가우스-보네 정리 문서 원본 보기

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'''가우스-보네 정리'''(Gauss-Bonnet theorem, -定理) 또는 '''가우스-보네 공식'''(Gauss-Bonnet formula, -公式)은 [[미분기하학]]의 [[정리]]로, 어떤 [[곡면]]의 [[가우스 곡률]]과 [[오일러 지표]]를 연결한다. 가우스 곡률은 곡면의 핵심적인 [[기하학]]적 정보이며, 오일러 지표는 곡면의 핵심적인 [[위상수학]]적 정보이기 때문에, 이 둘의 연관성은 수학에서 중요하게 여겨진다. [[독일]]의 [[수학자]] [[카를 프리드리히 가우스]]는 이 정리의 내용을 알고 있었으나 출판하지는 않았으며, [[프랑스]]의 수학자 [[피에르 오시앙 보네]](Pierre Ossian Bonnet)가 특수한 경우에 대한 논문을 1848년에 출판하여 이 두 사람의 이름이 붙어 있다.

== 공식화 ==
M은 [[경계]]가 <math>\partial M</math> 인 [[콤팩트 공간|콤팩트]]한 2차원 [[리만 다양체]]라 하자. K를 M의 가우스 곡률, k<sub>g</sub>을 M의 [[측지적 곡률]](geodesic curvature)이라 하면, 다음 적분식이 성립하는데 이를 '''가우스-보네 정리'''라 한다.

* <math>\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M). </math>

여기서 dA는 곡면의 면적소, ds는 경계선의 길이 요소, χ(M)은 M의 [[오일러 지표]]이다. 만약 경계가 없는 곡면이라면 좌변의 두번째 항은 사라지고,

* <math>\int_M K\;dA = 2\pi\chi(M). </math>

가 곧바로 성립한다.

== 조합론적 가우스-보네 정리 ==
[[조합론]]에서도 여러 가우스-보네 정리의 유사 형태가 있다. 예로 M을 2차원 [[유한 집합|유한]] [[준다양체]](pseudomanifold), χ(M)을 M의 [[오일러 지표]], χ(v)를 꼭짓점 v를 포함하는 [[삼각형]]의 수라 하면 다음 식이 성립한다.

* <math>\sum_{v\in{\mathrm{int}}{M}}(6-\chi(v))+\sum_{v\in\partial M}(4-\chi(v))=6\chi(M).</math>

== 같이 보기 ==
* [[가우스 곡률]]
* [[천–가우스–보네 정리|일반화된 가우스-보네 정리]]
* [[리만-로흐 정리]]
* [[아티야-싱어 지표 정리]]

== 참고 문헌 ==
* Barrett O'Neill, Elementary differential geometry, Elsevier, 2006.
* {{서적 인용|제목=현대 기하학 입문|저자=권영현|공저자=윤달선|위치=서울|출판사=경문사|isbn=89-7282-535-2|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|access-date=2013-07-18|archive-date=2021-10-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20211028073930/https://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|url-status=}}

== 외부 링크 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Gauss-BonnetFormula.html 가우스-보네 공식 - 매스월드]

[[분류:미분기하학]]
[[분류:기하학 정리]]
[[분류:미분기하학 정리]]