가군의 깊이 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''깊이'''({{llang|en|depth}})는 [[가군]]의 “크기”를 측정하는 정수이다. [[국소환]]의 경우 이는 [[크룰 차원]] 이하이며, [[사영 차원]]과 깊은 관계를 갖는다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[뇌터 가환환]] <math>R</math>
* <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>
* <math>R</math>의 [[유한 생성 가군]] <math>M</math>. 또한, <math>\mathfrak aM\subsetneq M</math>이라고 하자.

그렇다면 다음 두 정수가 서로 같으며, 이를 <math>M</math>의 '''<math>\mathfrak a</math>-깊이'''({{llang|en|<math>\mathfrak a</math>-depth}}) <math>\operatorname{depth}_{\mathfrak a}(M)</math>라고 한다.
* <math>\min \{n\colon \operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak a,M)\ne 0\}</math>. 즉, [[Ext 함자]]가 0이 아니게 되는 가장 작은 차수<ref name="Eisenbud"/>{{rp|450, Proposition 18.4}}
* <math>\mathfrak a</math>에 포함된 <math>M</math>의 [[정칙렬]]의 최대 길이<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|425}}

== 성질 ==
가환 뇌터 [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math> 위의 [[유한 생성 가군]] <math>M</math>의 경우, 그 깊이는 [[크룰 차원]] 이하이다.
:<math>\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M\le\dim_RM</math>
또한, 다음이 성립한다.
* <math>\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M=0\iff \mathfrak m\in\operatorname{Ass}_RM</math>
여기서 <math>\operatorname{Ass}_RM\subseteq\operatorname{Spec}R</math>은 <math>M</math>의 [[연관 소 아이디얼]]들의 집합이다.

=== 오슬랜더-북스바움 공식 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[뇌터 가환환|뇌터 가환]] [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>
* <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군]] <math>M</math>. 또한, <math>-\infty<\operatorname{pd}_RM<\infty</math>이라고 하자 (<math>\operatorname{pd}</math>는 [[사영 차원]]).
그렇다면 다음이 성립한다 ('''오슬랜더-북스바움 공식''' {{llang|en|Auslander–Buchsbaum formula}}).<ref>{{저널 인용 | last1=Auslander | first1=Maurice | last2=Buchsbaum | first2=David Alvin | 저자링크2=데이비드 북스바움 | title=Homological dimension in local rings | jstor=1992937 | mr=0086822 | year=1957 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=85 | pages=390–405|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 3.7}}
:<math>\operatorname{pd}_RM+\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M=\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Depth of a module}}
* {{웹 인용|url=https://commalg.subwiki.org/wiki/Depth_of_an_ideal | 제목=Depth of an ideal | 웹사이트=Commalg | 언어=en}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:가군론]]