가군의 근기 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서, [[가군]]의 '''근기'''(根基, {{llang|en|radical|래디컬}})는 모든 [[극대 부분 가군]]에 포함되는 가장 큰 [[부분 가군]]이다. 반대로, [[가군]]의 '''주각'''(柱脚, {{llang|en|socle|소클}})은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 [[부분 가군]]이다.

환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 '''제이컵슨 근기'''(Jacobson根基, {{llang|en|Jacobson radical}})라고 한다. 이는 대략 [[단순 가군]]으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 [[아이디얼]]이다.

== 정의 ==
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 주어졌다고 하자. <math>M</math>의 진부분 가군 가운데 [[극대 원소]]를 '''[[극대 부분 가군]]'''이라고 하자. (즉, [[극대 부분 가군]] <math>_RN\subsetneq{}_RM</math>은 <math>_R(M/N)</math>이 [[단순 가군]]이 되는 것이다.) 마찬가지로, <math>M</math>의, [[영가군]]이 아닌 [[부분 가군]] 가운데 [[극소 원소]](즉, [[부분 가군]] 가운데 [[단순 가군]]인 것)를 '''극소 부분 가군'''({{llang|en|minimal submodule}})이라고 하자.

환 <math>R</math> 위의  [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 '''근기'''(根基, {{llang|en|radical}}) <math>\operatorname{rad}M</math>와 '''주각'''(柱脚, {{llang|en|socle}}) <math>\operatorname{soc}M</math>을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.

[[왼쪽 가군]] <math>M</math>의 모든 [[극대 부분 가군]]들의 [[교집합]]은  <math>M</math>의 [[잉여적 부분 가군]]들의 합과 일치하며, 이를 <math>M</math>의 '''근기''' <math>\operatorname{rad}M\subseteq M</math>라고 한다. (만약 [[극대 부분 가군]]이 존재하지 않는다면 이는 <math>M</math>과 같다.) [[왼쪽 가군]] <math>M</math>의 모든 극소 부분 가군들의 합은 <math>M</math>의 [[본질적 부분 가군]]들의 [[교집합]]과 일치하며, 이를 <math>M</math>의  '''주각''' <math>\operatorname{soc}M\subseteq M</math>이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) [[오른쪽 가군]]의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.

=== 환의 근기와 주각 ===
환 <math>R</math>를 스스로 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RR</math> 또는 [[오른쪽 가군]] <math>R_R</math>으로 생각할 수 있다. 이 경우, <math>_RR</math>와 <math>R_R</math>의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

<math>_RR</math>와 <math>R_R</math>의 근기는 <math>R</math>의 동일한 [[부분 집합]]을 정의한다.
:<math>\operatorname{rad}(_RR)=\operatorname{rad}(R_R)\subseteq R</math>
이는 ([[왼쪽 아이디얼]]이자 [[오른쪽 아이디얼]]이므로) [[양쪽 아이디얼]]을 이루며, <math>R</math>의 '''제이컵슨 근기'''({{llang|en|Jacobson radical}})라고 한다.

근기의 경우와 달리, 일반적으로 <math>\operatorname{soc}(_RR)</math>(=모든 단순 [[왼쪽 아이디얼]]의 합)과 <math>\operatorname{soc}(R_R)</math>(=모든 단순 [[오른쪽 아이디얼]]의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 <math>R</math>의 '''왼쪽 주각'''({{llang|en|left socle}}) 및 '''오른쪽 주각'''({{llang|en|right socle}})이라고 한다.

== 성질 ==
임의의 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>f\colon {}_RM\to{}_RN</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>f(\operatorname{rad}M)\subseteq\operatorname{rad}N</math>
:<math>f(\operatorname{soc}M)\subseteq\operatorname{soc}N</math>

모든 [[유한 생성 가군]]은 ([[초른 보조정리]]에 따라) 적어도 하나 이상의 [[극대 부분 가군]]을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 <math>_RM</math>의 경우 <math>M\ne\operatorname{rad}(_RM)</math>이다.

가군의 (유한 또는 무한) [[직합]]
:<math>M=\bigoplus_{i\in I}M_i</math>
에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{soc}M\cong\bigoplus_{i\in I}\operatorname{soc}M_i</math>
:<math>\operatorname{rad}M\cong\bigoplus_{i\in I}\operatorname{rad}M_i</math>

모든 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{rad}\left(_MR/\operatorname{rad}(_RM)\right)=0</math>
:<math>\operatorname{soc}\left(\operatorname{soc}(_RM)\right)=\operatorname{soc}(_RM)</math>

=== 환·가군 성질의 필요충분조건 ===
[[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[반단순 가군]]이다.
* <math>\operatorname{soc}(_RM)=M</math>이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[반단순환]]이다.
* <math>\operatorname{soc}(_RR)=R</math>이다.
* <math>\operatorname{soc}(R_R)=R</math>이다.
* 모든 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 <math>\operatorname{soc}(_RM)=M</math>이다.
* 모든 [[오른쪽 가군]] <math>M_R</math>에 대하여 <math>\operatorname{soc}(M_R)=M</math>이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[반원시환]]이다.
* <math>\operatorname{rad}R=0</math>이다.

