가환환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=환}}
[[가환대수학]]에서 '''가환환'''(可換環, {{llang|en|commutative ring}})이란 곱셈이 [[교환 법칙]]을 만족시키는 [[환 (수학)|환]]이다. 가환환과 그 위의 [[가군]]을 연구하는 [[환론]]의 분야를 [[가환대수학]]이라고 한다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>(R,+,\cdot,0,1)</math>에서, <math>(R,+,0)</math>는 [[아벨 군]]을 이루며, <math>(R,\cdot,1)</math>은 [[모노이드]]를 이룬다. 만약 <math>(R,\cdot,1)</math>이 가환 모노이드를 이룬다면, <math>R</math>를 '''가환환'''이라고 한다. 즉, 가환환에서는 모든 <math>r,s\in R</math>에 대하여 <math>rs=sr</math>이다.

마찬가지로, [[유사환]] <math>(R,+,\cdot,0)</math>에서, <math>(R,+,0)</math>은 [[아벨 군]]을 이루며, <math>(R,\cdot)</math>은 [[반군]]을 이룬다. 만약 <math>(R,\cdot)</math>이 가환 [[반군]]을 이룬다면, <math>R</math>를 '''가환 유사환'''({{llang|en|commutative pseudo-ring}}, {{lang|en|commutative ring}})이라고 한다.

== 성질 ==
가환환과 [[환 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>는 정의에 따라 [[아핀 스킴]]의 범주 <math>\operatorname{Aff}</math>의 [[반대 범주]]와 [[범주의 동치|동치]]이다.
:<math>\operatorname{CRing}\stackrel{\operatorname{Spec}}{\simeq}\operatorname{Aff}^{\operatorname{op}}</math>
구체적으로, 이 동치는 [[환의 스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}</math>에 의하여 주어진다.
즉, [[스킴 (수학)|스킴 이론]]을 통해 가환환 사이의 연산을 [[대수기하학]]적으로 해석할 수 있다.

가환환의 범주는 다음과 같은 성질을 갖는다.
{| class=wikitable
! [[시작 대상]]
| [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>
|-
! [[끝 대상]]
| [[자명환]] <math>0</math>
|-
! [[곱 (범주론)|곱]]
| [[직접곱]]
|-
! [[쌍대곱]]
| 가환환의 [[자유곱]]
|-
! [[동등자]]
| 집합의 범주에서의 동등자
|-
! [[쌍대동등자]]
| <math>f,g\colon R\to S</math>에 대하여, <math>\operatorname{coeq}(f,g)=S/(f(r)-g(r)\colon r\in R)</math>
|}
가환환의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>은 [[환 (수학)|환]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>의 [[충만한 부분 범주]]를 이루며, 모든 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존시킨다. 즉, 환의 범주에서의 극한은 가환의 범주에서의 극한과 같다. 그러나 [[쌍대극한]]은 일반적으로 다르다.

== 종류 ==
특수한 성질을 갖는 가환환들은 다음이 있으며, 이들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[환 (수학)|환]] ⊋ 가환환 ⊋ [[정역]] ⊋ [[정수적으로 닫힌 정역]] ⊋ [[크룰 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∪ [[데데킨트 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∩ [[데데킨트 정역]] = [[주 아이디얼 정역]] ⊋ [[유클리드 정역]] ⊋ [[체 (수학)|체]]

== 분류 ==
일반적으로, 모든 가환환을 분류하는 것은 불가능하다. 그러나 대략 다음과 같은 3단계 구조론이 존재한다.
* 임의의 가환환 <math>R</math>에 대하여, [[영근기]] <math>\sqrt{(0)}</math>에 대한 [[몫환]] <math>R/\sqrt{(0)}</math>은 [[축소환]]을 이룬다.
* 가환환이 [[축소환]]인 것은 (0개, 유한 개, 또는 무한 개의) [[정역]]들의 [[직접곱]]의 [[부분환]]인 것과 [[동치]]이다.
* 모든 [[정역]]은 그 [[분수체]]의 [[부분환]]을 이룬다.
즉, 가환환 → 가환 [[축소환]] → [[정역]] → [[체 (수학)|체]]로서, 점점 더 정칙적인 구조로 나타낼 수 있다.

== 예 ==
가환환의 예로는 다음을 들 수 있다.
* [[정수]]의 집합 <math>\mathbb Z</math>에 덧셈과 곱셈을 가하면, 가환환을 이룬다.
* [[자명환]]은 가환환이다.
* 모든 [[불 대수]]는 가환환으로 여길 수 있다.
* 모든 [[체 (수학)|체]]는 가환환이다. 대표적인 예로, [[유리수체]], [[실수체]], [[복소수체]] 등이 있다.
* 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 실수값 [[연속 함수]]들의 집합 <math>\mathcal C(X;\mathbb R)</math>는 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다.
비가환환의 예로는, 실수 [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>이 있다. 이는 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]로 구성된 환인데, <math>n\ge2</math>라면 이는 가환환이 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[환 준동형사상]]
* [[국소환]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Commutative ring}}
* {{매스월드|id=CommutativeRing|title=Commutative ring}}
* {{nlab|id=CRing}}
{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]