가쿠타니 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
수학과 [[경제학]]에서 '''가쿠타니 사상'''([角谷]寫像, {{llang|en|Kakutani map}})은 [[고정점]]을 가지게 되는 특별한 성질을 갖는, [[정의역]]의 [[멱집합]]을 [[공역]]으로 갖는 함수이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 실수 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>
* <math>V</math>의 부분 집합 <math>S\ne\varnothing</math>
함수
:<math>f\colon S\to\operatorname{Pow}(S)</math>
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''가쿠타니 사상'''이라고 한다.<ref name="GD">{{서적 인용
    | 이름=Andrzej|성= Granas
    | 이름2 = Dugundji
    | 성2 = James
    | title = Fixed point theory
    | 날짜 = 2003
    | publisher = Springer-Verlag
    | isbn = 978-0-387-00173-9 | doi=10.1007/978-0-387-21593-8 | 총서=Springer Monographs in Mathematics | issn=1439-7382
    | 언어=en
  }}</ref>{{rp|166, Definition 7.8.1}} (여기서 <math>\operatorname{Pow}(-)</math>는 [[멱집합]]을 뜻한다.)
* 각 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>f(s)</math>는 공집합이 아니며, [[콤팩트 집합]]이며, [[볼록 집합]]이다.
* 각 [[열린집합]] <math>U\subseteq V</math>에 대하여, <math>\{s\in S\colon f(s)\subseteq U\}</math>는 <math>S</math>의 [[열린집합]]이다.
가쿠타니 사상 <math>f\colon S\to\operatorname{Pow}(S)</math>의 '''[[고정점]]'''은 (만약 존재한다면) <math>s\in f(s)</math>가 성립하는 점 <math>s\in S</math>이다.

== 성질 ==
'''가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리'''([角谷]-Glicksberg-[樊]固定點定理, {{llang|en|Kakutani(–Glicksberg–Fan) fixed-point theorem}})에 의하면, 다음이 성립한다.<ref name="GD"/>{{rp|169, Theorem 7.8.6}}
:실수 하우스도르프 [[국소 볼록 공간]] <math>V</math> 속의, [[공집합]]이 아닌, [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[볼록 집합]] <math>S\subseteq V</math> 위의 임의의 가쿠타니 사상 <math>f\colon S\to\operatorname{Pow}(S)</math>은 고정점을 갖는다.

'''샤우데르 고정점 정리'''({{llang|en|Schauder fixed-point theorem}})에 의하면, 다음이 성립한다.<ref name=GD/>{{rp|168, Theorem 7.8.4}}
:[[실수 노름 공간]] <math>(V,\|\|)</math> 속의, [[공집합]]이 아닌, [[볼록 집합]] <math>S\subseteq V</math> 위의 임의의 가쿠타니 사상 <math>f\colon S\to\operatorname{Pow}(S)</math>이 주어졌다고 하자. 만약 <math>\textstyle\bigcup_{s\in S}f(s)</math>가 [[콤팩트 집합]]이라면, <math>f</math>는 고정점을 갖는다.
(이 경우, 정의역이 [[콤팩트 집합]]일 필요가 없다.)

== 예 ==
임의의 실수 하우스도르프 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 부분 집합 <math>S</math> 위의 [[연속 함수|연속]] [[자기 함수]] <math>f\colon S\to S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\phi\colon S\to\operatorname{Pow}(S)</math>
:<math>\phi\colon s\mapsto \{f(s)\}</math>
를 정의하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\phi</math>가 가쿠타니 사상이다.
* <math>f</math>가 [[연속 함수]]이다.
특히, 만약 <math>V</math>가 추가로 실수 하우스도르프 [[국소 볼록 공간]]이며 <math>S</math>가 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합일 때, 가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에 의하여, 만약 <math>f</math>가 [[연속 함수]]라면 <math>f(s)=s</math>인 <math>s\in S</math>가 존재한다. 이 특수한 경우를 '''브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리'''(Brouwer-Schauder-Тихонов固定點定理, {{llang|en|Brouwer–Schauder–Tychonoff fixed point theorem}})라고 한다.

=== 반례 ===
[[파일:Kakutani_non.svg|섬네일|오른쪽|원소의 상이 [[볼록 집합]]이 아닐 때, 가쿠타니 고정점 정리의 반례. 함수 <math>f</math>의 그래프는 검은 선으로 표시되었다. 그래프가 대각선(붉은 점선)과 교차하지 않으므로, 이는 고정점을 갖지 않는다.]]
가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에서, 모든 원소의 [[상 (수학)|상]]이 [[볼록 집합]]이어야 한다는 조건을 생략한다면 이 정리는 성립하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}\{3/4\}&0\le x<1/2\\\{1/4,3/4\}&x=1/2\\\{1/4\}&1/2<x\le 1\\\end{cases}</math>
이는 <math>x=1/2</math>에서 <math>f(1/2)=\{1/4,3/4\}</math>는 [[닫힌집합]]이지만 [[볼록 집합]]이 아니며, 고정점을 갖지 않는다.

