가산 생성 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''가산 생성 공간'''(可算生成空間, {{llang|en|countably generated space}}) 또는 '''가산 밀착 공간'''(可算密着空間, {{llang|en|countably tight space}})은 그 위상이 [[가산 집합|가산]] [[부분 공간]]들에 의하여 결정되는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 이와 [[동치]]인 정의로서, [[부분 집합]]의 [[폐포점]]이 항상 그 가산 부분 집합의 폐포점일 정도로 ‘지나치게 촘촘하지 않은’ 위상 공간이다.

== 정의 ==
=== 국소 가산 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\operatorname{loc\,card}(x,X)</math>가 <math>x</math>의 [[근방]]의 최소 크기라고 하자.
:<math>\operatorname{loc\,card}(x,X)=\min_{U\in\mathcal N_x}|U|</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''국소 크기'''(局所크기, {{llang|en|local cardinality}}) <math>\operatorname{loc\,card}(X)</math>는 모든 <math>\operatorname{loc\,card}(x,X)</math>들의 [[상한]]이다.<ref name="Vaughan">{{저널 인용
|이름1=J. E.
|성1=Vaughan
|제목=Countably compact, locally countable T2-spaces
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=80
|호=1
|쪽=147–153
|날짜=1980
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2042162
|mr=574525
|zbl=0444.54013
|jstor=2042162
}}</ref>{{rp|148}}
:<math>\operatorname{loc\,card}(X)=\sup_{x\in X}\operatorname{loc\,card}(x,X)</math>

국소 크기가 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 '''국소 가산 공간'''이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 [[가산 집합|가산]] [[근방]]을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref name="Vaughan" />{{rp|149}}

=== 가산 생성 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 부분 집합 <math>A\subseteq X</math> 및 <math>x\in\operatorname{cl}A</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{tight}(x,A,X)=\min_{B\subseteq A}^{x\in\operatorname{cl}B}|B|</math>
라고 하자.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>에서의 '''국소 밀착도'''(局所密着度, {{llang|en|local tightness}}) <math>\operatorname{tight}(x,X)</math>는 다음과 같다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|이름1=Mary Ellen
|성1=Rudin
|제목=Lectures on set theoretic topology
|url=https://archive.org/details/lecturesonsetthe0000rudi
|언어=en
|총서=Regional Conference Series in Mathematics
|출판사=American Mathematical Society
|위치=Providence, Rhode Island
|날짜=1975
|isbn=0-8218-1673-X
|zbl=0318.54001
}}</ref>{{rp|62, §XI.A}}
:<math>\operatorname{tight}(x,X)=\sup_{A\subseteq X}^{x\in\operatorname{cl}A}\operatorname{tight}(x,A,X)</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''밀착도'''(密着度, {{llang|en|tightness}}) <math>\operatorname{tight}(X)</math>는 국소 밀착도들의 [[상한과 하한|상한]]이다.<ref name="Rudin" />{{rp|62, §XI.A}}<ref name="TkachukI" />{{rp|13, §1.2}}
:<math>\operatorname{tight}(X)=\sup_{x\in X}\operatorname{tight}(x,X)</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''가산 생성 공간'''이라고 한다.
* 밀착도가 <math>\aleph_0</math> 이하이다.<ref name="Kannan" />{{rp|657}} 즉, 임의의 <math>A\subseteq X</math> 및 <math>x\in\operatorname{cl}A</math>에 대하여, <math>x\in\operatorname{cl}B</math>인 가산 부분 집합 <math>B\subseteq A</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>U\subseteq X</math>에 대하여, 만약 임의의 [[가산 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여 <math>U\cap A</math>가 <math>A</math>의 [[열린집합]]이라면, <math>U</math>는 열린집합이다.
* 임의의 <math>F\subseteq X</math>에 대하여, 만약 임의의 [[가산 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여 <math>F\cap A</math>가 <math>A</math>의 [[닫힌집합]]이라면, <math>F</math>는 닫힌집합이다.
* 국소 가산 공간의 [[몫공간]]이다.<ref name="Kannan">{{저널 인용
|이름1=V.
|성1=Kannan
|제목=A note on countably generated spaces
|언어=en
|저널=Archiv der Mathematik
|권=25
|쪽=657–658
|날짜=1974
|issn=0003-889X
|doi=10.1007/BF01238744
|zbl=0296.54024
}}</ref>{{rp|657}}

