가역원 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''가역원'''(可逆元, {{llang|en|invertible element}} 또는 {{lang|en|unit|유닛}})은 [[환 (수학)|환]] 또는 [[모노이드]]에서 [[곱셈]]에 대한 [[역원]]이 있는 [[원소 (수학)|원소]]들이다.

== 정의 ==
[[모노이드]] <math>M</math>의 원소 <math>x\in M</math>의 '''역원'''({{llang|en|inverse}}) <math>y</math>는
:<math>xy=yx=1</math>
이 되는 원소 <math>y\in M</math>이다. 주어진 원소의 역원은 유일한데, 이는 만약 <math>x\in M</math>이 두 역원 <math>y,y'\in M</math>을 갖는다면 <math>y'=(yx)y'=y(xy')=y</math>가 되기 때문이다.

모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 '''가역원'''이라고 한다. 모노이드 <math>M</math>의 가역원들로 구성된 [[부분 집합]]
:<math>\operatorname{Unit}(M)=\{x\in M\colon\exists y\in M\colon xy=yx=1\}</math>
은 <math>M</math>의 부분 모노이드이자 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이를 <math>M</math>의 '''가역원군'''({{llang|en|group of invertible elements}}, {{lang|en|group of units}})이라고 하며, <math>M^\times</math> 또는 <math>M^{*}</math> 또는 <math>\operatorname{Unit}(M)</math>으로 표시한다.

[[환 (수학)|환]]의 가역원(군)이란 곱셈 모노이드로서의 가역원(군)을 뜻한다.

=== 범주론적 정의 ===
[[범주론]]적 관점에서, [[모노이드]]는 하나의 대상만을 갖는 [[작은 범주]]로 생각할 수 있으며, 이 경우 [[모노이드]]의 원소들은 유일한 대상의 [[자기 사상]]들에 대응한다. 이 경우, '''가역원'''은 모노이드의 [[동형 사상]]과 같으며, '''가역원군'''은 유일한 대상의 [[자기 동형군]]과 같다. 즉, 가역원의 개념은 [[동형 사상]]의 개념의 특수한 경우이다.

임의의 [[작은 범주]]는 여러 개의 대상들을 가지며, 따라서 각 대상에 대하여 고유의 [[가역원군]]을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 [[작은 범주]]에서 [[동형 사상]]이 아닌 [[사상 (수학)|사상]]들을 삭제하면 [[준군]]을 얻으며, 이 역시 가역원군의 일반화로 간주할 수 있다.

=== 가역원층 ===
[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 두 [[열린집합]] <math>U\subseteq V\subseteq X</math>에 대하여
:<math>\Gamma(U;\mathcal O_X^\times)=\left(\Gamma(U;\mathcal O_X)\right)^\times</math>
:<math>\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal O_X^\times}=\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal O_X}|_{\Gamma(U;\mathcal O_X)^\times}</math>
인 [[아벨 군]] 값의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal O_X^\times</math>가 존재하며, 이를 <math>\mathcal O_X</math>의 '''가역원층'''(可逆元層, {{llang|en|sheaf of units}})이라고 한다. (여기서 <math>\Gamma(-,-)</math>는 층의 [[단면 (올다발)|단면군]]을 뜻하며, <math>\operatorname{res}</math>는 두 층 단면군 사이의 제한 준동형을 뜻한다.)

== 성질 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R^\times=R\setminus\{0\}</math>
* <math>R</math>는 [[나눗셈환]]이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R\setminus R^\times</math>가 덧셈에 대한 [[아벨 군]]을 이룬다.
* <math>R</math>는 [[국소환]]이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>0\in R^\times</math>이다.
* <math>R=R^\times</math>이다.
* <math>R</math>는 [[자명환]]이다.
이는 만약 0이 역원을 갖는다면 <math>1=0^{-1}0=0</math>이 되기 때문이다.

== 예 ==
* <math>\mathbb Z^\times=\{\pm1\}</math>이다.
* [[나눗셈환]]의 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어, <math>\mathbb Q^\times=\mathbb Q\setminus\{0\}</math>이다.
* 체 <math>K</math>에 대한 행렬환 <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 가역원군은 [[일반선형군]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)^\times=\operatorname{GL}(n;K)</math>이다. 이는 [[가역행렬]]로 구성된 군이다.
* [[대수기하학]]에서, [[스킴 (수학)|스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>의 구조층 <math>\mathcal O_X</math>의 가역원층 <math>\mathcal O_X^\times</math> 계수의 1차 [[층 코호몰로지]] <math>\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)=\operatorname{Pic}(X)</math>는 <math>X</math>의 '''[[피카르 군]]'''이라고 한다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Invertible element}}
* {{eom|title=Unit}}
* {{매스월드|id=Unit|title=Unit}}
* {{매스월드|id=InvertibleElement|title=Invertible element}}
* {{매스월드|id=Invertible|title=Invertible}}
* {{nlab|id=unit|title=Unit}}

{{전거 통제}}

[[분류:1]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:반군론]]
[[분류:환론]]