가네아 추측 문서 원본 보기

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'''가네아 추측'''(Ganea's conjecture)은 [[대수적 위상수학]]의 명제 중 하나로, 반례가 발견되어 거짓임이 밝혀졌다.

== 역사 ==

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[류스테르니크-시니렐만 범주]] <math>\operatorname{cat}(X)</math>에는 다음과 같은 성질이 있다:

* <math>\operatorname{cat}(X \times Y) \le \operatorname{cat}(X) +\operatorname{cat}(Y)</math>
* <math>\operatorname{cat}(S^n)=1</math> (단, <math>S^n</math>는 n차원 [[구 (기하학)|구]])

그러므로 <math>\operatorname{cat}(X \times S^n) \le \operatorname{cat}(X) + 1</math>이 성립한다.

1971년 {{임시링크|투도르 가네아|en|Tudor Ganea}}는 여기서 등식이 성립한다고 추측했다.<ref>{{콘퍼런스 인용
 | last = Ganea | first = Tudor|authorlink=투도르 가네아
 | contribution = Some problems on numerical homotopy invariants
 | doi = 10.1007/BFb0060892
 | location = Berlin
 | mr = 0339147
 | pages = 23–30
 | publisher = Springer
 | series = Lecture Notes in Mathematics
 | title = Symposium on Algebraic Topology (Battelle Seattle Res. Center, Seattle Wash., 1971)
 | volume = 249
 | year = 1971}}</ref>

{{인용문|'''가네아 추측''' (반증됨)

임의의 위상 공간 <math>X</math>와 자연수 <math>n>0</math>에 대해 다음이 성립한다:

: <math>  \operatorname{cat}(X \times S^n)=\operatorname{cat}(X) +1</math>}}

하지만 1998년 [[이와세 노리오]]가 위 명제에 대한 반례를 발견하였으며,<ref>{{저널 인용|first=Norio |last=Iwase |title=Ganea’s conjecture on Lusternik–Schnirelmann category |journal=Bulletin of the London Mathematical Society |volume=30 |year=1998 |issue=6 |pages=623–634 |doi=10.1112/S0024609398004548 |mr=1642747 | 언어=en }}</ref> 2002년에는 <math>X</math>가 닫힌 매끄러운 다양체일 경우에도 반례가 존재함을 보였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/S0040-9383(00)00045-8 |first=Norio |last=Iwase |title=A<sub>∞</sub>-method in Lusternik–Schnirelmann category |url=https://archive.org/details/sim_topology_2002-07_41_4/page/n54 |journal=[[Topology (journal)|Topology]] |volume=41 |year=2002 |issue=4 |pages=695–723 |mr=1905835 |arxiv=math/0202119 }}</ref>

정확히 어떤 공간 <math>X</math>에 대해서 등식이 성립하는지는 아직 밝혀져 있지 않다.

== 참고 문헌 ==

<references/>

[[분류:반증된 추측]]
[[분류:대수적 위상수학]]