== 응용 ==
가쿠타니 고정점 정리는 수리 [[경제학]]과 [[게임 이론]]에 응용된다. 특히, [[내시 평형]]의 존재를 가쿠타니 고정점 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

== 역사 ==
1904년에 피에르스 볼({{llang|lv|Piers Bohl}}, 1865~1921)이 3차원 [[유클리드 공간]]에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first=Piers |last=Bohl | 제목= Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|issn=0075-4102 |volume=127 |issue=3–4 |pages=179–276 |날짜=1904|doi=10.1515/crll.1904.127.179|언어=de }}</ref> 1910년에 [[라위트전 브라우어르]]와 [[자크 아다마르]]<ref>{{서적 인용|이름=Jacques|성=Hadamard|저자링크=자크 아다마르|장=Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker|제목=Introduction à la théorie des fonctions d’une variable. Tome deuxième. Intégrales définies, développements en série. Langage géométrique, fonctions de variables imaginaires|쪽=436–477|판=2|출판사=Librarie scientifique A. Hermann & fils|url=https://archive.org/stream/introductionla02tannuoft|날짜=1910|언어=fr}}</ref>는 독자적으로 임의의 유한 차원에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 정리를 증명하였다.

1930년에 [[율리우시 샤우데르]]가 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 임의의 [[실수 바나흐 공간]]의 경우에 대하여 일반화하였으며,<ref>{{저널 인용|이름=J.|성=Schauder|저자링크=율리우시 샤우데르|제목=Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen|저널=Studia Mathematica|issn=0039-3223|권=2|날짜=1930|쪽=171–180|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm2/sm2114.pdf|언어=de}}</ref> 1935년에 [[안드레이 티호노프 (수학자)|안드레이 티호노프]]가 이를 임의의 [[국소 볼록 공간]]에 대하여 추가로 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Andrey|성=Tychonoff|저자링크=안드레이 티호노프 (수학자)|제목=Ein Fixpunktsatz|저널=Mathematische Annalen|권=111|날짜=1935|쪽=767–776|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002278103|doi=10.1007/BF01472256|언어=de}}</ref>

[[가쿠타니 시즈오]]가 1941년에 유한 차원의 경우에 대한 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Shizuo|성=Kakutani|저자링크=가쿠타니 시즈오|제목=A generalization of Brouwer's fixed point theorem|저널=Duke Mathematical Journal|권=8|호=3|날짜=1941|쪽=457–459|doi=10.1215/S0012-7094-41-00838-4|mr=4776|zbl=0061.40304|언어=en}}</ref> 이후 어빙 레너드 글릭스버그({{llang|en|Irving Leonard Glicksberg}})<ref>{{저널 인용
  | last = Glicksberg
  | first = Irving L.
  | title = A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium
  | journal = Proceedings of the American Mathematical Society
  | volume = 3
  | issue = 1
  | pages = 170–174
  | year = 1952
  | doi = 10.2307/2032478
  | jstor = 2032478 | 언어=en}}</ref>{{rp|171}}와 판지({{zh|c=樊⿰土畿|p=Fán Jí|hanja=번기}}, {{llang|en|Ky Fan}}, 1914~2010)<ref>{{저널 인용
  | last = Fan
  | first = Ky
  | title = Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces
  | journal = Proceedings of the National Academy of  Sciences of the United States of America
  | volume = 38
  | issue = 2
  | pages = 121–126
  | year = 1952
  | doi = 10.1073/pnas.38.2.121
  | pmid = 16589065
  | pmc = 1063516 | 언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 1}}가 이를 임의의 [[국소 볼록 공간]]에 대하여 일반화하였다.

켄 빈모어({{llang|en|Ken Binmore}})는 다음과 같은 일화를 저서에 수록하였다.
{{인용문2|
언젠가 일본의 수학자 [[가쿠타니 시즈오|가쿠타니]]가 내게 왜 자신의 강의에 수많은 경제학자들이 참석하였는지 물었다. 나는 그가 가쿠타니 고정점 정리 때문에 유명인이기 때문이라고 대답했는데, 가쿠타니는 다음과 같이 되물었다. “가쿠타니 고정점 정리가 뭡니까?”<br>
{{lang|en|A long time ago, the Japanese mathematician Kakutani asked me why so many economists had attended the lecture he had just
given. When I told him that he was famous because of the Kakutani fixed-point theorem, he replied, “What is the Kakutani fixed-point theorem?”}}
|<ref>{{서적 인용|제목=Playing for real: a text on game theory|이름=Ken|성=Binmore|출판사=Oxford University Press|날짜=2007|url=http://global.oup.com/us/companion.websites/9780195300574/|언어=en}}</ref>{{rp|256, §8.3}}
}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Kakutani theorem}}
* {{eom|title=Brouwer theorem}}
* {{eom|title=Schauder theorem}}
* {{매스월드|id=BrouwerFixedPointTheorem|title=Brouwer fixed point theorem}}
* {{매스월드|id=SchauderFixedPointTheorem|title=Schauder fixed point theorem}}
* {{nlab|id=Brouwer's fixed point theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:볼록기하학 정리]]
[[분류:위상수학 정리]]
[[분류:고정점 정리]]