가산 콤팩트 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서, '''가산 콤팩트 공간'''(可算compact空間, {{llang|en|countably compact space}})은 임의의 [[가산 집합|가산]] [[열린 덮개]] 속에서, 전체 공간을 덮는 유한 개의 [[열린집합]]을 찾을 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|181, Exercise 4}}

== 정의 ==
=== 가산 콤팩트 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''가산 콤팩트 공간'''이라고 한다.
* 모든 [[가산 집합|가산]] [[열린 덮개]]는 [[유한 집합|유한]] 부분 덮개를 갖는다.
* 모든 [[점렬]]은 [[수렴]] 부분 그물을 갖는다.
* 모든 [[무한 집합]]은 <math>\aleph_0</math>-[[집적점]]을 갖는다.
{{증명}}
'''모든 가산 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가짐 ⇒ 모든 무한 집합이 <math>\aleph_0</math>-집적점을 가짐:''' [[무한 집합]] <math>A\subseteq X</math>가 <math>\aleph_0</math>-[[집적점]]을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 편의상 <math>A</math>는 [[가산 무한 집합]]으로 잡을 수 있다. 임의의 유한 부분 집합 <math>F\subseteq A</math>에 대하여,
:<math>U_F=\operatorname{int}(F\cup(X\setminus A))</math>
라고 하자. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x</math>가 <math>A</math>의 <math>\aleph_0</math>-[[집적점]]이 아니므로, <math>V_x\cap A</math>가 [[유한 집합]]인 [[열린 근방]] <math>V_x\ni x</math>가 존재한다.
:<math>V_x=\operatorname{int}V_x=\operatorname{int}((V_x\cap A)\cup(V_x\setminus A))\subseteq\operatorname{int}((V_x\cap A)\cup(X\setminus A))=U_{V_x\cap A}</math>
이므로, <math>\{U_F\}_{F\subseteq A}^{|F|<\aleph_0}</math>는 <math>X</math>의 [[열린 덮개]]를 이룬다. 가산 무한 집합의 유한 부분 집합의 수는 가산하므로, 이는 <math>X</math>의 가산 덮개이다. 임의의 유한 부분 집합 <math>F\subseteq A</math>에 대하여,
:<math>U_F\cap A\subseteq(F\cup(X\setminus A))\cap A\subseteq F</math>
이므로, <math>U_F\cap A</math>는 [[유한 집합]]이다. 따라서, <math>\{U_F\}_{F\subseteq A}^{|F|<\aleph_0}</math>의 유한 부분 덮개는 존재하지 않으며, <math>X</math>는 가산 콤팩트 공간이 아니다.

'''모든 무한 집합이 <math>\aleph_0</math>-집적점을 가짐 ⇒ 모든 점렬이 수렴 부분 그물을 가짐:''' <math>X</math>의 모든 무한 집합이 <math>\aleph_0</math>-[[집적점]]을 가지며, <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>이 <math>X</math> 속의 점렬이라고 하자. 만약 <math>\{x_0,x_1,\dots\}</math>이 [[유한 집합]]이라면, <math>x_{n_0}=x_{n_1}=\cdots</math>인 <math>n_0<n_1<\cdots</math>가 존재하다. 그렇다면, <math>(x_{n_k})_{n=0}^\infty</math>는 <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>의 상수 부분 점렬이며, 특히 수렴 부분 그물이다. 만약 <math>\{x_0,x_1,\dots\}</math>이 [[무한 집합]]이라면, 그 <math>\aleph_0</math>-[[집적점]] <math>x</math>가 존재하며, 임의의 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>\{n\colon x_n\in U\}</math>는 <math>\mathbb N</math>의 [[공종 집합]]이다. 즉, <math>x</math>는 어떤 부분 그물의 [[극한]]이다.

'''모든 점렬이 수렴 부분 그물을 가짐 ⇒ 모든 가산 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가짐:''' <math>X</math>의 가산 열린 덮개 <math>\{U_0,U_1,\dots\}</math>가 유한 부분 덮개를 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>x_n\in X\setminus(U_0\cup\cdots\cup U_n)</math>
를 고를 수 있다. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\in U_i</math>인 <math>i\in\mathbb N</math>이 존재한다. 그런데, 임의의 <math>n\ge i</math>에 대하여 <math>x_n\not\in U_i</math>이므로, <math>\{n\in\mathbb N\colon x_n\in U_i\}</math>은 [[공종 집합]]이 아니며, <math>x</math>는 <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>의 부분 그물의 극한이 아니다. 즉, <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>의 수렴 부분 그물은 존재하지 않는다.
{{증명 끝}}

=== 극한점 콤팩트 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''극한점 콤팩트 공간'''(極限點compact空間, {{llang|en|limit point compact space}}) 또는 '''약가산 콤팩트 공간'''(弱可算compact空間, {{llang|en|weakly countably compact space}})이라고 한다.<ref name="Munkres"/>{{rp|178}}
* 모든 [[무한 집합]]은 [[극한점]]을 갖는다.
* 모든 [[이산 공간|이산]] [[닫힌집합]]은 유한하다.