== 성질 ==
모든 [[점렬 공간]]은 가산 생성 공간이자 [[콤팩트 생성 공간]]이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 가산 생성 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이 항상 [[점렬 공간]]인지 여부는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 독립적이다. 구체적으로, 만약 [[고유 강제법 공리]]가 참이라면, 모든 가산 생성 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]은 [[점렬 공간]]이다.<ref name="Balogh">{{저널 인용
|이름1=Zoltán
|성1=Balogh
|제목=On compact Hausdorff spaces of countable tightness
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=105
|호=3
|쪽=755–764
|날짜=1989
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2046929
|mr=0930252
|zbl=0687.54006
|jstor=2046929
}}</ref>{{rp|755}} 반면 만약 [[다이아몬드 원리]]가 참이라면, [[점렬 공간]]이 아닌 가산 생성 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이 존재한다.<ref name="Balogh" />{{rp|755}}

가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[쌍대 반사 부분 범주]]를 이룬다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
가산 생성 공간은 [[부분 공간]]과 [[몫공간]]에 대하여 닫혀 있지만, [[연속 함수]]에 대한 [[상 (수학)|상]]이나 [[곱공간]]에 대하여 닫혀 있지는 않다.

==== 부분 공간 ====
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 그 [[부분 공간]] <math>Y\subset X</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{tight}(Y)\le\operatorname{tight}(X)</math>
이다.<ref name="TkachukI" />{{rp|19, Problem 159}} 특히, 가산 생성 공간의 부분 공간은 항상 가산 생성 공간이다.

==== 몫공간 ====
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 그 [[몫공간]] <math>X/\mathord\sim</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{tight}(X/\mathord\sim)\le\operatorname{tight}(X)</math>
이다.<ref name="TkachukI" />{{rp|20, Problem 162}} 특히, 가산 생성 공간의 [[몫공간]]은 항상 가산 생성 공간이다.

==== 연속 함수에 대한 상 ====
가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다.<ref name="TkachukI" />{{rp|19, Problem 158}} 예를 들어, [[이산 공간]]의 밀착도는 1이므로 가산 생성 공간이며, 비(非)[[린델뢰프 공간]]의 [[연속 함수]] 공간 위에 [[점별 수렴 위상]]을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 후자는 그 위상을 [[이산 위상]]으로 대체한 공간의 연속적 상이다.

==== 곱공간 ====
임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]들의 집합 <math>(X_i)_{i\in I}</math>의 [[곱공간]]의 밀착도는 다음과 같다.<ref name="Monk">{{서적 인용
|이름1=J. Donald
|성1=Monk
|제목=Cardinal Functions on Boolean Algebras
|언어=en
|판=
|총서=Lectures in Mathematics. ETH Zürich
|출판사=Birkhäuser
|위치=Basel
|날짜=1990
|isbn=978-3-7643-2495-7
|doi=10.1007/978-3-0348-6381-0
|mr=1077622
|zbl=0706.06009
}}</ref>{{rp|86, Theorem 10.6}}
:<math>\operatorname{tight}\left(\prod_{i\in I}X_i\right)=\max\left\{|\{i\in I\colon|X_i|\ge 2\}|,\sup_{i\in I}\operatorname{tight}(X_i)\right\}</math>
특히, 가산 개의 가산 생성 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]들의 곱공간은 가산 생성 공간이다.

