각 (수학) 문서 원본 보기

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[[파일:Vertex-ray001.svg|섬네일|시초선에서 동경까지 반시계방향으로 벌어진 정도를 각도라 한다]]
기하학에서, '''각'''(角 {{llang|en|angle}})은 같은 끝점을 갖는 두 [[반직선]]이 이루는 도형이다. 이 끝점을 각의 '''꼭짓점'''(-點, {{llang|en|vertex}})이라고 하며, 두 반직선을 각의 '''변'''(邊, {{llang|en|side}})이라고 한다. 각의 두 변이 벌어진 정도, 즉 각의 크기를 나타내는 양을 '''각도'''(角度)라고 한다. 엄밀하게 말하면, 시초선에서 동경까지 시계 반대방향으로 벌어진 정도이다. 보통 각이라고 하면 평면상에서 정의되는 것을 말하지만 3차원 공간에서 말하는 [[입체각]]도 정의할 수 있다.

== 종류 ==
기하학에서  각(角, angle)은 [[평면]]상의 두 [[직선]]이 서로 만나 교차를 이룰 때 그 두 직선들이 서로에 대해 벌어진 정도를 각이라 하고 이러한 각의 크기를 각도(角度)라고 부른다.<ref>(유클리드 기하학 원론 1권 정의 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc ([[구텐베르크 프로젝트]],John Casey, [[퍼블릭 도메인]])</ref>

그러나 이러한 엄격한 정의에 의한다면 두 직선이 서로 한 직선상에서 일치하지 않는 한 교차되는 각은 서로 양쪽으로 2개씩의 각이 생겨 항상 4개가 나타나게되므로 [[좌표평면]]상의 0점을 기준으로 끝점을 갖는 두 [[반직선]]을 가정하여 단 하나의 각을 갖는 경우를 가정할 수 있다.
이것은 두 직선의 각 끝점들 중 같은 방향의 끝점들이 한 점에서 만나게 되는 것을 의미한다.<ref>(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/Angle.html</ref>

이처럼 각은 평면 상의 두 직선들이 서로에 대해 기울어진 정도를 표현한 것이지만 좌표평면 상의 x, y[[축]] 이외에 z축 등의 증가를 추가적으로 설정함으로써 [[3차원]] 같은 [[입체각]]이 깊이나 또다른 성질을 표현하도록 가정할 수도 있다. 

=== 크기에 따른 각 ===
* [[직각]](直角, right angle)
* [[둔각]](鈍角, obtuse angle)
* [[예각]](銳角, acute angle)
* [[평각]](平角, straight angle)
* [[요각]](凹角, reentering angle): 180도보다 크고 360도보다 작은 각
* [[철각]](凸角, convex angle): 180도보다 작은 각
* 빗각(-角, =사각(斜角), 빗긴각, oblique angle): 예각 또는 둔각처럼 직각이나 평각이 아닌 경사(기울기)가 있는 각으로 예각 또는 둔각 등이 이에 해당한다.
* 바퀴(Turn (geometry)): 360도
* 주각(周角, round angle): [[다각형]] 둘레의 각

=== 직선의 교차로 이루어지는 각 ===
[[파일:Reflex angle.svg|100px]]
* 우각(優角, reflex angle, major angle): 예를 들면 한 [[점]]에서 나오는 두 [[반직선]]이 이루는 [[각도|각]]에서 보다 큰 쪽의 각인 바깥쪽 각을 우각이라고 부른다.<ref>{{웹 인용|url=https://stdict.korean.go.kr/search/searchView.do?word_no=249189&searchKeywordTo=3|제목=우각|웹사이트=[[표준국어대사전]]|출판사=[[국립국어원]]|확인날짜=2020-09-14}}</ref> 이때 안쪽을 이루는 각은 [[평각]]보다 작기에 우각은 180도보다 크다.

* 열각(劣角, minor angle):  예를 들면 한 [[점]]에서 나오는 두 [[반직선]]이 이루는 [[각도|각]]에서 보다 작은 쪽의 각인 안쪽 각을 열각이라고 한다.
* 여각(餘角, complementary angle): [[예각]]에 대해, 더하여 [[직각]]이 되는 각은 그 [[예각]]의 여각(complementary angle)이라고 한다.
* 보각(補角, supplementary angle): [[평각]]보다 작은 각도를 가지는 각에 대해, 더하여 평각이 되게 하는 각을 보각(supplementary angle)이라고 한다.
* 공액각(共軛角, explementary angle): 서로 더하여 [[원둘레]] 360도를 이루는 각들에 대해서 공액각이라 한다.
* [[맞꼭지각]](=대정각(對頂角))
* 끼인각(--角, =협각(夾角), contained angle)=사잇각: [[예각삼각형]], [[내행성과 외행성]]의 [[공전궤도]], [[원뿔곡선]] 등에서 다루어진다.
* 교각(交角, =만난각, angle of intersection): 두 직선이 만나 서로의 [[선분]]을 양분함으로써 각도가 생긴다.