== 성질 ==
가산 콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 가산 콤팩트 공간이다. 마찬가지로, 극한점 콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 극한점 콤팩트 공간이다.

가산 콤팩트 공간의 [[연속 함수]]에 대한 [[상 (수학)|상]]은 가산 콤팩트 공간이다. 극한점 콤팩트 공간의 연속적 상은 극한점 콤팩트 공간일 필요가 없다.

[[콤팩트 공간]]과 가산 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 가산 콤팩트 공간이다. [[점렬 콤팩트 공간]]과 가산 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 가산 콤팩트 공간이다.

=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| || || [[콤팩트 공간]]
|-
| || ↗ || || ↘
|-
| [[뇌터 공간]] || || || || 가산 콤팩트 공간 || → || [[희박 콤팩트 공간]] || → || [[유사 콤팩트 공간]]
|-
| || ↘ || || ↗ || || ↘
|-
| || || [[점렬 콤팩트 공간]] || || || || 극한점 콤팩트 공간
|}
{{증명|부제=가산 콤팩트 공간 ⇒ 극한점 콤팩트 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 [[극한점]]을 갖지 않는 무한 부분 집합을 갖는다고 하자. 그렇다면, 무한 부분 집합의 가산 무한 부분 집합을 잡을 수 있으므로, [[극한점]]을 갖지 않는 가산 무한 부분 집합
:<math>\{a_0,a_1,\dots\}\subseteq X</math>
가 존재한다. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x</math>는 <math>\{a_0,a_1,\dots\}</math>의 [[극한점]]이 아니므로,
:<math>U_x\setminus\{x\}\cap\{a_0,a_1,\dots\}=\varnothing</math>
인 [[근방]] <math>U_x\ni x</math>가 존재한다. 특히, <math>x=a_i</math>인 경우 <math>\{a_i\}</math>는 [[열린집합]]이며, <math>x\in X\{a_0,a_1,\dots\}</math>인 경우 <math>\{a_0,a_1,\dots\}</math>는 [[닫힌집합]]이다. 따라서,
:<math>\{X\setminus\{a_0,a_1,\dots\}\}\cup\{\{a_0\},\{a_1\},\dots\}</math>
은 <math>X</math>의 [[가산 집합|가산]] [[열린 덮개]]이며, 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 즉, <math>X</math>는 가산 콤팩트 공간이 아니다.
{{증명 끝}}
[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]에서, <math>\aleph_0</math>-[[집적점]]과 [[극한점]]의 개념은 일치한다. 따라서, [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]에 대하여 가산 콤팩트 공간과 극한점 콤팩트 공간의 개념이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|181, Exercise 4}}

[[유사 콤팩트 공간|유사 콤팩트]] [[정규 공간]]은 극한점 콤팩트 공간이다. [[T4 공간|T<sub>4</sub> 공간]](=정규 하우스도르프 공간)의 경우 가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간·[[희박 콤팩트 공간]]·[[유사 콤팩트 공간]]의 개념이 서로 [[동치]]이다.

[[제1 가산 공간]]에 대하여, [[점렬 콤팩트 공간]]과 가산 콤팩트 공간의 개념이 서로 [[동치]]이다.

위상 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[콤팩트 공간]]이다.
* 가산 콤팩트 공간이며 [[린델뢰프 공간]]이다.
* 가산 콤팩트 공간이며 [[메타콤팩트 공간]]이다.

특히, [[제2 가산 공간]]의 경우 ([[제1 가산 공간]]이자 [[린델뢰프 공간]]이므로), [[콤팩트 공간]]·[[점렬 콤팩트 공간]]·가산 콤팩트 공간의 개념이 [[동치]]이다.

[[거리화 가능 공간]]에서는 [[콤팩트 공간]]·[[점렬 콤팩트 공간]]·가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간·[[희박 콤팩트 공간]]·[[유사 콤팩트 공간]]의 개념이 모두 [[동치]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|179}}

[[에벌라인-시물리얀 정리]]에 따르면, <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(V,\lVert\cdot\rVert)</math> 위에 [[약한 위상]]을 가하였을 때, 그 [[부분 집합]]들에 대하여 [[콤팩트 공간]]·[[점렬 콤팩트 공간]]·가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간의 개념이 [[동치]]이다.