=== 콤팩트 공간 ===
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌을 때, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 길이 <math>\kappa</math>의 '''자유 점렬'''({{llang|en|free sequence}})은 다음 조건을 만족시키는 [[그물 (수학)|그물]] <math>(x_\alpha\colon\alpha<\kappa)\subset X</math>이다.
:<math>\operatorname{cl}\{x_\alpha\colon\alpha<\beta\}\cap\operatorname{cl}\{x_\alpha\colon\beta\le\alpha<\kappa\}=\varnothing\qquad(\forall\beta<\kappa)</math>
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 [[상한과 하한|상한]]과 같다.<ref name="Monk" />{{rp|36, Theorem 2.10}}<ref name="TkachukI">{{서적 인용
|이름1=Vladimir V.
|성1=Tkachuk
|제목=A Cp-Theory Problem Book: Topological and Function Spaces
|언어=en
|총서=Problem Books in Mathematics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2011
|isbn=978-1-4419-7441-9
|issn=0941-3502
|doi=10.1007/978-1-4419-7442-6
|mr=3024898
|zbl=1222.54002
|lccn=2011923537
}}</ref>{{rp|38, Problem 328}}

== 예 ==
=== 점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간 ===
집합 <math>\mathbb Q\cap[0,1]</math> 위에 다음 집합들을 [[열린집합]]으로 하는 위상을 주자.
* 통상적인 [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb Q\cap[0,1]</math>
* 통상적인 0의 [[열린 근방]] <math>U\ni 0</math>과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는, 0이 아닌 수열 <math>(x_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb Q\cap(0,1]</math>에 대하여, <math>U\setminus\{x_0,x_1,x_2,\dots\}</math>
이는 (가산 공간이므로) 가산 생성 공간이지만, [[점렬 공간]]이 아니다.<ref name="Brown">{{서적 인용
|이름1=Ronald
|성1=Brown
|제목=Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid
|언어=en
|판=3차 개정 증보판
|날짜=2006
|isbn=1-4196-2722-8
|zbl=1093.55001
}}</ref>{{rp|62, Excercise 2.10.7}} 구체적으로, <math>\{0\}</math>은 [[점렬 열린집합]]이지만, [[열린집합]]이 아니다.

=== 함수 공간 ===
[[티호노프 공간]] <math>X</math>가 주어졌을 때, [[점별 수렴 위상]]을 부여한 [[연속 함수]] 공간 <math>\mathcal C_{\operatorname{pw}}(X,\mathbb R)</math>의 밀착도는 다음과 같다.<ref name="TkachukI" />{{rp|18, Problem 149}}
:<math>\operatorname{tight}(\mathcal C_{\operatorname{pw}}(X,\mathbb R))=\sup_{n\in\mathbb N}L(X^n)</math>
여기서 <math>L</math>은 [[린델뢰프 수]]이다. 특히, [[티호노프 공간]] <math>X</math>에 대하여, <math>\mathcal C_{\operatorname{pw}}(X,\mathbb R)</math>가 가산 생성 공간인 것은 임의의 유한 번 [[곱공간]] <math>X^n</math>이 [[린델뢰프 공간]]인 것과 [[동치]]이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Tightness of a topological space}}
* {{nlab|id=countably tight space|제목=Countably tight space}}
* {{웹 인용
|url=https://dantopology.wordpress.com/2015/06/01/several-ways-to-define-countably-tight-spaces/
|확인날짜=2021-12-31
|url-status=live
|보존url=https://web.archive.org/web/20201113102123/https://dantopology.wordpress.com/2015/06/01/several-ways-to-define-countably-tight-spaces/
|보존날짜=2020-11-13
|제목=Several ways to define countably tight spaces
|웹사이트=Dan Ma's Topology Blog
|날짜=2015-06-01
|이름=Dan
|성=Ma
|언어=en
}}
* {{웹 인용
|url=https://dantopology.wordpress.com/2015/06/01/tightness-and-free-sequences/
|확인날짜=2022-01-15
|url-status=live
|보존url=https://web.archive.org/web/20211230222145/https://dantopology.wordpress.com/2015/06/01/tightness-and-free-sequences/
|보존날짜=2021-12-30
|제목=Tightness and free sequences
|웹사이트=Dan Ma's Topology Blog
|날짜=2015-06-01
|이름=Dan
|성=Ma
|언어=en
}}

[[분류:일반위상수학]]