가역층 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''가역층'''(可逆層, {{llang|en|invertible sheaf}})은 [[텐서곱]]에 대한 역원이 존재하는 [[연접층]]이다.

== 정의 ==
[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 [[연접층]] <math>S</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 경우 <math>S</math>를 '''가역층'''이라고 한다.
* <math>S</math>는 텐서곱에 대한 역원을 갖는다. 즉, 어떤 [[연접층]] <math>T</math>에 대하여, <math>S\otimes S^{-1}\cong\mathcal O_X</math>이다.
* <math>S</math>는 1차원 [[국소 자유 가군층]]이다.

=== 스킴을 통한 정의 ===
[[스킴 (수학)|스킴]] 위의 층의 경우, 가역층은 보다 구체적으로 '''대수적 선다발'''({{llang|en|algebraic line bundle}})의 단면으로 주어진다.

<math>X</math>가 [[스킴 (수학)|스킴]]이라고 하자. <math>X</math> 위의 '''대수적 선다발'''은 1차원 [[대수적 선다발]]이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>E</math>
* [[전사 함수]]인 [[스킴 사상]] <math>\pi\colon E\to X</math>
* <math>X</math>의 어떤 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>
* 각 <math>U\in \mathcal U</math>에 대하여, 스킴 동형 사상 <math>\pi^{-1}(U)\to \mathbb A^1_U = (\operatorname{Spec}\mathbb Z[x]) \times U</math>
이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>U,V\in \mathcal U</math> 및 아핀 [[열린 부분 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R \hookrightarrow U \cap V</math>에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 <math>R[x] \to R[x]</math>은 어떤 [[가역원]] <math>m\in\operatorname{Unit}(R)</math>에 대하여 <math>r\mapsto r\forall r\in R\subseteq R[x]</math>, <math>x\mapsto mx</math>의 꼴로 주어지는 [[가환환]] [[동형 사상]]이다.
같은 스킴 <math>X</math> 위의 두 대수적 선다발 <math>(E,\pi,\mathcal U)</math>, <math>(E',\pi',\mathcal U')</math> 사이의 '''동형 사상'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>X</math>-스킴의 동형 사상 <math>\iota\colon E/X\to E'/X</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>(E,\pi, \mathcal U\cap\mathcal U')</math>은 대수적 선다발을 이룬다.

그렇다면, 대수적 선다발의 단면들은 가역층을 이룬다. 반대로, 임의의 스킴 위의 임의의 가역층은 어떤 대수적 선다발의 단면층과 동형이다.

== 성질 ==
=== 호몰로지와의 관계 ===
[[환 달린 공간]] <math>X</math> 위의 가역층에 대하여, [[층 코호몰로지]]류 <math>\operatorname H^1(X;\mathcal O^\times_X)</math>의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 표준적이며 전단사이며, 또한 텐서곱을 보존한다. <math>X</math> 위의 가역층들의 동형류의 [[아벨 군]]을 '''[[피카르 군]]''' <math>\operatorname{Pic}(X)</math>이라고 하는데, 이에 따라 표준적으로 [[아벨 군]]의 동형
:<math>\operatorname{Pic}(X) \cong\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)</math>
이 존재한다.

=== 인자와의 관계 ===
임의의 [[국소 뇌터 스킴]] <math>X</math> 위의 [[카르티에 인자]] <math>D</math>가 주어졌다면, 이에 대응되는 가역층을 정의할 수 있다. 구체적으로, [[카르티에 인자]] <math>D \in \Gamma(\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)</math>가 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>에서 <math>f\in\Gamma(\mathcal K_X^\times,U_i)</math>로 표현된다고 하자. (여기서 <math>\mathcal K_X</math>는 [[유리 함수층]]이다.) 그렇다면, <math>D</math>에 대응되는 가역층 <math>\mathcal O_X(D)\subseteq\mathcal K_X</math>은 <math>(f_i^{-1})_{i\in I}</math>로 생성되는 부분 [[가군층]]이다. 이 경우, 임의의 [[카르티에 주인자]] <math>D</math>에 대하여 <math>\mathcal O_X(D) \cong\mathcal O_X</math>이므로, 이는 [[카르티에 인자류군]]에서 [[피카르 군]]으로 가는 [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{CaCl}(X) \to \operatorname{Pic}(X)</math>
을 정의한다.

[[뇌터 가환환]] <math>K</math> 위의 [[사영 스킴]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. (<math>X</math>는 [[축소 스킴]]일 필요는 없다.) 그렇다면, <math>X</math> 위의 모든 가역층은 [[카르티에 인자]]로 정의되는 가역층과 동형이다. 즉, 이 경우 [[피카르 군]]은 [[카르티에 인자류군]]과 동형이다. 반면, 임의의 [[뇌터 스킴]]의 경우, 카르티에 인자로 표현될 수 없는 가역층이 존재할 수 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://martapr.webs.uvigo.es/Investigacion/Divisors.pdf|제목=Divisors and invertible sheaves on Noetherian schemes|이름=Maria|성=Pérez Rodríguez|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[선다발]]
* [[피카르 군]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Invertible sheaf}}

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:대수기하학]]