가우스-자이델 방법 문서 원본 보기

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'''가우스-자이델 방법'''(Gauss-Seidel method)은 [[연립방정식]]을 [[수치 해석|수치적]]으로 계산하는 방법으로, [[카를 프리드리히 가우스]]와 [[필리프 루트비히 폰 자이델]]의 이름을 따서 붙여졌다. 가우스-자이델 방법은 연립방정식에 대응하는 [[행렬]]을 두 개의 [[삼각행렬]]로 [[행렬 분리|분리]]한 뒤 해를 [[반복법|반복적]]으로 계산해 수렴시키는 방식을 사용한다.

[[연립 일차 방정식]] <math>A\mathbf x = \mathbf b</math>와 이에 대응하는 변수와 상수
:<math>A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}</math>
에 대해, 가우스-자이델 방법은 행렬 <math>A</math>를 다음과 같이 <math>A = L_*+U</math>의 두 삼각행렬로 [[행렬 분리|분리]]하는 방식으로 시작한다.
:<math>L_* = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}</math>
:<math>U = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}</math>

그러면 원래 방정식을 <math>L_* \mathbf{x} = \mathbf{b} - U \mathbf{x}</math>로 변환할 수 있고, 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.
: <math>\mathbf{x} = L_*^{-1} (\mathbf{b} - U \mathbf{x})</math>

이제 이 식에서 우변의 결과를 좌변에 대입하는 방식으로 수치적 계산을 실행한다.
:<math>\mathbf{x}^{(k+1)} = L_*^{-1} (\mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)})</math>

또한, 여기에서 <math>L_*^{-1}</math>은 [[삼각행렬]]이기 때문에, 다음과 같이 계산하는 것이 가능하다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|p=142|2013}}
:<math>x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j>i}a_{ij}x^{(k)}_j - \sum_{j<i}a_{ij}x^{(k+1)}_j \right)</math>, 여기에서 <math>i, j=1,2,\ldots,n</math>

이 방식은 <math>A</math>가 [[대칭행렬]]이면서 [[양정치행렬]]일 경우, 또는 강하거나 기약적인 [[대각지배행렬]]일 경우{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|p=144|2013}} 항상 수렴한다는 것이 증명되어 있다. 또한, 이에 해당하지 않는 경우에도 수렴하는 경우가 존재한다.
== 같이 보기 ==
* [[LU 분해]]
* [[축차가속완화법]](successive over-relaxation)
* [[야코비 방법]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8 |ref=harv}}

{{전거 통제}}

[[분류:수치해석학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:완화법 (반복법)]]
[[분류:수치선형대수학]]