가법성 문서 원본 보기

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'''가법성'''(加法性, Additivity, 덧셈 사상, 가산 사상)은 정의역의 두 함수들에 대한 함수와 항상 각 함수의 값 합계가 서로 같은 값을 반환한다는 함수의 성질을 말한다. [[대수학]] [[정수론|수이론]]에서 덧셈 사상 또는 Z-[[선형사상]] 또는 [[덧셈함수|가산함수]]는 [[덧셈|가산]] 연산을 보존하는 함수이다.
:<math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>

가법성 함수의 특성은 [[준가법성]]의 특수한 경우이지만 보다 일반적으로 다루어지기도 한다.
이러한 덧셈함수(가산함수)는 [[수론적 함수]]이다.

==가산함수==
덧셈함수는 양의 정수 <math>n</math> 의 산술함수(수론적 함수) <math>f ( n )</math>이며, <math>a</math> 와 <math>b</math> 가 [[서로소]] 일 때 각각의 함수합은 다음과 같은 함수의 합이다.<ref name="Erdos1939">Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1077746/ online]</ref>
:<math>f(ab)=f(a)+f(b)</math>


==곱셈함수==
임의의 가산 함수<math> f (n)</math>로부터, 관련된 곱셈 함수<math> g (n)</math>을 생성하기 쉽다. 즉, <math>a</math> 및 <math>b</math>가 서로 가중 될 때마다
:<math>g(ab)=g(a)\cdot g(b)</math>

==코시함수방정식==
가법성이 일반적으로 다루어진 코시함수방정식<ref name="KMO">{{서적 인용 |저자=류한영, 강형종, 이주형 |제목=한국수학올림피아드 모의고사 및 풀이집 |연도=2007}}</ref>

:<math>f(x)</math>가 <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>를 만족하면 <math>f(x)=kx</math>(단, k는 상수)이다.

:<math>f(x)</math>가 <math>f(x+y)=f(x)\times f(y)</math>를 만족하면 <math>f(x)=a^x</math>(단, a는 양의 실수)이다.
:<math>f(x)</math>가 <math>f(xy)=f(x)+f(y)</math>를 만족하면 <math>f(x)=log_{a}x</math>(단, <math>a>0, a\neq1</math>인 실수)이다.
:<math>f(x)</math>가 <math>f(xy)=f(x)\times f(y)</math>를 만족하면 <math>f(x)=x^n</math>(단, n는 실수)이다.

== 같이 보기 ==
* [[코시 함수 방정식]]
* [[곱셈함수]]
* [[덧셈함수|가산함수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [http://mathworld.wolfram.com/CountableAdditivityProbabilityAxiom.html 매스월드]
* [http://mathworld.wolfram.com/LinearTransformation.html 매스월드]

[[분류:함수와 사상]]