== 예 ==
=== 가산 콤팩트 공간이 아닌 극한점 콤팩트 공간 ===
[[실수]]의 [[전순서 집합]] <math>\mathbb R</math> 위에 [[하위상]]을 주자. 즉, 다음과 같은 꼴의 집합들을 [[열린집합]]들로 하는 위상이다.
:<math>(-\infty,x)\qquad(x\in\mathbb R)</math>
이는 [[콜모고로프 공간]]이지만, [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이 아니다. 임의의 두 실수 <math>x<y</math>에 대하여, <math>x</math>는 <math>\{y\}</math>의 [[극한점]]이다. 또한, <math>\{(-\infty,n)\colon n\in\mathbb N\}</math>은 가산 열린 덮개이지만, 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 따라서, 하위상을 갖춘 실수선은 극한점 콤팩트 공간이지만, 가산 콤팩트 공간이 아니다.

하위상을 갖춘 실수선에서 [[하우스도르프 공간]]으로 가는 [[연속 함수]]는 [[상수 함수]]밖에 없다. 따라서, <math>\mathbb R</math>의 [[하위상]]은 [[유사 콤팩트 공간]]이다. <math>\{(-\infty,0),(-\infty,-1),\cdots\}</math>은 무한 개의 [[열린집합]]들의 [[국소 유한 집합족]]이므로, <math>\mathbb R</math>의 [[하위상]]은 [[희박 콤팩트 공간]]이 아니다.

=== 유사 콤팩트 공간이 아닌 극한점 콤팩트 공간 ===
두 점 [[비이산 공간]] <math>X</math>와 [[가산 무한]] [[이산 공간]] <math>\mathbb Z</math>의 [[곱공간]]
:<math>X\times\mathbb Z</math>
을 생각하자. 이는 [[콜모고로프 공간]]이 아니다. 임의의 <math>(x,n)\in X\times\mathbb Z</math> 및 <math>x'\in X\setminus\{x\}</math>에 대하여 <math>(x',n)</math>은 <math>\{(x,n)\}</math>의 [[극한점]]이다. 따라서, <math>X\times\mathbb Z</math>은 극한점 콤팩트 공간이다. 반면, 사영 함수
:<math>X\times\mathbb Z\to\mathbb Z</math>
는 [[연속 함수]]이지만, 그 [[상 (수학)|상]] <math>\mathbb Z</math>는 <math>\mathbb R</math>의 [[유계 집합]]이 아니다. 즉, <math>X\times\mathbb Z</math>는 [[유사 콤팩트 공간]]이 아니며, 따라서 가산 콤팩트 공간도 아니다.

=== 극한점 콤팩트 공간이 아닌 유사 콤팩트 공간 ===
[[쌍대 가산 위상]]을 갖춘 [[비가산 집합]] <math>X</math>를 생각하자. 즉, <math>X</math>의 [[열린집합]]은 [[공집합]]이거나, [[여집합]]이 [[가산 집합]]이다. [[하우스도르프 공간]] <math>Y</math>에 대하여 [[연속 함수]] <math>X\to Y</math>는 [[상수 함수]]밖에 없다. 따라서 <math>X</math>는 유사 콤팩트 공간이다. <math>X</math>의 [[가산 무한]] 부분 집합은 [[이산 공간|이산]] [[닫힌집합]]이다. 따라서 <math>X</math>는 극한점 콤팩트 공간이 아니다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Countably-compact space}}
* {{nlab|id=countably compact topological space|제목=Countably compact topological space}}
* {{nlab|id=limit point compact space|제목=Limit point compact space}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Countably_compact_space|제목=Countably compact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Limit_point-compact_space|제목=Limit point-compact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{플래닛매스|urlname=countablycompact|제목=Countably compact}}
* {{플래닛매스|urlname=weaklycountablycompact|제목=Weakly countably compact}}
* {{proofwiki|id=Definition:Weakly Countably Compact Space|제목=Definition: countably Compact Space}}
* {{proofwiki|id=Definition:Weakly Countably Compact Space|제목=Definition: weakly Countably Compact Space}}
* {{웹 인용|제목=Countably compact|언어=en|웹사이트=Encyclopedia of Compactness Wiki|url=https://wikiwiki.jp/compactness/countably%20compact|확인날짜=2024-07-22}}
* {{웹 인용|제목=Limit point compact|언어=en|웹사이트=Encyclopedia of Compactness Wiki|url=https://wikiwiki.jp/compactness/limit%20point%20compact|확인날짜=2024-07-22}}
* {{웹 인용|제목=Weakly countably compact|언어=en|웹사이트=Encyclopedia of Compactness Wiki|url=https://wikiwiki.jp/compactness/weakly%20countably%20compact|확인날짜=2024-07-22}}

[[분류:위상 공간의 성질]]