가우스 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|바닥 함수|[[오차 함수]]의 도함수|정수값을 가지는 함수}}

[[수학]]에서, '''가우스 함수'''(-函數, {{llang|en|Gaussian function}})는 다음과 같은 형태의 함수이다.<math display="block">f(x) = a \exp\left( -\frac{(x - b)^2}{2c^2} \right)</math>여기서 {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}는 [[실수]]인 상수이고 {{mvar|c}}는 0이 아니다. 이 함수는 [[카를 프리드리히 가우스]]의 이름을 따서 명명되었다. 가우스 함수의 그래프는 좌우대칭의 종 모양의 곡선으로 +/-의 극한을 향하면서는 급격히 감소하는 특성을 가진다. 매개변수 {{mvar|a}}는 곡선의 꼭대기 높이가 되며, {{mvar|b}}는 꼭대기의 중심의 위치가 된다. {{mvar|c}}는 [[표준 편차]]로서 "종"의 너비를 결정한다.

가우스 함수는 [[기댓값]]이 {{math|1=<var>μ</var> = <var>b</var>}}이고 [[분산]]이 {{math|1=<var>σ</var>{{sup|2}} = <var>c</var>{{sup|2}}}}인 [[정규 분포]]의 [[확률 밀도 함수]]를 나타낼 때 주로 사용된다. 이 경우 가우스 함수는<math display="block">g(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{1}{2} \frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2} \right)</math>와 같은 형태가 된다.<ref>{{서적 인용|last=Squires |first=G. L. |url=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781139164498/type/book |title=Practical Physics |date=2001-08-30 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-77940-1 |edition=4 |doi=10.1017/cbo9781139164498}}</ref>

가우스 함수는 [[통계학]]에서의 정규 분포나 [[신호 처리]], 이미지 처리, [[열 방정식]]의 해 등 여러 경우에 사용된다.

==성질==
[[이차 함수]]와 [[지수 함수]]를 합성한 함수
<math display="block">f(x) = \exp(\alpha x^2 + \beta x + \gamma),</math>
는 가우스 함수이다. 여기서 <math>\alpha = -1/2c^2</math>, <math>\beta = b/c^2</math>, <math>\gamma = \ln a-(b^2 / 2c^2)</math>이다. 따라서 가우스 함수는 로그를 취했을 때 아래로 볼록인 이차함수가 되는 함수이다.

매개변수 {{mvar|c}}는 함수의 [[반치전폭]](FWHM)을 결정하며 <math display="block">\text{FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\,c \approx 2.35482\,c</math>이다. 반치전폭 {{mvar|w}}가 주어졌을 때 가우스 함수는
<math display="block">f(x) = a e^{-4 (\ln 2) (x - b)^2 / w^2}</math>
로 나타낼 수 있다. 함수의 최댓값의 1/10이 되는 두 독립변수들의 차이인 FWTM은 다음과 같다. <math display="block">\text{FWTM} = 2 \sqrt{2 \ln 10}\,c \approx 4.29193\,c</math>

한편 가우스 함수는 {{math|1=<var>x</var> = <var>b</var> ± <var>c</var>}}에서 두 변곡점을 가진다. 또 가우스 함수는 [[해석 함수]]이며, {{math|<var>x</var> → ∞}}일 때 극한은 0으로 수렴한다.

가우스 함수는 [[초등함수]]이지만 그 부정적분은 초등함수로 나타내는 것이 불가능하며, 가우스 함수의 적분을 '''[[오차 함수]]'''라고 한다. 실직선 전체에서 가우스 함수의 [[이상 적분]]의 값은 아래와 같이 계산된다.
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \,dx = \sqrt{\pi}</math>
일반적인 경우에 대해서는 아래와 같다.
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty a e^{-(x - b)^2 / (2c^2)} \,dx = ac \cdot \sqrt{2\pi}</math>

[[파일:Normal Distribution PDF.svg|섬네일|360px|right|[[기댓값]]이 {{mvar|μ}}이고 [[분산]]이 {{math|<var>σ</var>{{sup|2}}}}인 정규화된 가우스 함수 곡선. 각 매개변수는 <math display="inline">a = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}</math>, {{math|1=<var>b</var> = <var>μ</var>}}, {{math|1=<var>c</var> = <var>σ</var>}}이다.]]

<math display="inline">a = \tfrac{1}{c\sqrt{2\pi}}</math>일 때 가우스 함수의 이상 적분 값은 1이 된다. 이 경우 가우스 함수는 기댓값이 {{math|1=<var>μ</var> = <var>b</var>}}이고 분산이 {{math|1=<var>σ</var>{{sup|2}} = <var>c</var>{{sup|2}}}}인 [[정규 분포]]의 [[확률 밀도 함수]]가 되며, 식은 아래와 같다.
<math display="block">g(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(\frac{-(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right).</math>
위의 그래프에는 각 {{mvar|μ}}, {{math|<var>σ</var>{{sup|2}}}}에 대해 정규화된 가우스 함수가 나타나 있다.

두 가우스 함수의 곱은 가우스 함수이고, 두 가우스 함수의 [[합성곱]]도 여전히 가우스 함수이다. 이때 분산은 기존의 두 가우스 함수의 분산의 합과 같다. 반면 두 정규분포 가우스 함수의 곱은 일반적으로 정규분포 가우스 함수가 되지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[정규 분포]]
* [[가우스 적분]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/GaussianFunction.html 매스월드]
* [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a2/Cumulative_function_n_dimensional_Gaussians_12.2013.pdf Bensimhoun Michael, ''N''-Dimensional Cumulative Function, And Other Useful Facts About Gaussians and Normal Densities (2009)]

[[분류:가우스 함수]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:거듭제곱]]