과 같다. 구체적으로, [[삼각 함수]]의 [[세배각 공식]]
:<math>\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta</math>
을 생각하자. 여기에 <math>\theta=60^\circ</math>를 대입하면
:<math>1/2=4\cos^320^\circ-3\cos20^\circ</math>
을 얻는다. 즉, <math>\cos20^\circ</math>는 3차 방정식 <math>4x^3-3x-1/2=0</math>의 해이다. 이는 기약 3차 방정식이다. 실제로, <math>x=(y+1)/2</math>와 같이 치환하면 이는 <math>y^3+3y^2-3=0</math>이 되는데, [[아이젠슈타인 판정법]]에 의하여 좌변은 기약 다항식이다. 즉,
:<math>[\mathbb Q(\cos20^\circ):\mathbb Q]=3</math>
이다.

== 역사 ==
프랑스의 수학자 [[에바리스트 갈루아]]가 제창하였다. 갈루아는 유한 차수 갈루아 확대의 경우, [[치환군]]을 이용해서 주어진 [[방정식]]의 다양한 해들이 서로 어떻게 대응되는가를 기술하였고, 이 과정에서 [[군 (수학)|군]]의 개념을 도입하였다.

이후 갈루아 이론은 [[리하르트 데데킨트]], [[레오폴트 크로네커]], [[에밀 아르틴]] 등에 의해 추상화되었고, 무한한 차수의 갈루아 확대의 경우가 [[사유한군]] 이론의 도입으로 완성되었다. [[알렉산더 그로텐디크]]는 갈루아 이론을 [[대수기하학]]을 사용하여 임의의 [[스킴 (수학)|스킴]]의 [[에탈 기본군]]에 대한 이론으로 일반화시켰다.

== 같이 보기 ==
* [[갈루아군]]
* [[절대 갈루아 군]]
* [[갈루아 모듈]]
* [[가해군]]

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* {{서적 인용|제목= 열세 살 딸에게 가르치는 갈루아 이론|저자=김중명|출판사=승산|isbn=978-896139052-1|날짜=2013|기타=김슬기·신기철 역|언어=ko}}
** {{서적 인용|제목=13歳の娘に語る ガロアの数学|저자=金 重明|출판사=[[이와나미 쇼텐|岩波書店]]|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/X/0052110.html|isbn=978-4-00-005211-5|날짜=2011-07-28|언어=ja|확인날짜=2014-11-14|보존url=https://web.archive.org/web/20141219005922/http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/X/0052110.html#|보존날짜=2014-12-19|url-status=dead}}
* {{서적 인용| 이름=Emil|성=Artin | title=Galois Theory | publisher=Dover | 날짜=1998 | isbn=0-486-62342-4 | authorlink=에밀 아르틴|언어=en}}
* {{서적 인용| 이름=Jörg|성=Bewersdorff | title=(초보자를 위한) 갈루아 이론| publisher= 경문사| 날짜=2015 | isbn=978-89-6105-921-3|언어=ko}} 원저자료: {{서적 인용| 이름=Jörg|성=Bewersdorff | title=Galois theory for beginners: a historical perspective| publisher=[[미국 수학회|American Mathematical Society]] | 날짜=2006 | isbn=0-8218-3817-2|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=STML-35|zbl=1114.12002|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Harold M.|성=Edwards| title=Galois theory | publisher=Springer | 총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=101| 날짜 = 1984 | isbn=978-0-387-90980-6|url=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-90980-6|언어=en}}
* {{서적 인용| last=Lang | first=Serge | authorlink=서지 랭 | title=Algebraic number theory | publisher=Springer | isbn=978-0-387-94225-4 | 날짜=1994 |언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Mikhail Mikhailovich|성=Postnikov | title=Foundations of Galois theory | publisher=Dover | 날짜 = 2004 | isbn=0-486-43518-0|mr=2043554 |기타= Ann Swinfen 역|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Joseph|성=Rotman | title =Galois theory|판=2판| publisher=Springer| 날짜=1998 | isbn= 978-0-387-98541-1|doi=10.1007/978-1-4612-0617-0|기타=Universitext|issn=0172-5939|zbl=0924.12001|언어=en}}
* {{서적 인용| last=Völklein | first=Helmut | title=Groups as Galois groups: an introduction | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-56280-5 | 날짜=1996 | zbl=0868.12003 | 총서= Cambridge Studies in Advanced Mathematics | 권=53|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Galois theory for beginners|이름=John|성=Stillwell|doi=10.2307/2325119|jstor=2325119|저널=The American Mathematical Monthly|권=101|호=1|날짜=1994-01|issn=0002-9890|mr=1252701|쪽=22–27|zbl=0803.12002|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|저자=이상구|url=http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html|제목=Galois 이론|출판사=성균관대학교|날짜=2000}}
* {{수학노트|title=갈루아 이론}}
* {{eom|title=Galois theory}}
* {{eom|title=Galois theory, inverse problem of}}
* {{매스월드|id=FundamentalTheoremofGaloisTheory|title=Fundamental theorem of Galois theory}}
* {{매스월드|id=GaloisTheory|title=Galois theory}}
* {{nlab|id=Galois theory}}
* {{웹 인용|url=http://nrich.maths.org/1422|제목=An introduction to Galois theory|이름=Dan|성=Goodman|웹사이트=NRICH|출판사=Cambridge University|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:갈루아 이론| ]]