가우스 곡률 문서 원본 보기

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'''가우스 곡률'''(Gauß曲率, {{llang|en|Gaussian curvature}})은 [[곡면]]의 한 점의 굽은 정도를 나타내는 척도로서, 그 점의 두 [[주곡률]]의 곱이다. [[가우스의 빼어난 정리]]에 따르면, 가우스 곡률은 [[내재|내재적]]이다. 즉, 오직 곡면에서 [[거리]]가 어떻게 측도되는지에만 의존한다. 기호는 [[라틴 문자]] <math>K</math>다.

== 정의 ==
=== 외재적 정의 ===
3차원 유클리드 공간에 [[매장 (수학)|매장]]된 곡면의 '''가우스 곡률''' <math>K</math>는 그 두 [[주곡률]] <math>\kappa_1,\kappa_2</math>의 곱이다.
:<math>K = \kappa_1\kappa_2</math>
가우스 곡률은 [[주곡률|모양 연산자]]의 [[행렬식]]으로 정의할 수도 있다. <math>\mathbb R^3</math> 안에 있는 곡면 위의 점 <math>\mathbb p</math>에서 모양 연산자 <math>S</math>가 주어지면, 가우스 곡률 <math>K</math>는 다음과 같다.
:<math>K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p}))</math>

<math>\mathbb R^3</math> 안에 있는 곡면의 가우스 곡률은 [[제1 기본 형식]]의 행렬식에 대한 [[제2 기본 형식]]의 행렬식의 비로 표현할 수도 있다.
:<math>K = \frac{\det\text{II}}{\det\text{I}}</math>

=== 내재적 정의 ===
가우스 곡율은 [[가우스의 빼어난 정리]]에 따라 내재적인 값이며, 따라서 내재적으로 정의할 수 있다. 2차원 [[리만 다양체]]의 [[리만 곡률 텐서]]와 [[리치 곡률 텐서]]는 오직 하나의 독립된 성분만을 가지며, 다음과 같다.
:<math>R_{\mu\nu\rho\sigma}=K(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma})</math>
:<math>\operatorname{Ric}_{\mu\nu}=Kg_{\mu\nu}</math>
이 경우 계수 <math>K</math>가 '''가우스 곡률'''이다.

== 성질 ==
=== 가우스의 빼어난 정리 ===
{{본문|가우스의 빼어난 정리}}

'''[[가우스의 빼어난 정리]]'''란 가우스 곡률은 곡면이 유클리드 공간에 어떻게 [[매장 (수학)|매장]]돼 있는지에 관계없다는 사실이다. 다시 말해, 가우스 곡률은 곡면의 [[등거리변환]]에 불변이다. 가우스 곡률은 [[제1 기본 형식]]을 앎으로써 얻어질 수 있으며, 제1 기본 형식과 그것이 1·2계도 편미분 함수로 표현된다. 곧, [[제2 기본 형식]]의 행렬식도, 이와 마찬가지로, 제1기본형식으로 표현될 수 있다. 이 정리가 놀라운 것은, 가우스 곡률의 정의는 곡면이 공간에 어떻게 포함되는지에 의존하지만, 그 결과로 나오는 가우스 곡률 그 자체는 오직 곡면의 내적으로만 결정되며 그 외의 어떠한 정보도 필요하지 않다는 점이다. 곧, 가우스 곡률은 내재적 불변량이다.

=== 가우스-보네 정리 ===
{{본문|가우스-보네 정리}}

가우스-보네 정리는 [[오일러 지표]]를 [[가우스 곡률]]로 나타내는 정리다. 이에 따르면, (경계가 없는) 곡면 <math>M</math>의 [[오일러 지표]] <math>\chi</math>는 다음과 같다.
:<math>2\pi\chi=\int_MdA\;K</math>.
여기서 <math>K</math>는 가우스 곡률이다. 이는 국소적인 기하학적 성질인 [[가우스 곡률]]과 위상적인 성질인 [[오일러 지표]]를 관련짓는다.

이를 경계를 지닌 곡면의 경우로 일반화하면 다음과 같다.
:<math>2\pi\chi=\int_MdA\;K+\int_{\partial M}ds\;k_\mathrm g</math>
여기서 <math>k_\mathrm g</math>는 곡면의 경계의 [[측지적 곡률]]({{lang|en|geodesic curvature}})이다.

== 같이 보기 ==
* [[지구 반경]]
* [[단면 곡률]]
* [[평균곡률]]
* [[리만 곡률 텐서]]
* [[주곡률]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Gaussian curvature}}
* {{매스월드|id=GaussianCurvature|title=Gaussian curvature}}

{{전거 통제}}
[[분류:미분기하학]]
[[분류:곡률]]
[[분류:카를 프리드리히 가우스]]