각지름 거리 문서 원본 보기

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[[천문학]]에서 '''각지름 거리'''는 물체의 물리적 크기 <math>x</math>, 및 지구에서 볼 때의 [[시직경|각지름]] <math>\theta</math>에 의하여 아래와 같이 정의되는 거리이다.

: <math>d_A= \frac{x}{\theta}</math>

각지름 거리는 [[물리 우주론|우주]]에 대하여 가정되는 우주론에 따라 상이하게 된다. [[적색편이]] <math> z </math>를 가지는 천체에 대한 각지름 거리는 공변 거리 <math> r </math> 에 의하여 아래와 같이 표현된다.
: <math>
d_A = \frac{S_k(r)}{1+z}
</math>

여기서 <math> S_k(r)</math>는 다음과 같이 정의되는 FLRW 좌표이다.

: <math>
S_k(r) = \begin{cases}
\sin \left( \sqrt{-\Omega_k} H_0 r \right)/\left(H_0\sqrt{|\Omega_k|}\right) & \Omega_k < 0\\
r & \Omega_k=0 \\
\sinh \left( \sqrt{\Omega_k} H_0 r\right)/\left(H_0\sqrt{|\Omega_k|}\right) & \Omega_k >0
\end{cases}
</math>

여기서 <math> \Omega_k </math>는 곡률 밀도이고 <math> H_0 </math>는 현재의 [[허블-르메트레 법칙|허블 상수]] 값이다.

우주에 대하여 [[ΛCDM 모형|현재 선호되는 기하학적 모델]]에서 물체의 "각지름 거리"는 "실제 거리", 즉 빛이 천체를 떠났을 때의 [[고유거리]]에 대한 좋은 근사값이다.

== 각크기와 적색편이 관계 ==
[[파일:Angular-size-redshift-relation.png|섬네일| [[ΛCDM 모형|람다]] [[물리 우주론|우주론]]에 따른 각크기와 적색편이의 관계. 수직축은 각초(arcsec)당 킬로파섹.]]
[[파일:Distanza_di_diametro_angolare.png|섬네일| 메가파섹의 수직축 스케일에서 [[ΛCDM 모형|람다 우주론]]에 따른 각크기와 적색편이의 관계.]]
'''각크기 적색편이 관계'''는 주어진 물리적 크기의 물체의 하늘에서 관찰된 각크기와 [[지구]]로부터 [[적색편이|천체의 적색편이]](이는 지구로부터의 거리 <math> d </math>에 따른다)사이의 관계를 설명한다. [[유클리드 기하학]]에서 하늘에서의 크기와 지구로부터의 거리 사이의 관계는 다음 방정식으로 간단히 주어진다.

: <math> \tan\left ( \theta \right )= \frac{x}{d} </math>

여기서 <math> \theta </math>는 천체의 각 크기이고, <math> x </math>는 천체의 크기, <math> d </math>는 천체까지의 거리이다. <math> \theta </math>가 작을 때 이 식은 다음 식으로 근사할 수 있다.

: <math> \theta \approx \frac{x}{d} </math> .

그런데 [[ΛCDM 모형|ΛCDM 모델]] (현재 선호되는 우주론)에서는 관계가 더 복잡해진다. 이 모델에서 [[적색편이|적색 편이]]가 1.5보다 큰 천체는 [[적색편이|적색 편이]]의 증가에 따라 하늘에서 더 크게 보인다.

이것은 각지름 거리와 관련이 있으며, 이는 <math> \theta </math>와 <math> x </math> 값으로부터 우주가 [[유클리드 공간|유클리드]] 공간으로 가정한 경우에 계산되는 거리이다.

[[매티그 공식|매티그 관계]](Mattig relation)에서는 각지름 거리 <math>d_A</math> 값을 Ω<sub>Λ</sub> = 0인 우주에 대한 적색편이 ''z'' 의 함수로 산출한다.<ref>{{서적 인용|제목=An Introduction to the Science of Cosmology|url=https://archive.org/details/introductiontosc0000rain|성=Derek Raine|성2=E.G. Thomas|연도=2001|출판사=CRC Press|쪽=[https://archive.org/details/introductiontosc0000rain/page/n115 102]|장=Chapter 6:2|isbn=978-0-7503-0405-4}}</ref> <math>q_0</math>는 우주 팽창 속도의 감속을 측정하는 감속 매개변수의 현재 값이다. 가장 단순한 모델에서 <math>q_0<0.5</math>는 우주가 영원히 팽창하는 경우에 해당하며, <math>q_0>0.5</math>는 궁극적으로 확장을 중단하고 수축하는 폐쇄형 모델에, <math>q_0=0.5</math>는 임계 상태 즉 우주가 재수축없이 무한히 팽창하는 우주에 해당한다.

: <math>d_A=\cfrac{c}{H_0 q^2_0} \cfrac{(zq_0+(q_0 -1)(\sqrt{2q_0 z+1}-1))}{(1+z)^2}</math>

=== 전환점 <math>z_t</math> ===
각지름 거리 <math>d_A</math>는 [[적색편이]] <math>z=z_t</math> (ΛCDM 모델에서 이것은 <math>z_t \approx 1.5</math> )에서 최대값에 도달하는데, <math> d_A(z) </math>의 기술기가 <math> z=z_t</math> 지점에서 그 부호가 바뀌어 즉, <math> \partial_z d_A > 0 ~ \forall z<z_t</math>, <math> \partial_z d_A < 0 \forall z>z_t </math> 가 된다. 그래프를 그렸을 때의 모양을 참조하여, <math>z_t</math>를 전환점(turnover point)이라고도 한다. 실제로 전환점은 적색편이가 증가하는 물체(따라서 점점 멀어지는 물체)를 볼 때, 적색편이 <math>z=z_t</math>가 될 때까지는 적색편이가 클 수록 더 작은 각도로 보이지만, 적색편이가 더 큰 값에서는 그 값이 클 수록 천체가 더 큰 각도로 보인다는 것을 의미한다. 전환점은 거리가 멀어질 수록 더 작게 보일 것이라는 직관과 모순되기 때문에 역설적으로 보인다.

전환점은 우주의 팽창과 유한한 빛의 속도로 인해 발생한다.우주가 팽창하고 있기 때문에 지금은 아주 멀리 있는 천체가 한때는 훨씬 더 가까이에 있었다. 빛의 속도가 유한하기 때문에 지금은 멀리 떨어져 있는 천체로부터 우리에게 도달하는 빛은 이미 오래 전 이 천체가 우리에게 더 가까워 하늘에서 더 넓은 각도로 퍼져 있었을 때에 떠났던 빛이다. 따라서 전환점은 우주의 팽창 속도(또는 빛의 속도가 일정하다고 가정하지 않는 경우 팽창 속도와 빛의 속도 사이의 관계)에 대해 알려줄 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[거리 측정 (우주론)]]
* [[표준 잣대]]
* [[공변거리]]
* [[고유거리]]
* [[광도거리]]

== 참고 문헌 ==
<references />

== 외부 링크 ==
* [http://icosmos.co.uk/ iCosmos: 우주론 계산기(그래프 생성 포함)]

[[분류:물리량]]
[[분류:거리]]