[[파일:Vertical Angles.svg]]
* [[동위각]](同位角)=등위각
* [[엇각]](alternate angles)

=== 도형에서 이루어지는 각 ===
* [[내각과 외각|내각]](內角, =안각, interior angle)
* [[내각과 외각|외각]](外角, =밭각, exterior angle)
* 대각(對角, opposite angle): 서로 마주보는 각으로 대칭각, 맞각, 맞모, 맞선각, 맞은각으로도 불린다<ref>{{웹 인용|url=https://stdict.korean.go.kr/search/searchView.do?word_no=79643&searchKeywordTo=3|제목=대각|웹사이트=[[표준국어대사전]]|출판사=[[국립국어원]]|확인날짜=2020-09-14}}</ref>, 특히 [[다각형]] 내에서 한 각 또는 한 변과 서로 마주 대하여 있는 각
* 내대각(內對角, =안맞각, interior opposite angle): [[삼각형]] 등에서 한 외각에 대하여 이웃각(인접한 내각)이 아닌 다른 내각들
* 밑각(-角, base angle): [[등변사다리꼴]], [[이등변삼각형]]의 성질에서 다루어진다.
* 이웃각(--角, adjacent angles, =인접각): [[내각과 외각]]의 성질 등에서 다루어진다.
* [[이면각|평면각]](平面角, =이면각, plane angle)
* 다면각(多面角, polyhedral angle): [[다면체]]에서 나타나는 각

=== 원에서 성립하는 각 ===
* 원주각(圓周角, =원둘레각): [[원 (기하학)|원]]의 원주 즉 [[원둘레]] 위의 한 점에서 그은 두 개의 [[현 (기하학)|현]]이 만드는 각으로 그 크기는 중심각의 <math>{{1}\over{2}}</math>이다.
* 중심각(中心角, central angle)-원의 두 반지름이 만드는 각 또는 그러한 각을 갖는 도형의 각
* 꼭지각(--角, =정각(頂角), vertical angle)
* 구면각(球面角, spherical angle, =공면각)

== 특수각과 일반각 ==
* 특수각은  [[삼각함수]]에서  나타나는 0˚, 15˚, 30˚, 45˚, 60˚, 75˚, 90˚를 가리키며  이로 인해 [[단위원]]상에서 [[정삼각형]], [[정사각형]] 등을 사용해  그 삼각비를 유도하여 얻을 수 있다. 이러한 특별한 각들인 특수각들은 삼각함수등에서 매우 중요한 성질을 갖는다. 

단위원상에서 0˚,30˚, 45˚, 60˚, 90˚을 내각으로 갖는 [[정삼각형]], [[이등변삼각형]], [[정사각형]]은  아래와 같이 0˚,30˚, 45˚, 60˚, 90˚와 그의 주기적인 각도 120˚,135˚,150˚,180˚,....등에서 삼각함수를 얻게 해주기에 특별한 각으로 불린다. 그리고 15˚와 75˚는 [[삼각함수의 덧셈정리]]로 유도할 수 있다.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! 특수각 !! 사인 !! 코사인 !! 탄젠트
|-
! 0˚
|| <math>0</math> || <math>1</math> || <math>0</math>
|-
! 15˚
| <math>{{\sqrt6-\sqrt2} \over{4}}</math> ||<math>{{\sqrt6+\sqrt2} \over{4}}</math>|| <math>2-\sqrt3</math>
|-
! 30˚
|| <math>{{1} \over{2}}</math> || <math>{{\sqrt3} \over{2}}</math> || <math>{{1} \over{\sqrt3}}</math>
|-
! 45˚
|| <math>{{\sqrt2} \over{2}}</math> || <math>{{\sqrt2} \over{2}}</math> || <math>1</math>
|-
! 60˚
|| <math>{{\sqrt3} \over{2}}</math> || <math>{{1} \over{2}}</math> || <math>\sqrt3</math>
|-
! 75˚
| <math>{{\sqrt6+\sqrt2} \over{4}}</math> ||<math>{{\sqrt6-\sqrt2} \over{4}}</math>|| <math>2+\sqrt3</math>
|-
! 90˚
|| <math>1</math> || <math>0</math> || <math>\infty</math>
|}

<table>
<tr>
<td>
:원점에서 60˚를 갖는 [[이등변삼각형]]의 성질을 이용하여
:원에 내접하는 정삼각형과 [[피타고라스의 정리]]로부터 얻어지는
: 삼각함수의 예
:[[파일:Equilateral-triangle001.svg|left|200px]]
</td>
<td>
::0˚와 90˚에서의 삼각함수 값
:[[파일:Sincos-theta0-90-001.svg|200px]]
</td>
</tr>
</table>
* 일반각은  임의의 [[반직선]]을 기준선(축)으로해서 그것과 원점을 [[꼭지점]]으로 공유하는 또다른 반직선(동경 선)이 이루는 각 또는 이러한 각과 그 동경선의 회전으로 얻어진 각을 합하여 나타내는 각을 가리킨다. 일반각은 360˚n+α(n은 원둘레 회전횟수 ,α는 각도, [[라디안|호도법]]으로는 2πn+α)처럼 표현된다.

