각체바 정리 문서 원본 보기

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'''각체바 정리'''란, [[체바 정리]]를 각에 대하여 표현한 정리이다. 그러므로 체바 정리의 삼각함수 형태라고 할 수 있다.

즉, AD, BE, CF가 한 점에서 만나면 다음 등식을 만족한다는 정리이다.

<math>\frac{\sin\angle{BAD}}{\sin\angle{CAD}}*\frac{\sin\angle{CBE}}{\sin\angle{ABE}}*\frac{\sin\angle{ACF}}{\sin\angle{BCF}}=1</math>

각체바 정리의 역 역시 성립한다.

== 증명 ==

두 삼각형 ABD와 ACD의 비는 

<math>\frac{BD}{CD}=\frac{\triangle{ABD}}{\triangle{ACD}}=\frac{AB\sin{\angle{BAD}}}{AC\sin{\angle{CAD}}}</math>

마찬가지로

<math>\frac{CE}{AE}=\frac{BC\sin{\angle{CBE}}}{BA\sin{\angle{ABE}}}</math>

<math>\frac{AF}{BF}=\frac{CA\sin{\angle{ACF}}}{CB\sin{\angle{BCF}}}</math>

이 성립한다.

위의 세 식을 모두 곱하면,

<math>\frac{BD}{DC}*\frac{CE}{EA}*\frac{AF}{FB}=\frac{\sin\angle{BAD}}{\sin\angle{CAD}}*\frac{\sin\angle{CBE}}{\sin\angle{ABE}}*\frac{\sin\angle{ACF}}{\sin\angle{BCF}}</math>

[[체바 정리]]에 의하여 AD, BE, CF가 한 점에서 만남은 위의 식의 값이 1임과 동치이므로,

각 체바 정리를 얻을 수 있다.

{{토막글|기하학}}

[[분류:기하학]]