=== 아이디얼성 ===
제이컵슨 근기는 [[양쪽 아이디얼]]이다. 모든 환은 ([[초른 보조정리]]에 따라) 적어도 하나 이상의 [[극대 아이디얼]]을 가지므로, [[자명환]]이 아닌 환 <math>R</math>의 경우 <math>R\ne\operatorname{rad}(R)</math>이다.

환 <math>R</math>의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 [[양쪽 아이디얼]]이다.

=== 나카야마 보조정리 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 주어졌다고 하자. <math>\operatorname{rad}R</math>는 [[아이디얼]]이므로,
:<math>(\operatorname{rad}R)M=\left\{r_1m_1+r_2m_2+\cdots+r_km_k\colon k\in\mathbb N,\;r_1,\dots,r_k\in\operatorname{rad}R,\;m_1,\dots,m_k\in M\right\}\subseteq M</math>
는 <math>_RM</math>의 [[부분 가군]]을 이룬다. '''나카야마 보조정리'''({{llang|en|Nakayama lemma}})에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.
* <math>M</math>은  [[유한 생성 왼쪽 가군]]이 아니다.
* <math>(\operatorname{rad}R)M\subsetneq M</math>이다.
* <math>M=0</math>이다.
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>_RM</math>이 [[영가군]]이 아닌 [[유한 생성 왼쪽 가군]]이라고 하자. <math>m_1,\dots,m_k\in M</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* ([[생성 집합]]) <math>Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_k=M</math>
* (극소성) 임의의 <math>1\le i\le k</math>에 대하여, <math>Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_{i-1}+Rm_{i+1}+\cdots+Rm_k\ne M</math>
<math>M</math>이 [[영가군]]이 아니므로 <math>k\ge1</math>이다.

[[귀류법]]을 사용하여, <math>\operatorname{rad}(R)M=M</math>이라고 가정하자. 그렇다면,
:<math>\sum_{i=1}^km_i=\sum_{i=1}^kj_ir_im_i</math>
가 되는 <math>r_1,\dots,r_k\in R</math> 및 <math>j_1,\dots,j_k\in\operatorname{rad}(R)</math>가 존재한다. [[제이컵슨 근기]]의 성질에 의하여, 모든 <math>1\le i\le k</math>에 대하여 <math>1-j_ir_i\in R^\times</math>는 [[가역원]]이다. 따라서,
:<math>m_1=-(1-j_1r_1)^{-1}\sum_{i=2}^k(1-j_ir_i)m_i</math>
가 되며, 이는 <math>\{m_1,\dots,m_k\}</math>의 극소성과 모순된다.
</div></div>

=== 제이컵슨 근기의 원소의 성질 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>r\in\operatorname{rad}R</math>이다.
* 임의의 왼쪽 [[단순 가군]] <math>M</math>에 대하여, <math>rM=\{0\}</math>이다.
* 임의의 오른쪽 [[단순 가군]] <math>M</math>에 대하여, <math>Mr=\{0\}</math>이다.
* 모든 왼쪽 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대하여, <math>r\in\mathfrak m</math>
* 모든 오른쪽 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대하여, <math>r\in\mathfrak m</math>
* 모든 <math>s\in R</math>에 대하여, <math>1-rs</math>는 [[가역원]]이다.
* 모든 <math>s\in R</math>에 대하여, <math>1-sr</math>는 [[가역원]]이다.
* 모든 <math>s,s'\in R</math>에 대하여, <math>1-srs'</math>는 [[가역원]]이다.
즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) [[극대 아이디얼]]들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 [[소멸자]]들의 교집합이다. (이는 [[가환환]]의 [[영근기]]가 모든 [[소 아이디얼]]들의 교집합인 것과 유사하다.)

[[가환환]] <math>R</math>의 제이컵슨 근기는 [[영근기]]를 부분 아이디얼로 갖는다.
:<math>\sqrt{(0)}\subseteq\operatorname{rad}R</math>
만약 [[가환환]] <math>R</math>가 [[정수환]] 위의 유한 생성 [[단위 결합 대수]]이거나, 아니면 [[체 (수학)|체]] 위의 유한 생성 [[단위 결합 대수]]라면, 제이컵슨 근기는 [[영근기]]와 같다.

== 예 ==
=== 환의 근기와 주각 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>는 [[영 아이디얼]]와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 [[영 아이디얼]]이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.
:<math>\operatorname{rad}K=0</math>
:<math>\operatorname{soc}K=K</math>
보다 일반적으로, 모든 [[원시환]]의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 <math>\mathbb Z</math>의 근기는 영 아이디얼이다.

[[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>의 근기는 ([[극대 아이디얼]]이 하나밖에 없으므로) 유일한 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>이다.