<table>
<tr>
<td>
:[[파일:Vertex-ray001.svg|left|200px]]
</td>
<td>
</td>
</tr>
</table>

== 단위 ==
* '''[[도 (각도)|도]]'''(degree): 기호는 ˚이며 한 회전을 360등분한 것이다.
* '''[[분 (각도)|분]]'''(minute): 기호는 '이며 1도를 60등분한 것이다.
* '''[[초 (각도)|초]]'''(second): 기호는 "이며 1분을 60등분한 것이다.
* '''[[라디안]]'''(radian, rad): 기호는 보통 쓰지 않으며 부채꼴의 [[호]]와 [[반지름]]의 비이다.
* '''[[스테라디안]]'''(steradian,sr), '''[[스테라디안|평방라디안]]'''(square radian, rad²): 입체각의 단위로, [[구 (기하학)|구]]의 일부의 둥근 부분의 넓이와 반지름의 제곱의 비이다.
*'''[[평방도]]'''(square degree, deg², (°)²):입체각의 단위.
이들 사이의 환산 관계는 다음과 같다.
:<math>   {{\pi}\over {180}} =1 ^{\circ}</math>
:<math> { {360^{\circ}} \over {2 \pi} }=1 </math>
: ({{sfrac|{{pi}}|180}})²sr =1(°)²
: {{sfrac|32400|{{pi}}²}}deg²=1rad²

== 특징 ==
* 유클리드 평면에 있는 삼각형의 내각의 합은 <math>180^\circ</math>이다.
* 유클리드 평면에 있는 n각형의 내각의 합은 <math>(n-2)180^\circ</math>이다.

두 직선이 평행할 때, 동위각의 크기는 같다.

두 직선이 평행할 때, 엇각의 크기는 같다.

동측내각의 합은 180°이다.

== 기타 용어 ==
* [[경사 (지리)|경사각]](傾斜角, tilt angle): 기울기(경사)가 있는 각도
* 고각(高角, =올려본각, 앙각(仰角) altitude, high[wide, vertical] angle): [[회화]]나 [[사진술|카메라 촬영]] 등에서 다루어진다.
* 광각(光角, optic angle): [[광각막염]]
* 광각(廣角, wide-angle): [[광각 렌즈]], [[광각 X선 산란]]
* 광축각(光軸角, optic angle)
* 굴절각(屈折角, refracting angle): [[입사각]]이나 [[분산 (광학)|분산]]에서 거론된다.
* 면각(面角, face angle)
* [[반사각]](反射角)
* [[방향각]](方向角, direction angle)
* 복각(伏角, dip, inclination)
* 부각(俯角, =내려본각, dip, angle of depression[declination]): [[회화]]나 [[사진술|카메라 촬영]] 등에서 다루어진다.
* 사각(死角, dead angle): [[사각지대 경고 장치]]에서처럼 시야에서 가리워져 보이지 않는 영역을 사각지대라고 칭한다.
* 상반각(上反角, dihedral angle)
* 시각(視角, visual angle): [[위키낱말사전]] [[wikt:시각|시각]]<sup>3</sup> 참조
* 시각(時角, hour angle): [[위키낱말사전]] [[wikt:시각|시각]]<sup>1</sup> 참조
* 시차(視差, parallax): [[시차 (천문학)]]
* 실속각(失速角)
* 안면각(顔面角, facial angle)
* 영각(迎角, =날개각, angle of incidence[attack], attck angle) = [[받음각]]
* 위상각(位相角, phase angle): [[동기전동기#위상각|위상각]]
* 임계각(臨界角, =한계각, critical angle): [[전반사]] 또는 [[오각프리즘]] 등에서 거론된다.
* [[입사각]](入射角, =투사각)
* 자오각(子午角, meridian angle)
* 조각(照角, glancing angle)
* 착륙각(着陸角, landing angle)
* 편각(偏角, polar angle): [[편각 (수학)]]
* 하반각(下反角)
* 행성 시각(時角, sidereal hour angle)
* 활공각(滑空角, glide slope, gliding angle): [[활공각 지시기]] 및 [[수평자세 지시계]] 등에서 다루어진다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[도 (각도)|도]]
* [[각도기]]
* [[컴퍼스]]
* [[호 (기하학)|호]]
* [[호도법]]
* [[삼각함수]]
* [[입체각]]
* [[스테라디안]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:각| ]]
[[분류:초등 기하학]]