가우스의 빼어난 정리 문서 원본 보기

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[[카를 프리드리히 가우스]]의 '''빼어난 정리'''({{llang|la|Theorema egregium|테오레마 에그레기움}})는 [[미분기하학]]의 기초적인 [[정리]] 중 하나이다. '빼어난 정리(테오레마 에그레기움)'라는 명칭은 가우스가 이 정리와 그 증명을 실은 [[라틴어]] 논문에서 사용한 것이다. 정리를 간단히 표현하면 다음과 같다.

* 어떤 [[곡면]]의 [[가우스 곡률]]은 그 [[제1 기본 형식]]의 계수들과 그 1, 2계 [[편도함수]]만으로 표현 가능하다.<ref>Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학개론》, 경문사, 2008, 343쪽.</ref>

다시 말해, 가우스 곡률은 곡면에 내재적(intrinsic)인 양이라는 것이다. 이로부터 가우스 곡률은 곡면의 [[등거리변환]]에 불변이라는 사실을 알 수 있다.

== 표현 ==
실제로 어떤 곡면의 가우스 곡률 K는 제1 기본 형식의 계수와 도함수를 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다.

* <math>K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)</math>

여기서 <math>\Gamma</math>는 [[크리스토펠 기호]], 정확히 말해 제2종 크리스토펠 기호이다.

== 증명의 개략 ==
이 정리를 증명하는 아이디어는 간단하나 크리스토펠 기호를 적을 일이 많아 실제로 모든 과정을 적어 나가기에는 복잡하다. 곡면 위의 [[좌표조각사상]] '''x'''(u, v)에서 [[벡터]] '''x'''<sub>u</sub>, '''x'''<sub>v</sub>의 1계 편도함수와, '''N'''의 1계 편도함수를 각각 [[가우스의 공식]]과 [[바인가르텐 공식]]에 따라 적은 뒤,

: '''x'''<sub>uuv</sub> = '''x'''<sub>uvu</sub>

의 관계를 이용하여 얻은 식에서 좌변과 우변에 대한 '''x'''<sub>v</sub>의 계수를 같다고 놓으면 바로 위의 가우스 곡률 표현식을 얻게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[제1 기본 형식]]
* [[제2 기본 형식]]
* [[가우스 곡률]]
* [[마이나르디-코다치 방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학개론》, 경문사, 2008.

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:기하학 정리]]
[[분류:곡면]]
[[분류:카를 프리드리히 가우스]]