정수환의 [[몫환]] <math>\mathbb Z/(n)</math>의 극대 아이디얼들은 <math>n\in\mathbb Z</math>의 소인수들의 [[주 아이디얼]]이다. 따라서, <math>n</math>의 [[소인수 분해]]가
:<math>n=\prod_ip_i^{n_i}</math>
라면, <math>\mathbb Z/(n)</math>의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 [[영근기]]와 같으며, 만약 <math>n</math>이 [[제곱 인수가 없는 정수]]라면 이는 영 아이디얼과 같다.
:<math>\operatorname{rad}(\mathbb Z/(n))=\sqrt{(0)}=(\prod_ip_i)\subseteq\mathbb Z/(n)</math>

=== 아벨 군의 근기와 주각 ===
[[아벨 군]]은 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 [[가군]]과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.

==== 순환군 ====
[[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여 <math>p\mathbb Z</math>의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 [[자명군]]이다.
:<math>\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Z)=\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Z)=0</math>

임의의 자연수 <math>n</math>의 [[소인수 분해]]
:<math>n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기
:<math>\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k</math>
를 정의할 수 있다. <math>n</math>차 [[순환군]] <math>\mathbb Z/n</math>의 극소 부분군은 <math>n</math>의 소인수 <math>p_i</math> 크기의 순환군 <math>(n/p_i)\mathbb Z/n</math>이며, 극대 부분군은 <math>n/p_i</math> 크기의 순환군 <math>(p_i)\mathbb Z/n</math>에 대응한다. 따라서, 이 경우
:<math>\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n))=(\operatorname{rad}n)\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/(n/\operatorname{rad}n))</math>
:<math>\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n))=(n/\operatorname{rad}n)\mathbb Z/n\cong\mathbb Z/(\operatorname{rad}n)</math>
이다.

==== 나눗셈군 ====
[[나눗셈군]](예를 들어, [[유리수체]]의 덧셈군이나 [[프뤼퍼 군]])은 극대 부분군을 갖지 않으므로, [[나눗셈군]]은 스스로의 근기와 같다. [[유리수체]]의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.
:<math>\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Q)=\mathbb Q</math>
:<math>\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Q)=0</math>
[[프뤼퍼 군]]의 부분군들은
:<math>0\subsetneq p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z\subsetneq p^{-2}\mathbb Z/\mathbb Z\subsetneq\cdots\subset\mathbb Z(p^\infty)</math>
이므로, 그 유일한 극소 부분군은 <math>p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z</math>이며, 이는 그 주각과 같다.
:<math>\operatorname{rad}(_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^\infty))=\mathbb Z(p^\infty)</math>
:<math>\operatorname{soc}(_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^\infty))=p^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z</math>

== 역사 ==
[[환 (수학)|환]]의 주각의 개념은 [[장 디외도네]]가 1942년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Sur le socle d’un anneau et les anneaux simple infinis|이름=Jean|성=Dieudonné|저자링크=장 디외도네|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|날짜=1942|issn=0037-9484|권=70|쪽=46–75|url= http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1942__70__46_0|zbl=0060.07203 |언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Lectures on rings and modules|판=3|이름=Joachim|성=Lambek|출판사=Chelsea Publishing Company|날짜=1986|mr=0206032|언어=en}}</ref>{{rp|168}}

제이컵슨 근기의 개념은 [[네이선 제이컵슨]]이 1945년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Jacobson | first1=Nathan | author1-link=네이선 제이컵슨 | title=The radical and semi-simplicity for arbitrary rings | url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1945-04_67_2/page/n130 | doi=10.2307/2371731 | mr=12271 | 날짜=1945 | journal=American Journal of Mathematics | issn=0002-9327 | volume=67 | pages=300–320|언어=en}}</ref>

나카야마 보조정리는 [[나카야마 다다시]]가 1951년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Nakayama | first1=Tadasi |저자링크=나카야마 다다시| title=A remark on finitely generated modules |mr=0043770 | year=1951 | journal=Nagoya Mathematical Journal | issn=0027-7630 | volume=3 | pages=139–140|url=
http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799226|zbl=0044.26304|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Jacobson radical}}
* {{eom|title=Radical of rings and algebras}}
* {{eom|title=Socle}}
* {{nlab|id=Jacobson radical}}
* {{nlab|id=socle|title=Socle}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Jacobson_Radical|제목=Definition: Jacobson radical|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Characterisation_of_Jacobson_Radical|제목=Characterisation of Jacobson radical|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Nakayama's_Lemma|제목=Nakayama's lemma|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/05/30/the-jacobson-radical/|제목=The Jacobson radical|웹사이트=Annoying Precision|이름=Qiaochu|성= Yuan|날짜=2012-05-30|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://simomaths.wordpress.com/2015/01/09/radical-of-module/|제목=Radical of a module|저널=Mathematics and Such|날짜=2015-01-09|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/143440/origin-of-the-socle-of-a-module|제목=Origin of the socle of a module|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/61446/how-to-memorise-understand-nakayamas-lemma-and-its-corollaries|제목=How to memorise (understand) Nakayama's lemma and its corollaries|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[영근기]]
* [[소근기]]
* [[반원시환]]

[[분류:환론]]
[[분류:가군론]]
[[분류:아이디얼]]